Multiplicação
Adaptado de
IFRAH, Georges. Os Números: História de uma grande invenção. 10ª ed. São Paulo, Globo, 2001
Programa Educ@r - educar.sc.usp.br/matematica/m3p1t3.htm, acesso em 20-04-2012
- A adição de parcelas iguais
- A organização retangular
- O raciocínio combinatório
- A variedade de situações relacionadas com a multiplicação
- Quando multiplicar nas expressões numéricas
Exercícios Parte 2: Como multiplicar ?
- Cálculos com a calculadora defeituosa
- A propriedade distributiva
- A propriedade associativa
- O algoritmo da multiplicação
- A compreensão do algoritmo
Leitura 1 - Há tantos modos de multiplicar
- Um método egípcio para multiplicar
- Um método para multiplicar usado pelos árabes
- Multiplicando com as mãos
- A tabuada dos nove e os dedos das mãos
Leitura 2 - O aluno deve decorar a tabuada?
- Um pouco de história ajuda a entender a dúvida
- É necessário compreender
- Construindo a tabuada
- A memorização também é necessária
Leitura 3 - Sugestões para leituras
A adição de parcelas iguais
Uma criança que ainda não sabe multiplicar pode, perfeitamente, resolver este problema:
· Uma caixa de lápis de cor contém 6 lápis. Quantos lápis há em 3 caixas iguais a essa?
Como uma criança resolverá o problema, se não sabe efetuar 3 x 6? Simplesmente efetuando 6 + 6 + 6 = 18, ou seja, adicionado parcelas iguais.
Situações como essa que descrevemos explicam por que, atualmente, a maioria das professoras começa a ensinar a multiplicação de parcelas iguais. Elas explicam ás crianças que 3 x 6 significa 6 + 6 + 6, que 2 x 5 significa 5 + 5, e assim por diante.
Complete, sem dar espaços, a sentença:
A expressão 4 x a corresponde à adição
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A multiplicação pode ser considerada como uma maneira abreviada de indicar a adição de parcelas iguais. Essa idéia de adição de parcelas iguais aparece em várias situações, como, por exemplo, a organização retangular.
A organização retangular
Considere estes problemas:
- Márcio, o marceneiro, fez um armário cheio de gavetas. Veja:
Quantas são as gavetas?
Jurandir já assentou a primeira fileira e a primeira coluna de azulejos na parede da cozinha. Veja:
Quantos azulejos serão gastos para revestir a parede toda?
Você pode resolver o primeiro problema contando as gavetas uma a uma, mas há de concordar que é um pouco trabalhoso. E, usando a contagem, o segundo problema fica mais difícil, pois não vemos todos os azulejos.
Os dois problemas podem, no entanto, ser resolvidos com o uso da multiplicação.
No problema do gaveteiro, você pode ver que cada fileira de gavetas contém 10 gavetas e que todas as fileiras têm a mesma quantidade de gavetas:
Como há 7 fileiras de gavetas, o total é:
Usando o mesmo raciocínio, resolve-se o problema dos azulejos:
Observando estes dois exemplos, verificamos que a organização retangular equivale á ideia de repetição de parcelas iguais.
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Já observamos que é comum as crianças conhecerem a multiplicação a partir da adição de parcelas iguais. Mas, mais tarde, elas devem também relacionar a multiplicação diretamente com os arranjos retangulares.
Os arranjos retangulares são importantes, primeiro porque são muito comuns no dia a dia. Aparecem:
Em segundo lugar, eles facilitam a percepção de certas propriedades da multiplicação. Vamos ver um exemplo.
Nesta figura, pode-se encontrar o total de quadradinhos fazendo 3 x 6 = 18, pois temos 6 fileiras de 6.
Mas também é correto encontrar o total fazendo 6 x 3 = 18, pois há 6 colunas de 3.
Conclusão: a ordem dos fatores não altera o produto, pois tanto 3 x 6 como 6 x 3 resultam em 18. Esse fato é conhecido como propriedade comutativa da multiplicação. Comutar significa trocar; no caso, troca-se a ordem dos fatores.
Há ainda outra razão importante que justifica a ênfase nos problemas que envolvem a organização retangular: eles facilitarão, posteriormente, o cálculo de áreas.
Quadradinho unitário 
A área do retângulo de lados 3 e 5 é igual a 3 x 5 (ou 5 x 3), pois este é o número de quadradinhos unitários que cabem em seu interior.
A área desta figura é igual a 31 porque cabem 31 quadradinhos unitários no seu interior.
Para trabalhar a multiplicação utilizando a ideia de organização retangular podemos utilizar papel quadriculado, escrevendo de várias maneiras diferentes o número de quadradinhos de cada figura.
3 + 3 + 3 + 3 ou 4 x 3
ou 4 + 4 + 4 ou 3 x 4 ou ...
2 + 2 + 2 + 2 + 2 ou 5 x 2
ou 5 + 5 ou 2 x 5 ou ...
3 + 3 + 3 + 6 + 6
ou 3 x 3 + 2 x 6
ou 2 + 2 + 2 + 5 + 5 + 5
ou 3 x 2 + 3 x 5 ou ...
ou 3 x 3 + 2 x 6
ou 2 + 2 + 2 + 5 + 5 + 5
ou 3 x 2 + 3 x 5 ou ...
Um professor estava exercitando o cálculo mental de seus alunos, e perguntou qual era o resultado de 12 x 3. Alguns alunos tiveram muita dificuldade para encontrar o resultado, enquanto outros, não. Como você faria para calcular rapidamente 12 x 3?
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O raciocínio combinatório
- "Os sanduíches da padaria Regência são famosos no bairro. O freguês pode escolher entre 3 tipos de pão: pão de forma, pão francês ou pão italiano. Para o recheio há 4 opções: salame, queijo, presunto ou mortadela. Quantos tipos de sanduíche a padaria oferece?"
Quem encontra pela primeira vez esse tipo de problema pode não perceber que se trata de uma situação que envolve a multiplicação. É comum, nas primeiras tentativas, somar 3 com 4 ou listar de forma desorganizada algumas combinações de pão com recheio.
Vejamos como o problema pode ser resolvido. Para todas as combinações possíveis, precisamos pensar de maneira organizada. Isto pode ser conseguido, por exemplo, com a ajuda de uma tabela retangular.
salame
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queijo
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presunto
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mortadela
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pão de forma
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pão de forma com salame
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pão de forma com queijo
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pão de forma com presunto
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pão de forma com mortadela
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pão francês
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pão francês com salame
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pão francês com queijo
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pão francês com presunto
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pão francês com mortadela
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pão italiano
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pão italiano com salame
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pão italiano com queijo
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pão italiano com presunto
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pão italiano com mortadela
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Também podemos organizar a solução do problema deste outro modo:
Este último esquema, que lembra os galhos de uma árvore (deitada), é conhecido como árvore das possibilidades.
Tanto com a tabela retangular como com a árvore das possibilidades, podemos obter a solução do problema: contamos os tipos de sanduíche e chegamos a 12 tipos. O que não se percebe ainda é o que o problema tem a ver com a multiplicação.
Isso pode ser percebido com este raciocínio: para cada um dos tipos de pão temos 4 tipos de recheio e, portanto, 4 sanduíches diferentes; como são 3 tipos de pão, os sanduíches são 4 + 4 + 4, ou seja, 3 x 4 = 12.
Nesse raciocínio, procuramos combinar os tipos de pão com os tipos de recheio para obter todos os tipos de sanduíche. É um exemplo de racicínio combinatório, o qual leva á multiplicação.
Você pode notar que a árvore de possibilidades é uma espécie de "desenho" do raciocínio que fizemos: de cada um dos seus 3 "galhos" iniciais saem outros 4 "galhos", dando um total de 12.
Quando podemos desenhar a árvore de possibilidades ou fazer uma tabela, como no caso do problema dos sanduíches, o problema pode ser resolvido sem a multiplicação. Mas, quando as possibilidades são muitas, a multiplicação facilita os cálculos. Já imaginou desenhar a árvore se fossem 6 os tipos de pão e 12 os recheios?
No problema da padaria Regência, se fossem 6 os tipos de pães e 12 os recheios, quantos sanduíches diferentes teríamos?
Teríamos sanduíches diferentes. |
Vejamos outro problema envolvendo o raciocínio combinatório.
·
"Usando somente os algarismos 1, 2 e 3 queremos escrever números de três algarismos. Vamos combinar que, num mesmo número, não pode haver repetição de algarismo. Com outras palavras, cada número deve ter três algarismos diferentes. Quantos números podem ser escritos nestas condições?"
Observe que os números 213 e 312 satisfazem as condições do problema, mas os números 311, 413 e 1123 não servem. Para resolver o problema vamos nos imaginar escrevendo um número de três algarismos, obedecendo as restrições mencionadas no problema. Ao escrever o algarismo das centenas temos 3 possibilidades.
Ao escrever o algarismo das dezenas não podemos usar aquele que já foi usado nas centenas. Portanto, para cada uma das maneiras de escolher o dígito das centenas temos duas maneiras de escolher o das dezenas.
Portanto, nas condições do problema, é possível escrever 3 x 2 x 1 = 6 números: 123, 132, 213, 231, 312 e 321.
O problema seguinte é parecido com o anterior. Mas há uma diferença entre eles!
· "Usando somente os algarismos 1, 2 e 3 queremos escrever números de três algarismos. Vamos combinar que, num mesmo número, pode haver repetição de algarismos. Quantos e quais números podem ser escritos nestas condições?"
Vamos construir a árvore das possibilidades para este problema:
Temos 3 possibilidades para escolher o algarismo das centenas. Para cada uma delas, há 3 maneiras de escolher o dígito das dezenas. Portanto há 3 x 3 = 9 modos de escolher aqueles dois dígitos. Para cada uma destas 9 maneiras há 3 possibilidades de escolha para o algarismo das unidades. Portanto, nas condições do problema, é possível escrever 3 x 3 x 3 = 27 números. Na árvore das possibilidades podemos ver quais são estes números.
Madalena pode escolher caminhos diferentes.
A variedade de situações relacionadas com a multiplicação
Vimos até aqui duas situações básicas em que a multiplicação é empregada:
· para substituir uma adição de parcelas iguais;
· para obter o total de possibilidades no raciocínio combinatório.
No entanto, essas situações não esgotam as diversas maneiras de se explorar o uso da multiplicação. Essa operação aparece em outras situações que, embora relacionadas com as já vistas, podem parecer novas para os alunos. Vamos ver alguns exemplos:
· Às vezes a multiplicação está "escondida". Ao ler o número 460, dizemos quatrocentos e sessenta. Você percebeu a multiplicação que está ai?
Quatrocentos significa quatro vezes o cem; sessenta corresponde a seis grupos de dez, isto é, seis vezes o dez. A multiplicação está presente na nossa maneira de escrever e de ler os números, embora nem sempre nós lembremos disso. É o princípio multiplicativo da numeração indo-arábica, que vimos no módulo 1, lembra-se?
· "Na auto-estrada BR-pi há um posto de pedágio a cada 40 quilômetros . Um motorista sai de Triângulo Citi, localizada logo após um pedágio, em direção a Hexagolândia, também localizada logo após um outro pedágio. Neste percurso, o automóvel passou por 5 postos de pedágio. Qual é a distância entre as duas cidades?"
O problema é bastante simples. Uma adição de parcelas iguais conduz á multiplicação:
40 + 40 + 40 + 40 + 40 = 5 x 40
Bem, até aqui nada de novo. Entretanto, neste problema podemos explorar o aspecto aditivo da multiplicação, trabalhando sobre a reta numérica. Sabemos bem como esta idéia é importante na matemática.
Para encontrar a resposta a este problema, devemos perceber que as caixas estão organizadas em 4 camadas, sendo que, em cada camada, há 6 x 5 caixas.
Portanto, o número de caixas é igual a 4 x 6 x 5 = 120.
Problemas deste tipo facilitarão, posteriormente, o cálculo de volumes. Para compreender que 1 m³ é igual a 1000 litros é necessário o mesmo raciocínio usado para calcular o número de caixas transportadas pelo caminhão.
Repare ainda que este problema usa a idéia da organização retangular de maneira ampliada.
Se 20 destas mesas forem encostadas umas nas outras, como mostra o desenho, quantas pessoas poderão sentar-se?
Poderão sentar-se pessoas.  |
Os exemplos aqui apresentados mostram que há diferentes situações envolvendo a multiplicação. Para nós que já estamos acostumados com esta operação, ás vezes é difícil perceber as diferenças entre elas. Entretanto, para o aluno, estas diferenças constituem, muitas vezes, dificuldades a serem superadas. Para esta superação, a atuação do professor é fundamental.
Além de identificar e respeitar estas dificuldades do aluno, precisamos compreender que esta enorme variedade de situações relacionadas com a multiplicação contitui-se uma riqueza que não pode ser desprezada no processo de ensino-aprendizagem da matemática. Por isso é fundamental, no trabalho com a multiplicação, explorar todas elas.
Quando multiplicar nas expressões numéricas
Veja este problema:
· No supermercado, comprei uma escova de dentes por 2 reais (R$ 2,0) e 3 sabonetes, cada um custando 80 centavos (R$ 0,80). Quanto gastei?
Que problema facíl, não é? A resolução pode ser indicada por esta expressão numérica:
2,0 + 3 x 0,80.
Com isso indicamos que se deve somar 2,0 com o resultado de 3 x 0,80, que é 4,40. Isto é, deve-se fazer 2,0 + 2,40 = 4,40.
Mas, atenção! Será que alguém, lendo a expressão
2,0 + 3 x 0,80
não poderia, primeiro, somar 2,0 com 3 e multiplicar o resultado por 0,80? Nesse caso, teríamos 5,0 x 0,80 = 4,0. Isso não corresponde ao que gastei no supermercado.
Pois é, colega, ao escrever expressões em que aparecem multiplicações e adições ou subtrações pode haver mais de uma interpretação. Para evitar dúvidas sobre qual operação é feita primeiro, os matemáticos combinaram que a multiplicação sempre deve ser feita antes da adição e da subtração. Isto é o que se chama uma "convenção": fica combinado que ...
Respeitando esta convenção, 2,0 + 3 x 0,80 tem como resultado o número 4,4.
Se quisermos que uma adição ou subtração seja efetuada antes da multiplicação, temos que usar parênteses. Assim, (2,0 + 3) x 0,80 tem como resultado, 4,0.
Essas regras convencionadas são usadas em todo o mundo há bastante tempo. Com elas sabemos qual operação fazer primeiro em expressões matemáticas.
Dê o resultado de
a) 4 + 3 x 5 = b) (4 + 3) x 5 = |
Exercícios
1 Considere a expressão 7 x p. Agora, diga quais das expressões seguintes são iguais a 7 x p, explicando sua resposta:
a) p + p + p + p + p + p + p
b) p x p x p x p x p x p x p
c) 3 x p + 4 x p
a) p + p + p + p + p + p + p
b) p x p x p x p x p x p x p
c) 3 x p + 4 x p
Se tiver mais de uma opção correta, coloque-as separadas por - sem deixar espaço entre elas.
Expressão(ões) que equivale(m) a 7 x p:
Expressão(ões) que equivale(m) a 7 x p:
2
Quantos segundos há em um dia?
Em um dia há segundos.
Em um dia há segundos.
3
Foram gastos ladrilhos.
Quantos ladrilhos foram gastos para ladrilhar a sala representada no desenho?
4.
Segunda maneira:
Terceira maneira:
5. Wilson vestia-se para ir a uma festa. Separou as melhores roupas: duas calças (uma branca e outra preta) e três camisetas (uma estampada, uma branca e uma preta). E ai ficou em dúvida, sem saber com que roupa ir à festa. Antes de decidir, imaginou todas as possibilidades.
b) Diga quantas são as possibilidades. possibilidades.
c) Agora faça, no papel, o problema usando a árvore de possibilidades.
6. Uma pessoa precisa saber qual é o número aproximado de laranjas numa caixa, mas não dispõe de tempo para contá-las uma a uma. Como proceder?
Explique como você faria para saber quantas laranjas têm na caixa aproximadamente:
7. O texto seguinte é um trecho condensado e um pouco modificado, do livro De cuantas formas, de autoria de N. Vilenkin, da Editora Mir.
"Até o século XVII quase não existiam revistas científicas. Os homens de ciências se inteiravam do trabalho dos seus colegas por intermédio de livros ou de cartas particulares. Isto criava grandes dificuldades na publicação de resultados originais: a impressão de livros levavam anos. Escrever cartas contando algum descobrimento importante era arriscado: logo alguém se apoderava do mesmo e, depois como fazer para provar que o dito cujo não era o autor? Além disso, podia acontecer que a pessoa que tivesse recebido a carta já houvesse solucionado tal problema e que a carta, portanto, nada de novo lhe dissera.
Por causa disto, freqüentemente, havia disputas sobre a prioridade de autoria dos descobrimentos. Para assegurar tal prioridade e evitar a divulgação prematuro dos resultados obtidos, os cientistas enunciavam em uma frase curta a essência do descobrimento, depois trocavam a ordem das letras desta frase e a enviavam, com as letras trocadas, em carta aos seus colegas. Estes textos se chamavam anagramas. Por exemplo, amor e mroa são dois anagramas da palavra roma. Quando se imprimia o livro com a exposição detalhada dos resultados, neste se apresentava o anagrama decifrado".
A palavra ROMA tem anagramas
8. Obtenha o valor da (18 - 16) x 3 + 5 x 2.
(18 - 16) x 3 + 5 x 2 =
(18 - 16) x 3 + 5 x 2 =
Cálculos com a calculadora defeituosa
- A tecla
- da calculadora está quebrada. Como posso obter o produto 6 x 8?
Esse produto pode ser obtido de várias maneiras. Por exemplo: podemos somar oito consigo mesmo seis vezes.
Neste caso, precisamos de 12 apertos de tecla. Outra solução consiste em multiplicar cinco por oito e, ao resultado, acrescentar oito.
Neste caso fizemos 6 apertos de tecla. Por isso, a solução é mais econômica que a anterior.
O produto 6 x 8 pode ainda ser obtido, sem usar a tecla 6, desta outra maneira: multiplicamos quatro por oito e memorizamos o resultado trinta e dois; depois multiplicamos dois por oito e, ao resultado dezesseis, acrescentamos trinta e dois.
Esses diferentes procedimentos estão todos baseados no conceito de multiplicação. O código 6 x 8 representa uma adição de 6 parcelas iguais a 8:
Isso pode ser feito de vários modos:
Use a propriedade distributiva e complete a sentença:
12 x 13 = x 13 + 2 x 13 = + 26 =
|
A propriedade distributiva
Nesta e nas próximas páginas, você poderá apreciar a importância dessa propriedade. Para começar, vejamos como ele é usada no cálculo mental.
· "Cada maçã custa 35 centavos. Quanto pagarei por seis maçãs?"
Neste cálculo mental, o produto 0,35 x 6 foi substituído pela soma dos produtos 0,30 x 6 e 0,05 x 6:
0,35 x 6 = 0,30 x 6 + 0,05 x 6
O resultado é 2,10 reais.
Às vezes o produto é "quebrado" numa soma com mais de duas parcelas. Observe a situação seguinte:
· "Cada dúzia de bananas custa 1,7 reais. Quanto pagarei por cinco dúzias?"
5 x 1,7 = 2 x 1,7 + 2 x 1,7 + 1 x 1,7
O resultado é 8,5 cruzeiros.
Na parte 1, vimos que a organização retangular dos objetos permite explorar aspectos importantes da multiplicação. Veremos, através de um exemplo, que a organização retangular também permite visualizar a propriedade distributiva.
· "Na túnica do porteiro há uma série de botões enfileirados, organizados em linhas e colunas.
Temos ao todo 6 x 5 = 30 botões
O porteiro colocou o cinto. E agora, quantos são os botões?"
2 x 5 + 4 x 5 = 10 + 20 = 30
Então:
6 x 5 = 2 x 5 + 4 x 5
A propriedade distributiva também pode ser visualizada geometricamente através do cálculo de áreas. O retângulo ABCD foi dividido nos retângulos I e II.
área do retângulo I = 4 x 2
área do retângulo II = 4 x 5
área do retângulo ABCD = 4 x (2 + 5) = 4 x 7
área do retângulo II = 4 x 5
área do retângulo ABCD = 4 x (2 + 5) = 4 x 7
Como a área do retângulo ABCD é a soma das áreas dos retângulos I e II, resulta que:
4 x (2 + 5) = 4 x 2 + 4 x 5
Para indicar que esta propriedade é geral e não depende dos números considerados, podemos usar letras para representar números quaisquer
 b) segunda expressão: |
A propriedade associativa
No início dessa parte da lição, imaginamos uma calculadora com tecla [6] quebrada. Vimos então que, apesar do defeito, o produto 6 x 8 podia ser obtido de várias maneiras diferentes. Só que não esgotamos todas essas maneiras. Veja uma outra:
Neste procedimento, o produto 6 x 8, que tem dois fatores, foi substituido pelo produto 3 x 2 x 8, que possui três fatores. Para efetuar um produto de três fatores, multiplicamos inicialmente dois fatores para, depois, multiplicar o resultado obtido pelo terceiro fator. Assim, no exemplo anterior, multiplicamos 3 por 2 e o produto obtido, que é 6, foi multiplicado por 8. Este modo de fazer a conta é indicado assim:
(3 x 2) x 8 = 6 x 8 = 48
A multiplicação de 3 por 2 por 8 poderia ser feita de outra maneira, começando por 2 x 8. Veja:
3 x (2 x 8) = 3 x 16 = 48
Observe que o resultado é o mesmo. Temos então:
(3 x 2) x 8 = 3 x (2 x 8)
Essa igualdade pode ser interpretada assim: no produto de três fatores, 3 x 2 x 8, é indiferente associar os dois primeiros ou associar os dois últimos fatores. Para indicar que esta propriedade é geral, isto é, que não depende dos números considerados, podemos usar letras para representar números quaisquer:
(a x b) x c = a x (b x c)
Esta propriedade da multiplicação, denominada propriedade associativa, muitas vezes é usada no cálculo mental. Vejamos um exemplo.
· "Numa caixa há 80 lápis. Quantos lápis há em sete caixas?"
O procedimento da pessoa que fez esta conta "de cabeça" pode ser interpretado assim:
7 x 80 = 7 x (8 x 10) = (7 x 8) x 10 = 56 x 10 = 560
Nesta passagem ela usou a propriedade associativa.
A propriedade associativa também pode ser visualizada geometricamente. Temos 4 cubinhos em fila.
Com 5 destas filas compomos uma placa com 5 x 4 = 20 cubinhos.
Com 3 destas placas formamos um bloco contendo 3 x (5 x 4) = 3 x 20 = 60 cubinhos.
Logo:
3 x (5 x 4) = (3 x 5) x 4
3 x 20 = 15 x 4 = 60
As duas multiplicações seguintes ficarão mais simples se você associar os fatores de maneira conveniente. Efetue da maneira simplificada, mostrando quais propriedades você está aplicando.
a) 171 x 5 x 2 = b) 4 x 123 x 5 = |
O algoritmo da multiplicação
No módulo 2, em que estudamos a adição, vimos que, além da técnica habitual do "vai um", existem outras técnicas para somar.
A técnica do "vai um"
. 1
0432 +785 1217 |
Técnica não habitual
0348
+596 08 013 00 14 00944 |
Ainda no módulo 2 vimos que também existe mais de uma técnica para subtrair.
Essas diferenças técnicas de cálculo são chamadas algoritmos.
Para compreender o algoritmo da multiplicação, vamos analisar alguns exemplos.
Começaremos por um exemplo simples: 7 x 15.
O produto de 7 por 15 é o número de quadradinhos unitários contidos no retângulo de lados 7 e 15.
Vamos decompor o retângulo em outros dois. Já vimos que isto significa usar a propriedade distributiva:
7 x 15 = 7 x (10 + 5) = 7 x 10 + 7 x 5 = 70 + 35
Estes cálculos podem ser organizados de outra maneira:
Para "enxugar" o processo, costumamos fazer a adição de 35 com 70, mentalmente. Temos assim a forma habitual do algoritmo:
Para efetuar 4 x 23, usando o algoritmo habitual, fazemos (mesmo sem perceber) duas multiplicações separadas e somamos seus resultados. Quais são as multiplicações que efetuamos?
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Vejamos agora um exemplo um pouco mais complicado: 13 x 25.
Vamos representar esse produto com o retângulo de lado 13 e 25, decompondo-o em outros dois retângulos.
Para encontrar o total de quadradinhos (ou a área) do retângulo, um caminho natural é encontrar o total de cada parte e, depois, somar esses resultados parciais.
Assim sendo, devemos efetuar 3 x 25 para a parte menor, 10 x 25 para a parte maior, e somar os resultados:
Observe novamente que o algoritmo está ligado á propriedade distributiva: ao multiplicar por 13, multiplicamos por 3 e por 10, somando depois os resultados. O algoritmo também está ligado ao nosso sistema de numeração: quando multiplicamos 2 dezenas e 5 unidades (25) por 10, obtemos 2 centenas e 5 dezenas (250) e por isto, no "processo enxuto", o 5 de 250 é escrito embaixo do 7 do 75.
O produto 13 x 25 pode ser obtido através do número de quadradinhos contidos no retângulo de lado 13 e 25. Podemos, para facilitar os cálculos, decompor este retângulo em outros 4, e utilizar a propriedade distributiva.
Faça, em papel, a representação desta divisão do retângulo 13 x 25 em 4 retângulos menores, indicando qual o total de quadradinhos em cada um dos retângulos.
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Agora pense nestas questões:
1. Como foi obtido o 615?
2. Por que ficou um espaço vazio sob o 5 do 615?
3. O 246 escrito abaixo do 615 é duzentos e quarenta e seis?
Para respondê-las, é preciso que saibamos compreender o algoritmo. Analisando-o passo a passo, chegamos ás respostas:
1. Como 25 x 123 = (20 + 5) x 123, o 615 foi obtido multiplicando-se 5 por 123.
2. Ao multiplicar 20, isto é, 2 dezenas, por 123, obtemos 246 dezenas, ou seja, 2460 unidades. Isto significa que o espaço vazio sob o 5 do 615 tem o valor do zero.
3. A terceira questão já está respondida: o 246 escrito abaixo de 615 não é duzentos e quarenta e seis, mas sim dois mil quatrocentos e sessenta.
A compreensão do algoritmo
Muitas das pessoas que aprenderam o algoritmo habitual da multiplicação, embora saibam executá-lo, não o compreendem. Desse modo, a execução da conta é um ato mecânico, sem raciocínio matemático. O colega deve estar percebendo que compreender uma técnica de cálculo não é apenas saber executá-la. É mais que isso, é entender seus porquês.
Surge aqui uma pergunta: como a criança chegará á compreensão do algoritmo que acabamos de ver? Será necessário explicar-lhe, por exemplo, a propriedade distributiva?
De acordo com a experiência de vários educadores, o caminho não é esse; não são explicações mais detalhadas que levarão a criança á compreensão. O ideal é fornecer á criança problemas e situações variadas que estimulem o raciocínio. Por exemplo, trabalhar vários aspectos da multiplicação (adição de parcelas iguais, organização retângular etc.) e usar materiais que ajudem a compreender o sistema decimal (ábacos, material Dourado-Montessori), etc.
Assim, por exemplo, a professora pode pedir a uma criança que efetue 4 x 13 sem nunca antes ter lhe ensinado esse cálculo. Com o material Dourado-Montessori, a criança obterá a solução:
Uma outra atividade interessante, e que pode ajudar as crianças a compreenderem o algoritmo da multiplicação, é pedir que a classe descubra como efetuar 12 x 15, estimulando as crianças a discutirem a resolução, entre elas. Algumas farão:
Outras farão:
12 x 15 = 10 x 15 + 2 x 15
Esse segundo processo, se for "enxugado", acaba no algoritmo habitual. A professora poderá, gradualmente, "enxugá-lo", e assim, após um certo tempo, chegar ao algoritmo usando idéias que tenham sido sugeridas pelos próprios alunos.
Acreditamos que a criança terá maiores chances de compreender o algoritmo quando ela puder participar da elaboração do mesmo, através das idéias e sugestões que lhe pedimos. É verdade que não é simples conseguir esta compreensão. Muitas vezes ela exige um longo tempo para que as idéias amadureçam, pouco a pouco. Por isso não devemos apressar demais os passos. Por exemplo: no trabalho com a multiplicação, antes do algoritmo "enxuto" é importante que os alunos trabalhem com o algoritmo longo. O processo gradual de "enxugamento" deve ser gradual.
Escolha a opção que representa o produto 3 x 51, utilizando o material Dourado-Montessori:
a)
b)
c)
opção:
|
EXERCÍCIOS
1. Você está usando uma calculadora cuja tecla 4 está quebrada. Indique duas maneiras de obter com essa calculadora o produto 4 x 277.
Primeira maneira:
Segunda maneira:
2. Coloque parênteses em cada uma das expressões numéricas seguintes de modo que resultem igualdades verdadeiras:
a) 5 + 3 x 4 + 2 = 23
b) 5 + 3 x 4 + 2 = 48
c) 5 + 3 x 4 + 2 = 34
Escreva as expressões numéricas sem espaço entre os dígitos.
a)
b)
c)
3. Sem fazer os cálculos, decida quais são as igualdades verdadeiras:
Escreva nos espaços verdadeira ou falsa.
a)123 x 787 = 100 x 787 + 20 x 787 + 3 x 787 »
b) 200 x 787 = 2 x 787 + 100 x 787 »
c) 200 x 787 = 2 x 787 x 100 »
d) 2 x 5 x 4 x 7 x 5 = 2 x 5 x 4 x 5 x 7 = 10 x 20 x 7 »
4. Observe a figura e complete a igualdade, lembrando que a área total do retângulo é a soma das áreas dos retângulos menores:
(m + n) x (a + b + c) =
5. Que dígitos devem ser colocados nos quadradinhos da conta abaixo?
5 x 17 =
= 392 + 6 =
= 92
= 392 + 6 =
= 92
6. Em cada uma das contas seguintes você deve escrever os algarísmos 1, 2 e 3 no lugar dos quadradinhos. Em cada quadradinho você deve escrever somente um algarísmo. Em cada conta devem ser usados os três algarísmos. Na conta (a) o produto obtido deve ser o menor possível e na conta (b) o produto deve ser o maior possível.
a) x = menor produto
b) x = maior produto
b) x = maior produto
7. Cecília foi ao supermercado com o dinheiro justo para comprar 6 latas de óleo, cada uma das quais tinha o preço de p reais. Lá chegando, teve uma surpresa: o preço de cada lata tinha dobrado. Quantas latas ela pôde comprar com o dinheiro que tinha? Justifique sua resposta.
Cecília pode comprar latas de óleo.
Sua justificativa será enviada ao Projeto EDUC@R
Justificativa:
Cecília pode comprar latas de óleo.
Sua justificativa será enviada ao Projeto EDUC@R
Justificativa:
É assim que costumamos multiplicar:
Mas nem sempre as multiplicações foram realizadas dessa maneira. Ao longo dos tempos, diferentes povos, em diferentes lugares, desenvolveram variadas técnicas para multiplicar. Os egípcios da Antigüidade, por exemplo, criaram um interessante processo usando duplicações sucessivas. Duplicar é dobrar, isto é, multiplicar por dois. Para expor o processo começaremos com alguns exemlplos simples. Antes, porém, uma observação: você já sabe como é que os egípcios escreviam os números (módulo 1), mas, nos exemplos a seguir, vamos escrevê-los usando o nosso sistema de numeração. Isto facilitará a compreensão. Vamos aos exemplos.
·
Multiplicar um número por quatro é dobrar o seu dobro, pois 4 = 2 x 2. Por exemplo, para obter 4 x 17 fazemos assim:
dobro de 17 = 34
dobro de 34 = 68
Deste modo: 4 x 17 = 68
·
Multiplicar um número por 8 é dobrar o dobro de seu dobro, uma vez que 8 = 2 x 2 x 2. Assim, para obter 8 x 21 fazemos:
Multiplicar um número por 8 é dobrar o dobro de seu dobro, uma vez que 8 = 2 x 2 x 2. Assim, para obter 8 x 21 fazemos:
dobro de 21 = 42
dobro de 42 = 84
dobro de 84 = 168
Portanto: 8 x 21 = 168
·
Veja mais este exemplo: 32 x 13 = ?
Veja mais este exemplo: 32 x 13 = ?
dobro de 13 = 2 x13 = 26
dobro de 26 = 2 x 26 = 4 x 13 = 52
dobro de 52 = 2 x 52 = 8 x 13 = 104
dobro de 104 = 2 x 104 = 16 x 13 = 208
dobro de 208 = 2 x 208 = 32 x 13 = 416
Portanto: 32 x 13 = 416
Deste modo, através de duplicações sucessivas é fácil multiplicar um número por 4, 8, 16, 32, 64, etc. (estes são os números que se obtêm multiplicando o 2 por ele mesmo sucessivas vezes). Mas, pelo jeito, este processo não permite obter, por exemplo, 14 x 23, uma vez que nenhum dos dois fatores é 4, 8, 16, 32, 64, etc.
Entretanto, há um modo de superar esta aparente impossibilidade! Para compreendê-lo você deve antes perceber o seguinte: os números que não fazem parte da seqüência 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, etc., podem sempre ser escritos como soma de alguns dos números que fazem parte dela. Por exemplo: o 3, que não é da seqüência, é a soma de 1 com 2, que são da seqüência. Outros exemplos:
11 = 8 + 2 + 1
36 = 32 + 4
88 = 64 + 16 + 8
Faça algumas experiências. Escreva um número qualquer, não pertencente á seqüência 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc, e depois procure escrevê-lo como soma de alguns dos números que fazem parte dela.
Voltemos aos exemplos:
·
No método egípcio, para multiplicar 14 por 23, primeiro escrevemos um dos dois fatores (14, por exemplo) como soma de números da referida seqüência:
No método egípcio, para multiplicar 14 por 23, primeiro escrevemos um dos dois fatores (14, por exemplo) como soma de números da referida seqüência:
14 = 8 + 4 + 2
A seguir, fazemos as duplicações sucessivas do 23:
2 x 23 = 46
4 x 23 = 2 x 46 = 92
8 x 23 = 2 x 92 = 184
Como 14 x 23 = (8 + 4 + 2) x 23 = 8 x 23 + 4 x 23 + 2 x 23,
resulta que 14 x 23 = 184 + 92 + 46.
4 x 23 = 2 x 46 = 92
8 x 23 = 2 x 92 = 184
Como 14 x 23 = (8 + 4 + 2) x 23 = 8 x 23 + 4 x 23 + 2 x 23,
resulta que 14 x 23 = 184 + 92 + 46.
Efetuando as adições teremos o resultado: 14 x 23 = 322.
·
Neste exemplo vamos "enxugar" as explicações.
Neste exemplo vamos "enxugar" as explicações.
Logo: 37 x 45 = 1665
Como exercício faça, por exemplo, 15 x 11 e 20 x 30 usando o método das duplicações sucessivas.
Talvez você tenha achado este processo complicado e muito trabalhoso. Essa reação é compreensível. Para nós, acostumados com a técnica usual da multiplicação, é natural acharmos complicada a técnica egípcia. Entretanto, para perceber que estas impressões são relativas, vale a pena fazer este exercício de ficção: imagine-se no Egito Antigo tentando explicar o nosso algoritmo da multiplicação a um jovem escriba, familiarizado com o modo egípcio de multiplicar. Qual seria a reação dele?
Mais uma observação: na lição do módulo 1, ao resumir as características de três sistemas de numeração, vimos que no sistema egípcio vale o princípio aditivo. Este caráter aditivo da numeração usada pelos egípcios reflete-se nos processos de cálculo que eles desenvolveram. Isto fica evidenciado no método que vimos: para multiplicar, depois das multiplicações sucessivas, faz-se uma adição.
Em qualquer sistema de numeração, as regras usadas para escrever os números influenciam as técnicas de cálculo. Assim, por exemplo, conforme visto neste curso, nas técnicas que usamos para calcular estão presentes as características do sistema de numeração indo-arábico, usados por nós.
Finalizamos este ítem com uma curiosidade: o processo egípcio talvez explique a origem da palavra multiplicar na língua latina, multi quer dizer vários e plicare significa dobrar. Assim, multiplicar é dobrar várias vezes.
Um método para multiplicar usado pelos árabes
Na leitura do módulo 1 contamos um pouco da história do nosso sistema numérico. Vimos a contribuição dos hindus e dos árabes na criação e difusão do mesmo. O algoritmo para multiplicar, que apresentaremos a seguir, era usado pelos árabes que, provavelmente, o aprenderam com os hindus. Você perceberá que ele é bastante parecido com o que usamos hoje.
Aqui está a multiplicação de 185 por 14:
Para compreender o processo vamos apresentá-lo passo a passo.
· Desenhamos um retângulo dividido em retângulos menores. Em nosso exemplo temos 2 fileiras e 3 colunas de retangulozinhos porque 14 tem 2 algarismos e 185 tem 3 algarismos.
· Traçamos diagonais dos retangulozinhos, como mostra a figura, obtendo esta grade.
· A seguir multiplicamos os algarismos de um fator pelos algarismos do outro fator e registramos os resultados na grade. Observe a maneira de fazer o registro.
· Agora, neste último passo, somamos os algarismos que estão numa mesma faixa diagonal. É preciso observar o "vai um".
Para compreender o funcionamento dessa técnica, procure compará-la com o nosso modo de multiplicar.
A seguir mais dois exemplos:
Multiplicando com as mãos
Tobias Dantzig, no interessante livro que já lhe recomendamos, relata um curioso processo para fazer multiplicações com os dedos das mãos. Este método era usado, até pouco tempo, por camponeses de uma região da França. Eles sabiam de cor a tabuada até a do 5 e, para multiplicar números compreendidos entre 5 e 10, como por exemplo, 6 x 9 ou 7 x 8, usavam seus dedos. Vejamos como faziam para obter, por exemplo, 6 x 8.
Numas das mãos, abaixamos tantos dedos quantas unidades o 6 passa de 5; portanto abaixamos 1 dedo.
Somamos o número de dedos abaixados, exprimindo a soma em dezenas. No nosso caso temos 1 + 3 = 4 dezenas, isto é, 40 unidades.
Para obter o resultado final, somamos os valores encontrados: 40 + 8 = 48
De fato: 6 x 8 = 48!
Embora, para nós, este procedimento possa não ser prático, ele é, sem dúvida, curioso.
Use-o para obter, por exemplo, 7 x 8, 6 x 7, 7 x 9 e 6 x 9. Verifique que o método também vale para os fatores 5 e 10, que são os extremos do intervalo em que o processo pode ser usado.
A tabuada dos nove e os dedos das mãos
Há um modo interessante para se obter a tabuada do nove usando os dedos das mãos. Coloque as mãos abertas sobre a mesa.
Vamos obter, por exemplo, 3 x 9. Dobre o 3° dedo, a contar da esquerda para a direita.
Veja que, á esquerda do dedo dobrado, ficaram dois dedos e, á sua direita, 7 dedos.
Veja como se obtém 6 x 9:
Na escola de trinta anos atrás, saber a tabuada de cor, "na ponta da língua", era ponto de honra para alunos e professores do antigo primário. Poucas pessoas, talvez, ousassem por em dúvida a necessidade desta mecanização.
Na década de 60 despontaram movimentos de todos os tipos, rompendo com tradições seculares: o feminismo, a revolução sexual, os hippies, os Beatles, a revolução cultural na China, as passeatas de estudantes em Paris-68 etc. O ensino da matemática não ficou indiferente ao clima revolucionário. A Matemática Moderna modificou o ensino da matemática. Não vamos discutir aqui as características deste movimento mas, dentre seus aspectos positivos, destacava-se o desejo de aprendizagem com compreensão.
No conjunto de críticas ao ensino tradicional, uma recaiu sobre a mecanização da tabuada. Diversas escolas aboliram e proibiram a memorização da mesma. A professora ou professor que obrigasse seus alunos a decorar a tabuada era, muitas vezes, considerado "antiquado", "retrógrado".
O argumento dos renovadores, contrário á memorização, era basicamente este: "não se deve obrigar o aluno a decorar a tabuada; deve-se, isto sim, criar condições para que ele a compreenda". Os adeptos das novas tendências alegavam que, se o aluno compreendesse a tabuada, se ele entendesse o significado de códigos como 3 x 7, 8 x 6, 5 x 9 etc., então, quando precisasse, sozinho, pensando, ele descobriria os resultados.
Alguns professores rebatiam esta afirmação alegando que, sem saber a tabuada de cor, um aluno não poderia realizar multiplicações e divisões. A cada momento, na realização de cálculos e na resolução de problemas ele "engasgaria" por não saber a tabuada de cor.
É curioso observar que, passados estes anos todos, esta discussão pemanece entre nós.
É necessário compreender
Nesta discussão, apesar das divergências, há uma opinião unânime: deve-se condenar a mecanização pura e simples da tabuada. É absurdo exigir que os alunos recitem: "dois vezes um, dois; dois vezes dois, quatro;...", sem que eles entendam o significado do que estão dizendo. A multiplicação (bem como todas as outras operações e a noção de número e o sistema de numeração decimal) precisa ser construída e compreendida. Esta construção é o resultado de um trabalho mental por parte do aluno.
O termo tabuada é bastante antigo e designa um conjunto de fatos, como por exemplo:
3 x 1 = 3, 3 x 2 = 6, 3 x 3 = 9, etc.
Esses fatos têm sido chamados, por diversos autores, de fatos fundamentais da multiplicação.
Trabalhando com materiais variados (papel quadriculado, grãos, palitos), explorando jogos e situações diversas (quantos alunos serão necessários para formar 4 times de vôlei?), os alunos poderão, aos poucos, construir e registrar os fatos fundamentais que compõem a tabuada.
Construindo a tabuada
A atividade que vamos descrever é bastante rica. Nela, os alunos constroem a tabuada, partindo de alguns fatos simples já trabalhados anteriormente. Primeiramente organizamos a tabela e registramos com os alunos os fatos já conhecidos (até 5 x 5).
-x
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1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
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9
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1
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1
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2
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3
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4
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5
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--
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2
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2
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4
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6
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8
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10
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3
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3
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6
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9
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12
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15
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--
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--
|
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4
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4
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8
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12
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16
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20
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--
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--
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5
|
5
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10
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15
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20
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25
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6
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--
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7
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8
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9
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--
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--
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--
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--
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--
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--
|
É fácil completar a primeira linha pois ela se refere á multiplicação por 1. Também é fácil
completar a primeira coluna.
-x
|
- 1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
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8
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9
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1
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
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9
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2
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2
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4
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6
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8
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10
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--
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3
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3
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6
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9
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12
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15
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4
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4
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8
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12
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16
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20
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5
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5
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10
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15
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20
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25
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6
|
6
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--
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--
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--
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7
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7
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--
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--
|
--
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--
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--
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8
|
8
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--
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--
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--
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--
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--
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--
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--
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9
|
9
|
--
|
--
|
--
|
--
|
--
|
--
|
--
|
--
|
Proponha aos alunos que descubram quanto dá, por exemplo, 8 x 3. Eles podem obter este resultado, por exemplo, através de adições sucessivas:
Mas podem também obter 8 x 3 de outro modo. Como 8 = 5 + 3, podem perceber que:
8 x 3 = 5 x 3 + 3 x 3
Na tabela temos os valores de 5 x 3 e 3 x 3, logo:
8 x 3 = 15 + 9 = 24
Da mesma forma podem fazer:
9 x 3 = 5 x 3 + 4 x 3 = 15 + 12 = 27
7 x 4 = 3 x 4 + 4 x 4 = 12 + 16 = 28
Os produtos obtidos vão sendo registrados na tabela.
-x
|
-1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
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9
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1
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1
|
2
|
3
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4
|
5
|
6
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7
|
8
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9
|
2
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2
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4
|
6
|
8
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10
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--
|
--
|
--
|
--
|
3
|
3
|
6
|
9
|
12
|
15
|
--
|
--
|
--
|
--
|
4
|
4
|
8
|
12
|
16
|
20
|
--
|
--
|
--
|
--
|
5
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
--
|
--
|
--
|
--
|
6
|
6
|
--
|
--
|
--
|
--
|
--
|
--
|
--
|
--
|
7
|
7
|
--
|
--
|
28
|
--
|
--
|
--
|
--
|
--
|
8
|
8
|
--
|
24
|
--
|
--
|
--
|
--
|
--
|
--
|
9
|
9
|
--
|
27
|
--
|
--
|
--
|
--
|
--
|
--
|
Nessa altura do trabalho com a multiplicação os alunos já terão percebido que 3 x 5 = 5 x 3, 2 x 4 = 4 x 2, etc. Assim, como já descobriram que 8 x 3 = 24, concluem que 3 x 8 = 24; como 9 x 3 = 27, então 3 x 9 = 27. E a tabela vai sendo completada.
-x
|
-1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
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8
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9
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1
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
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9
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2
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2
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4
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6
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8
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10
|
--
|
--
|
--
|
--
|
3
|
3
|
6
|
9
|
12
|
15
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--
|
--
|
24
|
27
|
4
|
4
|
8
|
12
|
16
|
20
|
--
|
28
|
--
|
--
|
5
|
5
|
10
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15
|
20
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25
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|
--
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--
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6
|
6
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--
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--
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--
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--
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7
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7
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--
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28
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--
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8
|
8
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24
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--
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9
|
9
|
--
|
27
|
--
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--
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--
|
--
|
--
|
--
|
Note que nesta construção, vão sendo usadas intuitivamente, diversas propriedades da multiplicação. Ao longo desta atividade a compreensão da multiplicação está presente o tempo todo.
-x
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-1
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2
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3
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4
|
5
|
6
|
7
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8
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9
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1
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1
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2
|
3
|
4
|
5
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6
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7
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8
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9
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2
|
2
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4
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6
|
8
|
10
|
12
|
14
|
16
|
18
|
3
|
3
|
6
|
9
|
12
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15
|
18
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21
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24
|
27
|
4
|
4
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8
|
12
|
16
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20
|
24
|
28
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32
|
36
|
5
|
5
|
10
|
15
|
20
|
25
|
30
|
35
|
40
|
45
|
6
|
6
|
12
|
18
|
24
|
30
|
36
|
42
|
48
|
54
|
7
|
7
|
14
|
21
|
28
|
35
|
42
|
49
|
56
|
63
|
8
|
8
|
16
|
24
|
32
|
40
|
48
|
56
|
64
|
72
|
9
|
9
|
18
|
27
|
36
|
45
|
54
|
63
|
72
|
81
|
Uma vez completada a tabela, podemos prosseguir explorando-a ainda mais:
A linha do 1 é igual á coluna do 1. A linha do 2 é igual á coluna do 2 etc. Isto ocorre porque 3 x 1 = 1 x 3, 2 x 4 = 4 x 2 etc.
Na linha do 1 (e na coluna do 1) os números aumentam de 1 em 1.
Na linha 2 (e na coluna do 2) os números aumentam de 2 em 2.
Peça aos alunos que localizem todos os 12 da tabela. Ele aparece quatro vezes. Estas quatro aparições correspondem aos produtos 3 x 4, 4 x 3, 2 x 6 e 6 x 2. Faça o mesmo com outros números, com 16, 15 etc. Uns aparecem três vezes, outros duas e outros ainda só uma vez.
A memorização também é necessária
É importante que, uma vez compreendidos os fatos fundamentais, eles sejam, aos poucos, memorizados pelas crianças. Para isso é interessante utilizar jogos variados. Vamos dar um exemplo.
O tabuleiro do desenho, com 36 casinhas, pode ser desenhado em cartolina ou qualquer outro papel. Os números que nele aparecem são os resultados das multiplicações de
1, 2, 3, 4, 5 e 6 por 1, 2, 3, 4, 5 e 6:
Para jogar são necessários dois dados.
-
|
4
|
6
|
15
|
12
|
5
|
9
|
2
|
1
|
30
|
6
|
3
|
24
|
--
|
8
|
12
|
10
|
2
|
20
|
18
|
--
|
25
|
4
|
18
|
12
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30
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4
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--
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15
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3
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16
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36
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8
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10
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--
|
6
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24
|
6
|
20
|
5
|
12
|
--
|
Um aluno joga contra outro. Na sua vez, cada jogador lança os dois dados, observa os dois números obtidos e procura, no tabuleiro, o produto dos mesmos, aí colocando um grão de feijão, por exemplo. O outro jogador deve assinalar seus resultados com outra marca, como tampinhas por exemplo.
Vence o jogador que tiver 3 marcadores numa mesma linha, coluna ou diagonal.
O professor pode ainda promover com os alunos a "gincana da multiplicação", em que um grupo faz perguntas a outro: "quanto é 3 x 9?". Ou então um grupo diz o produto (por exemplo: 63) e o outro encontra os fatores (7 e 9).
Estas atividades contribuem para a memorização da tabuada. É claro que este esforço de memorização não deve ser obsessivo. Se um aluno, em algum momento, não se lembrar, por exemplo, de quanto é 7 x 8, é importante que ele tenha a chance de pensar e descobrir por si próprio. Além disso, devemos discutir com os alunos a necessidade desta memorização. Eles devem saber que ela é necessária para que possamos apresentar um bom desempenho em situações mais complexas. A necessidade da memorização justifica-se. Não é á toa que os fatos fundamentais têm este nome. A fixação dos mesmos é importante para que o aluno compreenda e domine algumas técnicas de cálculo. Na exploração de novas idéias matemáticas (frações, geometria, múltiplos, divisores etc) a multiplicação aparecerá com freqüência. Se a criança não tiver fixado os fatos fundamentais, a cada momento ela engasgará na tabuada, desviando sua atenção das novas idéias que estão sendo trabalhadas.
Respondendo então á pergunta que dá título a esta leitura, devemos dizer que o aluno não deve decorar mecanicamente a tabuada, mas que precisa fazer um certo esforço para memorizar. Insistimos porém que esta memorização deve ser precedida pela compreensão. A ênfase do trabalho deve ser posta na construção dos conceitos. A preocupação com a memorização não deve ser obsessiva e exagerada.
Sugestões para leitura
TELECURSO 1° GRAU (livro de matemática)
Autores: José Jakubovic, Fernando Trotta e Luiz M. Imenes
Editora: Globo
Endereço da Editora:
Rua Itapiru, 1209
20251 - Rio de Janeiro - RJ
Tel. (021) 273-5522
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO (Coleção Ensinando-Aprendendo)
Autor: Dione Lucchesi de Carvalho
Editora: CLR Balieiro Editores Ltda.
Endereço da Editora:
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Editora: CLR Balieiro Editores Ltda.
Endereço da Editora:
Rua Borges Lagoa, 1231 - conj. 73
04038 - São Paulo - SP
MATEMÁTICA NA ESCOLA PRIMÁRIA: UMA OBSERVAÇÃO NO COTIDIANO (Coleção Temas Básicos de Educação e Ensino)
Autora: Maria Lucia Fraga
Editora: E.P.U. (Editora Pedagógica Universitária)
Endereço da Editora:
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Autora: Maria Lucia Fraga
Editora: E.P.U. (Editora Pedagógica Universitária)
Endereço da Editora:
Caixa Postal 7509
01051 - São Paulo - SP
ATIVIDADES MATEMÁTICAS (3 volumes, para 1ª, 2ª e 3ª séries do 1° grau)
Autores: Equipe da CENP
Editora: CENP - Coordenadoria de Ensino e Normas Pedagógicas - Secretaria de Educação do Estado de São Paulo
Endereço da Editora:
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Autores: Equipe da CENP
Editora: CENP - Coordenadoria de Ensino e Normas Pedagógicas - Secretaria de Educação do Estado de São Paulo
Endereço da Editora:
Rua João Ramalho, 1546
05008 - São Paulo - SP
O ENSINO DE MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO DE ADULTOS
Autor: Newton Duarte
Editora: Cortez Editora
Endereço da Editora:
O ENSINO DE MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO DE ADULTOS
Autor: Newton Duarte
Editora: Cortez Editora
Endereço da Editora:
Rua Bartira, 387
05009 - São Paulo - SP
Tel. (011) 864-0111
REVISTA DO ENSINO DE CIÊNCIAS N° 22 (artigos sobre Cálculo Mental e Multiplicação e Divisão)
Editora: FUNBEC
Endereço da Editora:
REVISTA DO ENSINO DE CIÊNCIAS N° 22 (artigos sobre Cálculo Mental e Multiplicação e Divisão)
Editora: FUNBEC
Endereço da Editora:
Caixa Postal 2089
01501-970 - São Paulo - SP
NÚMEROS E OPERAÇÕES - CONTEÚDO E METODOLOGIA DA MATEMÁTICA
Autora: Marília R. Centurión
Editora: Scipione
Endereço da Editora:
NÚMEROS E OPERAÇÕES - CONTEÚDO E METODOLOGIA DA MATEMÁTICA
Autora: Marília R. Centurión
Editora: Scipione
Endereço da Editora:
Rua Fagundes, 121
01508-030
Tel. (011) 239-1700
Os livros indicados a seguir estão esgotados. Não são mais encontrados nas livrarias. Entretanto, consideramos conveniente mencioná-los pois, talvez, alguns cursistas tenham a oportunidade de encontrá-los em bibliotecas de Universidades ou em "sebos" (livrarias que vendem livros usados).
A MAGIA DOS NÚMEROS
Autor: Paul Karlson
Editora: Globo
Esgotado
MARAVILHAS DA MATEMÁTICA
Autor: Lancelot Hogben
Editora: Globo
Esgotado
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