O zero, o um e as quatro operações
Adaptado de
IFRAH, Georges. Os Números: História de uma grande invenção. 10ª ed. São Paulo, Globo, 2001
Programa Educ@r - educar.sc.usp.br/matematica/m3p1t3.htm, acesso em 20-04-2012
Existem dois números que se comportam de maneira bastante especial com relação às quatro operações elementares. Estamos nos referindo ao zero e ao um.
São comuns estas opiniões sobre o zero:
Elas fazem sentido quando pensamos o zero associado à subtração. De fato, somando zero a um número ou subtraindo zero de um número obtemos sempre o próprio número. Estes fatos podem ser representados assim:
p + 0 = p
p - 0 = p
A letra p representa qualquer número
Entretanto, o papel do zero na multiplicação é bem diferente.
Veja: 5 x 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0
0 x 3 = 3 x 0 = 0 + 0 + 0 = 0
De um modo geral:
a x 0 = 0 x a = 0
A letra a representa qualquer número
O zero como fator de uma multiplicação é "arrasador". Anula qualquer produto.
Vejamos agora o comportamento do zero na divisão. Lembremos que dividir a por b significa encontrar c de modo que c x b = a (estamos nos referindo à divisão exata).
Como dividendo o zero não oferece dificuldades. Por exemplo: 0 : 7 = 0 pois 0 x 7 = 0.
Agora vamos analisar um caso em que o zero é divisor. Por exemplo: dividir 2 por 0 é encontrar um número que multiplicado por 0 dê 2. Em outros termos:
se 2 : 0 = q então q x 0 = 2
Sucede que não existe um número que multiplicado por 0 dê 2, pois todo número multiplicado por 0 dá 0. Logo, não existe o quociente da divisão de 2 por 0. Tal divisão é impossível.
Há ainda um caso a ser pensado: aquele em que o dividendo e o divisor são iguais a zero. Dividir 0 por 0 é encontrar um número que multiplicado por zero dê zero. Ora, todo número serve! Então haveria infinitos quocientes para a divisão de zero por zero. Esta situação criaria embaraços. Para a matemática, não há interesse algum em ter-se infinitos quocientes para uma só divisão. Por isso, também não se permite a divisão de zero por zero.
Moral da história: o zero nunca pode ser divisor!
Como já vimos, na adição o zero é neutro. Com relação à multiplicação, quem desempenha esse papel de neutralidade é o 1 uma vez que: a x 1 = 1 x a = a, qualquer que seja o número a (ou melhor, o número representado pela letra a).
Veja então que este carácter de neutralidade ou não do zero e do um não é absoluto. Ele é relativo à operação considerada.
Responda as perguntas:
a) Quais são as operações que têm a propriedade associativa?
b) Qual é o número que desempenha o papel de neutralidade na adição? .
E na multiplicação? .
c) Mostre por que o zero nunca pode ser divisor:
.
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Outras propriedades da divisão exata
Observe a tabela e procure descobrir que regularidade ela contém.
dividendo
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divisor
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quociente
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6
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2
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3
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12
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4
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3
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18
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6
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3
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24
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8
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3
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30
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10
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3
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36
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12
|
3
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42
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14
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3
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48
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16
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3
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A primeira linha correspondente à divisão exata 6 : 2 = 3. Da primeira para segunda linha, o dividendo e o divisor foram ambos multiplicados por 2; o quociente permaneceu inalterado. Da primeira para a terceira linha, o dividendo e o divisor foram multiplicados por 3; o quociente é o mesmo. E assim por diante; cada divisão foi gerada a partir da primeira, multiplicando-se o dividendo e o divisor por um mesmo número. O quociente não muda.
Generalizando, podemos representar esta propriedade assim:
se a : b = c, então (ma) : (mb) = c
Pelo que vimos as letras b e m não podem representar o número zero.
Agora observe esta outra tabela. Que regularidade ela contém?
dividendo
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divisor
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quociente
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6
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2
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3
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12
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2
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6
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18
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2
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9
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24
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2
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12
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30
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2
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15
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36
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2
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18
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42
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2
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21
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48
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2
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24
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Note que o divisor é constante. Da primeira divisão para as seguintes, o dividendo foi multiplicado por 2, 3, 4, etc. Observe que o quociente correspondente também ficou multiplicado por 2, 3, 4, etc.
Vamos generalizar esta conclusão:
se a : b = c, então (ma) : b = (mc)
A letra b não pode representar o número zero.
Preencha os espaços em branco de acordo com o desenho:
A = , B = , C = , D = , E = , F = , G = , H = , I =
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O algoritmo tradicional da divisão
Você já conhece este algoritmo:
Trata-se de uma técnica para dividir que é, sem dúvida, bastante eficiente.
Vamos discutir a compreensão da mesma.
· Por que dividimos 7 por 6?
· Por que abaixamos o 9 e não o 98?
· Por que dizemos: 3 vezes 6 é 18, para 19 falta 1?
Par facilitar a compreensão do algoritmo usaremos materiais didáticos. São adequados o ábaco (apresentado no módulo 1) e o material dourado (módulo 2).
Vamos representar o número 798 com o material dourado:
Para dividir 798 por 6 vamos distribuir igualmente 798 em 6 grupos:
Começaremos distribuindo as centenas.
Desagrupamos a centena restante transformando-a em 10 dezenas. Agora temos 19 dezenas.
Distribuímos as dezenas.
Desagrupamos a dezena restante transformando-a em 10 unidades. Agora temos 18 unidades.
Finalmente distribuímos as unidades.
Em cada um dos 6 grupos temos 133 unidades. Esta divisão é exata, isto é, seu resto é zero.
A compreensão deste algoritmo da divisão depende da compreensão do nosso sistema de numeração, do domínio da subtração e de uma certa experiência com estimativas e cálculo mental.
No trabalho de sala de aula constatamos que a compreensão e o domínio desta técnica por parte dos alunos não é um processo simples.
Complete os quadradinhos do algaritmo da divisão, representado abaixo, com os algarismos corretos:
A = , B = , C = , D = , E =
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