Blog Educacional/LANA: SND - O ÁBACO - NÚMERO E SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

Quando enfrentamos situações em que queremos saber "quantos", nossa primeira atitude é contar. Mas os homens que viveram há milhares de anos não conheciam os números nem sabiam contar. Então como surgiram os números?

Para responder a essa pergunta precisamos ter uma ideia de como esses homens viviam e quais eram suas necessidades. Naquele tempo, o homem, para se alimentar, caçava, pescava e colhia frutos; para morar, usava cavernas; para se defender, usava paus e pedras.

Mas esse modo de vida foi-se modificando pouco a pouco. Por exemplo: encontrar alimento suficiente para todos os membros de um grupo foi se tornando cada vez mais difícil à medida que a população aumentava e a caça ia se tornando mais rara. O homem começou a procurar formas mais seguras e mais eficientes de atender às suas necessidades.

Foi então que ele começou a cultivar plantas e criar animais, surgindo a agricultura e o pastoreio, há cerca de 10.000 anos atrás.

Os pastores de ovelhas tinham necessidades de controlar os rebanhos. Precisavam saber se não faltavam ovelhas. Como os pastores podiam saber se alguma ovelha se perdera ou se outras haviam se juntado ao rebanho?

Alguns vestígios indicam que os pastores faziam o controle de seu rebanho usando conjuntos de pedras. Ao soltar as ovelhas, o pastor separava uma pedra para cada animal que passava e guardava o monte de pedras.

Quando os animais voltavam, o pastor retirava do monte uma pedra para cada ovelha que passava. Se sobrassem pedras, ficaria sabendo que havia perdido ovelhas. Se faltassem pedras, saberia que o rebanho havia aumentado. Desta forma mantinha tudo sob controle.

Uma ligação do tipo: para cada ovelha, uma pedra chama-se, em Matemática, correspondência um a um.

Fazer correspondência um a um é associar a cada objeto de uma coleção um objeto de outra coleção. Como você vê, o homem resolveu seus primeiros problemas de cálculo usando a correspondência um a um. A correspondência um a um foi um dos passos decisivos para o surgimento da noção de número.

Afinal, alguma coisa em comum existia entre o monte de pedras e o grupo de ovelhas: se a quantidade de pedras correspondia exatamente à quantidade de ovelhas, esses dois conjuntos tinham uma propriedade comum: o número de ovelhas ou pedras.

Mas, provavelmente o homem não usou somente pedras para fazer correspondência um a um. É muito provável que ele tenha utilizado qualquer coisa que estivesse bem à mão e nada estava mais à mão do que seus próprios dedos. Certamente o homem primitivo usava também os dedos para fazer contagens, levantando um dedo para cada objeto.

Entretanto, surgiu um novo problema: levantar dedos permitia saber, no momento, a quantidade de objetos, mas não permitia guardar essa informação. Era fácil esquecer quantos dedos haviam sido levantados. Separar pedras já permitia guardar a informação por mais tempo, mas não era muito seguro. Surgiu, portanto, o problema de registrar as quantidades.

A seguir, responda o seguinte problema e depois verifique a resposta.

Pergunta: Imagine que você esteja numa festa-baile. Em que momento é mais fácil saber se há mais homens ou mais mulheres na festa: quando estão dançando, ou quando a música para e as pessoas estão conversando pelo salão? Por quê?.

Resposta

Resposta: O momento mais fácil para se saber se existem mais homens ou mulheres no salão é quando as pessoas estão dançando. Verificando as pessoas que não estão dançando, tem-se uma idéia precisa da maioria de homens ou mulheres.

Os primeiros registros de números

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Nos museus de todo o mundo há inúmeros objetos com marcas, pertencentes a épocas antigas. São pedaços de pau com talhos, pedaços de barro com marcas e cordas com nós. Existem cavernas em cujas paredes podemos ver marcas talhadas ou pintadas.

Isso parece indicar que o homem sentiu necessidade de registrar o total de objetos que contava. E como se fazia isso? Para registrar o total de objetos ele usava também a correspondência um a um: uma marca para cada objeto.

Contando grandes quantidades
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Você já reparou que, quando precisamos contar uma grande quantidade de coisas, vamos separando os objetos em montes ou em grupos, pois isto facilita a contagem? É isto que fazemos, por exemplo, quando contamos por dúzias. Contar por dúzia é uma forma de agrupar: agrupar de 12 em 12.

Em muitas situações, os agrupamentos são necessários e facilitam o trabalho do homem. Observe, por exemplo, como são embaladas muitas coisas que compramos. Os fabricantes agrupam um determinado número de unidades em cada embalagem. Por exemplo: as barrinhas de drops vêm com o mesmo número de balas, os maços de cigarro vêm sempre com o mesmo número de cigarros.

Você já viu alguma vez um pacote grande de fósforos? Um pacote grande vem com 20 maços, cada maço com 10 caixas e cada caixa com 40 palitos de fósforo.

Em relação ao pacote grande de fósforos mencionado, responda:

a) Quantos fósforos tem um maço com 10 caixas de fósforos ?

fósforos

b) Quantos fósforos tem um pacote grande ?

fósforos

Mas, em que época de sua história o homem percebeu que agrupar ajuda a contar? Sabemos que não foi de um dia para o outro. Sabemos também que as primeiras formas de agrupar, provavelmente, se relacionavam com as mãos e também com os pés. O homem deve ter começado a agrupar de cinco em cinco, de dez em dez, de vinte em vinte, fazendo a correspondência com os dedos das mãos e dos pés.

Registrando grandes quantidades

Depois que o homem teve a idéia de fazer agrupamentos para facilitar a contagem, surgiu o problema de registrar os agrupamentos usando algum tipo de marca. Veja porque isso era necessário:

Imagine que uma pessoa usasse traços para representar cada ovelha. Por exemplo: um homem tinha

Não seria nada prático, não é mesmo? Talvez a solução encontrada tenha sido separar grupos de marcas.

Um homem tinha ~~| | | | | | | | | |~~ ~~| | | | | | | | | |~~ | | | | ovelhas

Neste caso, as marcas estão agrupadas de dez em dez.

Ainda hoje em dia, nos jogos, é muito comum contar pontos registrando agrupamentos de 5. Por exemplo, num jogo:

João fez

Pedro fez

Pergunta: Imagine que você esteja numa terra estranha, onde as coisas são contadas de 7 em 7; para cada coisa contada, faz-se corresponder uma marca: l. A cada 7 marcas, faz-se um agrupamento do seguinte modo:

a) Se o registro após uma contagem for:

,quantas coisas foram contada ?

b) Qual será o registro para 38 coisas contadas, das três opções abaixo ?

(1)

(2)

(3)

resposta
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(a)	foram contadas 24 coisas
(b)	alternativa correta : (2) ou seja

O sistema de numeração egípcio

Essa idéia de agrupar marcas foi utilizada nos sistemas mais antigos de numeração.

Os egípcios da Antiguidade criaram um sistema muito interessante para escrever números, baseado em agrupamento.

1 era representado por uma marca que se parec ia com um bastão |
2 por duas marcas ||
E assim por diante:

3	\|\|\|	7	\|\|\|\|\|\|\|
4	\|\|\|\|	8	\|\|\|\|\|\|\|\|
5	\|\|\|\|\|	9	\|\|\|\|\|\|\|\|\|
6	\|\|\|\|\|\|

Quando chegavam a 10, eles trocavam as dez marcas: ||||||||||

por

,que indicava o agrupamento.

Feito isso, continuavam até o 19:

10	15\|\|\|\|\|
11 \|	16 \|\|\|\|\|\|
12 \|\|	17 \|\|\|\|\|\|\|
13 \|\|\|	18 \|\|\|\|\|\|\|\|
14 \|\|\|\|	19 \|\|\|\|\|\|\|\|\|

O 20 era representado por

E continuavam:

Para registrar 100, ao invés de

, trocavam esse agrupamento por um símbolo novo, que parecia um pedaço de corda enrolada:

Juntando vários símbolos de 100, escreviam o 200, o 300,... etc, até o 900.

Dez marcas de 100 eram trocadas por um novo símbolo, que era a figura da flor de lótus:

Desta forma, trocando cada dez marcas iguais por uma nova, eles escreviam todos os números de que necessitavam.

Veja os símbolos usados pelos egípcios e o que significava cada marca.

Observe como eles escreviam o número 322:

ou seja, 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 1 + 1

Entretanto, usando o sistema egípcio, fica trabalhoso registrar certas quantidades.

Experimente, por exemplo, escrever 999 no sistema egípcio e compare com a nossa maneira

de escrevê-lo.

Escreva em escrita egípcia os números:

(a) 23

Escolha uma das alternativas:

Alternativa número

(b) 234

Escolha uma das alternativas:

Alternativa número

O sistema de numeração romano

Diversas civilizações da Antiguidade, além da egípcia, desenvolveram seus próprios sistemas de numeração. Alguns deles deixaram vestígios, apesar de terem sido abandonados.

Assim, por exemplo, na contagem do tempo, agrupamos de 60 em 60; sessenta segundos compõem um minuto e sessenta minutos compõem uma hora. Isto é conseqüência da numeração desenvolvida na Mesopotâmia, há mais de 4000 anos. Lá era usada a base sessenta.

Outro vestígio de uma numeração antiga pode ser observado nos mostradores de relógios, na indicação de datas e de capítulos de livros: são os símbolos de numeração romana.

Estes são os símbolos usados no sistema de numeração romano:

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Vamos lembrar como eram escritos alguns números:

sete trinta e seis cento e cinqüenta e dois mil setecentos e onze

VII XXXVI CLII MDCCXI

5+1+1 10+10+10+5+1 100+50+1+1 1000+500+100+100+10+1

Para não repetir 4 vezes um mesmo símbolo, os romanos utilizavam subtração.

Observe alguns números que seriam escritos com 4 símbolos e como os romanos passaram a escrevê-los:

quatro nove quarenta quarenta e quatro novecentos

IV IX XL XLIV CM

5-1 10-1 50-10 (50-10)+(5-1) 1000-100

quatrocentos e noventa mil novecentos e noventa e quatro

CDXC MCMXCIV

(500-100)+(100-10) 1000+(1000-100)+(100-10)+(5-1)

Assim como no sistema egípcio, também na numeração romana é trabalhoso escrever certos

números. Veja:

três mil oitocentos e oitenta e oito

MMMDCCCLXXXVIII

1000+1000+1000+500+100+100+100+50+10+10+10+5+1+1+1

Escreva com símbolos romanos os números:

a)23:

b)234:

c)999:

Exercício 1

1) No jogo de bilhar ou de sinuca, os jogadores costumam marcar os pontos usando um

quadro como o da figura abaixo.

O quadro é usado da seguinte maneira:

No começo, todas as bolinhas estão do lado direito dos fios de arame. Cada vez que um

jogador faz um ponto, puxa uma bolinha para a esquerda. Ao completar 20 bolinhas, o

jogador faz uma marca no quadro-negro. Depois, volta as bolinhas para o lado direito e

recomeça a contagem. Pedro, Luiz e Ribamar estavam jogando sinuca e saíram para tomar

um cafezinho, deixando, no quadro, a seguinte marcação:

Em outra partida, Pedro, Luiz e Ribamar fizeram a seguinte marcação:

Quantos pontos fez cada um?

a) Pedro:

pontos.

b) Luiz:

pontos.

c) Ribamar:

pontos.

Exercício 2

2) As crianças estão brincando de "vendinha" e, com uma tábua, improvisaram um cartaz. Nele

escreveram:

 Uma caixa tem 5 balas.

 Um pacote tem 5 caixas.

a) Joana comprou 3 pacotes, 2 caixas e mais 4 balas.

Quantas balas, ao todo, ela comprou?

balas.

b) Pedrinho quer comprar 32 balas.

Quantos pacotes e quantas caixas vai levar?

pacotes:

caixas:

balas soltas:

Exercício 3

3) Suponha uma civilização antiga, que usava agrupamentos de 5 em 5 para representar

quantidades. Os símbolos eram os seguintes:

´a´ representava a unidade.

´b´ representava um agrupamento de cinco unidades.

´c´ representava um agrupamento de cinco agrupamentos de cinco unidades.

Ou seja:

a = unidade

b = aaaaa

c = bbbbb

Represente, com esses símbolos, as seguintes quantidades:

a) 17:

b) 31:

c) 26:

d) 100:

Exercício 4

4) Escreva com símbolos egípcios e romanos:

a) Ano da Independência do Brasil: 1822.

Com símbolos egípcios fica:

Faça sua opção:

opção número:

Com símbolos romanos fica:

b) O dia de Natal: 25 de dezembro. (dia = 25; mês = 12)

Com símbolos egípcios fica:

Com símbolos romanos fica:

DIA

MÊS

Exercício 5

5) Observe as informações do documento abaixo:

Idade do Faraó

Número de homens que estão trabalhando na pirâmide
a) Qual é a idade do Faraó?

anos.
b) Quantos homens estão trabalhando na pirâmide?

homens.

Exercício 6

6) O texto da lição faz referências a vestígios da antiga numeração romana e apresenta as

seguintes ilustrações:

Indique, usando o nosso sistema de numeração:

a) A hora indicada pelo relógio:

horas.

b) O capítulo do livro: capítulo

c) A data do monumento:ano

O sistema de numeração decimal

Na primeira parte deste módulo representamos as numerações egípcia e romana. Vimos que elas são pouco práticas em comparação com o nosso sistema de numeração, pois, para representar certos números, os egípcios e romanos precisavam enfileirar uma grande quantidade de símbolos.

Com o nosso sistema de numeração, usando apenas dez símbolos diferentes, podemos escrever qualquer número, enquanto que, nas numerações egípcia e romana, para se escrever números muito grandes seria preciso criar novos símbolos: um para o dez mil, outro para o dez milhões, outro para o cem milhões etc.

Os sistemas de numeração egípcio e romano apresentavam ainda uma outra dificuldade: era

muito trabalhoso efetuar cálculos usando esses critérios.

Essas dificuldades foram superadas pelos hindus, que foram os criadores do nosso sistema de numeração. Eles souberam reunir três características que já apareciam em outros sistemas numéricos da Antiguidade:

 o sistema de numeração hindu é decimal (o egípcio, o romano e o chinês também o eram);

 o sistema de numeração hindu é posicional (o babilônio também era);

 o sistema de numeração hindu tem o zero, isto é, um símbolo para o nada.

Estas três características, reunidas, tornaram o sistema de numeração hindu o mais prático de todos. Não é sem motivo que hoje ele é usado quase no mundo todo. Vamos analisar as características do nosso sistema de numeração para compreender suas regras de funcionamento. Sem esta compreensão é impossível entender as técnicas operatórias, os números decimais e o sistema métrico decimal.

Agrupando e reagrupando

Vimos que, para contar grandes quantidades, costumamos agrupar os objetos. Para contar as bolinhas do desenho

podemos agrupá-las, por exemplo, de 3 em 3 ou de 5 em 5. Entretanto, nosso hábito é agrupá-las de 10 em 10.

Podemos registrar o resultado dessa contagem destas maneiras:

Vamos aumentar o número de bolinhas e agrupá-las assim:

Podemos reagrupar, isto é, agrupar os grupos:

Suponhamos que, ao efetuar a contagem de objetos, você chegasse à seguinte situação:

5 agrupamentos de grupos de dez,

mais 3 grupos de dez,

mais 4 objetos soltos.

Quantos objetos foram contados?

objetos.

Agrupar e reagrupar de 10 em 10 é uma das características do nosso sistema de numeração, que, por isso, é chamado de sistema de numeração decimal. Também dizemos que nosso sistema tem base 10.

Os agrupamentos de grupos de dez são denominados centenas; os grupos de dez, dezenas, e os objetos soltos, unidades.

O hábito de agrupar de 10 em 10, presente em vários sistemas de numeração (além do nosso, no egípcio, no romano e no chinês, por exemplo), sem dúvida se relaciona com a utilização dos dedos na realização de contagens. Foi usando os dez dedos das mãos que o homem aprendeu a contar. Fazemos isso até hoje...

Entretanto, o homem não se contentou só com suas mãos. Ele criou alguns instrumentos para auxiliá-lo nos cálculos. Dentre esses instrumentos, destaca-se o ábaco, pela eficiência e simplicidade. Ele continua a ser usado até os dias de hoje.

O Ábaco

Há vários tipos diferentes de ábacos, mas todos obedecem basicamente aos mesmos princípios. Vamos nos referir ao mais simples deles. Numa moldura de madeira são fixados alguns fios de arame. Dez bolinhas correm em cada fio. As do 1º fio representam as unidades; as do 2º fio representam as dezenas; as do 3º fio, as centenas e assim por diante.

Vamos nos imaginar contando as crianças que entram na escola, passando uma a uma pelo portão. Inicialmente todas as bolinhas devem estar do lado esquerdo do ábaco.

1. Para cada criança que passa, deslocamos uma bolinha do 1º fio para a direita.

2. Quando as dez bolinhas do 1º fio estão à direita, deslocamos uma bolinha do 2º fio para a direita e voltamos com as dez bolinhas do 1º fio para a esquerda.

3. Assim, prosseguimos a contagem.

4. Quando as dez bolinhas do 2º fio estiverem à direita, deslocaremos uma bolinha do 3º fio para a direita e as bolinhas do 2º fio voltarão para a esquerda.

Suponhamos que, ao terminar a contagem, esta seja a disposição das bolinhas no ábaco:

Podemos registrá-la deste modo:

centenas dezenas unidades

3 6 5

O número total de alunos é:

3 bolinhas que valem 100 +6 bolinas que valem 10 cada uma +5 bolinhas que valem

cada uma cada uma cada uma

ou seja:

3 x 100 + 6 x 10 + 5 x 1 = 365

300 +60 +5 =365

Um grande avanço: O valor posicional

No ábaco, as bolinhas são todas iguais, mas o valor de cada bolinha depende do arame em que ela está. Certamente, foi esta característica do ábaco que fez surgir a ideia de dar valores diferentes a um mesmo algarismo, dependendo do lugar em que ele está escrito.

Por exemplo, em 3333, o algarismo 3 assume diferentes valores:

Antes de aparecer o sistema de numeração desenvolvido pelos hindus, o princípio posicional já aparecia em outros sistemas de numeração, como o dos babilônios, por exemplo. Entretanto, foi na numeração hindu que ele ganhou força total. Mas isto só aconteceu graças à criação de um símbolo para o nada.

A necessidade do zero

Estamos tão acostumados com sistema de numeração decimal que ele nos parece incrivelmente simples. No entanto, desde os tempos em que os homens fizeram suas primeiras contagens, até o aparecimento do sistema de numeração hindu, decorreram milhares de anos. É surpreendente que diversas civilizaçðes da Antiguidade, como as dos egípcios, babilonios e gregos, capazes de realizações maravilhosas, não tenham chegado a um sistema de numeração tão funcional quanto o dos hindus. Por que tanta dificuldade? Uma possível resposta a esta pergunta nos leva ao zero, isto é, a um símbolo para o nada.

Estamos tão familiarizados com o zero que não sentimos a menor dificuldade em raciocinar com ele. As crianças o dominam com facilidade. Entretanto, nem sempre foi assim. Nossos antepassados custaram muito para inventar o zero e, mesmo depois de nascido, o símbolo para o nada demorou a ser aceito.

É facil compreender o porquê dessa demora: os números foram criados pelos homens como um recurso para auxiliá-los nas diversas contagens que precisavam fazer no seu dia-a-dia. Os números surgiram da necessidade de determinar quantidades. Ora, quem não tem coisa alguma, que necessidade pode ter de contar o que não tem? Por exemplo: você tem alguma girafa em sua casa? Imaginamos que não! E se você não tem girafas em casa, não vai sentir necessidade alguma de contar quantas girafas tem em casa. Portanto, enquanto se tratava apenas de determinar quantidades, ninguém sentiu falta de um símbolo para o nada.

O zero surgiu quando se procurou representar, fielmente, com símbolos no papel, o que se passava no ábaco.

O ábaco e o zero

Observe as quantidades indicadas em cada um dos ábacos seguintes:

No nosso sistema de numeração elas são registradas assim: 34 e 304. Quando escrevemos 304, o símbolo "0" indica que na 2ª fileira do ábaco não há bolinhas do lado direito. Ao invés do símbolo "0" poderíamos usar outro qualquer como, por exemplo, um espaço em branco: 3 4. Isto não importa; estaríamos, do mesmo modo, usando um símbolo para o nada.

O zero se torna um número

Depois do zero ter sido inventado para resolver um problema do sistema posicional de numeração, ocorreu uma coisa interessante: o zero passou a ser tratado como qualquer um dos outros nove símbolos. O zero passou a ser tão número quanto os outros. O nada tornou-se número também, sendo introduzido na sequência: 0, 1, 2, 3, etc...

Comparando três sistemas de numeração

Para encerrar esta lição e favorecer a compreensão do nosso sistema de numeração, vamos

confrontá-lo com os sistemas de numeração egípcio e romano. Faremos esta comparação

apontando as características básicas desses sistemas.

1) Base

Como vimos, a base de um sistema é a quantidade escolhida no processo de agrupar e

reagrupar.

 no nosso sistema a base é dez;

 no egípcio a base é dez;

 no romano a base é dez.

Note que, no sistema romano, os símbolos são sempre reagrupados de dez em dez: dez "I"

formam um "X", dez "X" formam um "C", dez "C" formam um "M".

Neste ponto, pode surgir uma dúvida, pois cinco "I" são substituídos por um "V".

Entretanto, não existem reagrupamentos de cinco. Cinco "V" não são trocados por um

símbolo novo. Os símbolos "V", "L" e "D", que indicam 5, 50 e 500 são utilizados somente

para simplificar a escrita. Portanto, podemos afirmar que a base do sistema romano é mesmo

10.

2) Valor posicional

 nosso sistema é posicional; 51 é diferente de 15;

 o egípcio não é posicional; é indiferente escrever doze assim:

ou assim:||

 o romano é posicional, mas não no mesmo sentido do nosso sistema. É diferente escrever

VI ou IV.

3) Zero

 nosso sistema tem um símbolo para o nada;

 o egípcio não tem zero;

 romano não tem zero.

4) Princípio multiplicativo

O número posicional, como o nosso, baseia-se no princípio multiplicativo: cada algarismo

representa o produto dele mesmo pelo valor de sua posição. Por exemplo: na nossa maneira

de escrever o número 245.

Nos sistemas egípcio e romano não vale o princípio multiplicativo.

5) Princípio aditivo

O número representado é a soma dos valores que cada um dos símbolos representa. O

princípio aditivo comparece nos três sistemas:

 no nosso sistema, 245 = 200 + 40 + 5;

 no egípcio,

||| = 100 + 100 + 10 + 1 + 1 + 1;

 no romano, CXXVII = 100 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 .

Entretanto, no sistema romano, o princípio aditivo precisa ser aplicado com cuidado, porque

nele existe também o princípio subtrativo. Por exemplo:

A leitura correta : CXLIX = 100+(50-10)+(10-1)

Uma leitura errada seria: CXLIX = 100+10+50+1+10

6) Quantidades de símbolos diferentes

Quantos símbolos diferentes são necessários para escrever qualquer número?

 no nosso sistema, com apenas dez sinais diferentes, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0, escrevemos

qualquer número (isto é fantástico!!);

 no egípcio e no romano, por mais que se criassem novos símbolos, sempre seria possível

pensar num número que, para ser escrito, precisaria de um novo símbolo. Assim, seriam

necessários infinitos símbolos.

Exercícios

1) O antigo povo hindu, criador do nosso atual sistema de numeração, conseguiu reunir três características no sistema de numeração por eles desenvolvido.

Algumas destas características já apareciam em outros sistemas da Antiguidade, porém as três reunidas tornaram o sistema de numeração hindu o mais prático de todos. Quais são essas características?

2) 2) É surpreendente que diversas civilizações da Antiguidade, como a dos egípcios, babilônios, gregos e romanos, capazes de realizações maravilhosas, não tenham chegado a um sistema tão funcional quanto o dos hindus. Esta dificuldade se deve ao fato de que nossos antepassados levaram muito tempo para realizar uma grande invenção. Que invenção foi essa?

a) O que é base de um sistema de numeração?

b) Qual é a base do nosso sistema de numeração?

4) Apresentamos abaixo o desenho de um ábaco, onde está representado um número na base dez:

Qual é o número aí representado? número

5) A professora da segunda série propôs às crianças uma atividade que facilita a compreensão das

regras do sistema de numeração decimal. Pediu a dois alunos, Taciana e João, que contassem o número de irmãos de todos os alunos da classe. A contagem deveria ser feita usando os dedos das duas mãos, segundo duas regras:

- Cada vez que um aluno dissesse o nome de um irmão, João deveria levantar um dedo.

- Toda vez que estivesse com os dez dedos levantados, Taciana deveria levantar um dedo e João, imediatamente, abaixar todos os seus.

Suponhamos que o número de irmãos de todos os alunos da classe seja 74.

Escolha uma alternativa correta, para a representação dos dedos das mãos dos dois alunos,

ao final da contagem:

alternativa número:

6) Como vimos, no nosso sistema de numeração registramos fielmente o que acontece no ábaco, ao

passo que, no código empregado pelos romanos, isto não acontece. Represente as quantidades

indicadas nos ábacos abaixo, nos dois sistemas de numeração.

7) Suponhamos que você vá fazer agrupamentos (e reagrupamentos) com 253 objetos. Os agrupamentos serão sempre de dez em dez. A cada dez grupos de dez, deverá ocorrer um reagrupamento. Terminado este trabalho, quantos agrupamentos de dez grupos de dez você terá feito? Quantos grupos de dez não foram reagrupados? Sobraram objetos?

Escolha uma alternativa correta com os resultados por você obtidos:

(1)

(2)

alternativa número:

8) O menor número de três algarismos é o 100 e o maior 999. Baseado nessa informação, escreva os quatro números possíveis de três algarismos, em ordem crescente, usando somente os dígitos 2, 5 e 0, sem que, num mesmo número, haja repetição de algarismos. (Lembre-se: dígito é o mesmo que algarismo)

9) Qual é o maior número que se pode escrever com quatro algarismos, sem repeti-los?

10) Qual é o menor número que se pode escrever com quatro algarismos sem repeti-los?

O sistema de numeração decimal tem história

O desenvolvimento da Matemática entre os povos antigos

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Na lição deste módulo apresentamos os sistemas numéricos egípcio e romano. Outras civilizações da Antiguidade, como as dos babilônios, gregos, chineses e hindus, criaram seus próprios sistemas numéricos. Os maias, que viveram na América Central em tempos mais recentes, também desenvolveram um modo interessante de registrar números.

Para a compreensão desta leitura, é importante observar que estas civilizações não vieram umas depois das outras. Pelo contrário, muitas coexistiram durante séculos e, embora localizadas em regiões diferentes, mantiveram contato umas com as outras. Com exceção dos maias, que habitavam a América, as civilizações da Europa, Oriente e Oriente Médio trocavam mercadorias e conhecimentos.

O intercâmbio cultural envolveu também os conhecimentos matemáticos daqueles povos e se refletiu nas suas maneiras de contar e escrever os números.

A história dos sistemas de numeração desenvolvidos por nossos antepassados muitas vezes se confunde com a própria história de seus criadores. As condições em que as civilizações do passado surgiram e evoluíram levaram ao desenvolvimento de conhecimentos práticos que constituíram o embrião de nossos amplos e diversificados conhecimentos atuais, em todas as áreas. Assim, a Matemática desenvolveu-se, inicialmente, a partir do modo de vida e das necessidades do dia-a-dia daqueles povos.

As grandes civilizações do passado se desenvolveram às margens de grandes rios e dependiam essencialmente da agricultura. Para a organização das atividades agrícolas era necessário, antes de mais nada, dividir as terras e calcular a extensão que caberia a cada agricultor. A partir desses problemas, desenvolveram-se as primeiras noções de geometria e de medidas de áreas.

Por outro lado, avaliar a quantidade de cereais produzida, distribuir os grãos entre a população, comercializar os produtos agrícolas eram atividades que exigiam um sistema de numeração e técnicas de cálculo.

Era importantíssimo também prever as épocas de chuva e seca, de frio e calor, ou seja, as estações do ano, que determinavam momentos de plantar e colher. A previsão das estações só foi possível em função da observação cuidadosa dos movimentos dos astros e da posição do Sol, da Lua e das estrelas, nas diferentes épocas do ano. Os povos da Antiguidade, assim como os povos americanos que mais se desenvolveram (os maias, astecas e incas) criaram seus calendários, o que exigia conhecimentos de astronomia e habilidades de cálculo.

Entretanto, nossos antepassados não se limitaram a conhecimentos de caráter prático. Foram mais longe, pelo prazer do conhecimento em si mesmo. Nisto, muito se destacaram os gregos. No campo da Matemática, a ciência dos gregos atingiu grande desenvolvimento no século IV "a.C.", com Euclides, cuja obra sobre Geometria influencia o ensino dessa parte da Matemática, até hoje, em muitas de nossas escolas. Os gregos criaram seu próprio sistema de numeração, com base 10, utilizando letras para representar os números, o que não facilitava os cálculos.

Os romanos, que expandiram seus domínios a partir do século V "a.C.", assimilaram uma parte da Ciência grega, mas interessaram-se sobretudo por suas aplicações práticas, na engenharia (construção de estradas e aquedutos) e na medicina. No campo da Matemática não deram qualquer contribuição importante.

As invasões bárbaras, nos séculos V e VI "d.C.", acabaram por destruir o Império Romano e mergulharam o mundo ocidental num período pouco favorável ao desenvolvimento da Ciência.

Entretanto, enquanto o Império Romano declinava, uma grande civilização florescia no Oriente, no vale do rio Indo, entre as regiões que atualmente constituem o Paquistão e a Índia.

A civilização do Vale do Indo

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A região do Rio Indo

Os rios sempre tiveram grande importância na vida dos homens. São fontes de vida, pois fornecem água e alimento. Além disso são estradas naturais. Quase todas as grandes civilizações do passado desenvolveram-se às margens de rios. Isto aconteceu também com os hindus.

O rio Indo está localizado onde hoje é o Paquistão: próximo à Índia atual.

Em seu vale, há mais de 4000 anos, foram construídas várias cidades, com ruas, calçadas, sistemas de fornecimento de água e canalizações de esgoto. Possuíam piscinas para banhos públicos e casas construídas com tijolos de barro. Seus habitantes praticavam um comércio bastante intenso, inclusive trocando mercadorias com outros povos.

Como não poderia deixar de ser, numa sociedade com este nível de organização, os habitantes da região possuíam uma linguagem escrita e um sistema numérico. Entretanto, este não era ainda o sistema de numeração que usamos hoje. Muitos séculos se passaram até que os hindus desenvolvessem o sistema de numeração decimal. Não há muitos documentos sobre a Matemática conhecida pelos hindus da Antiguidade. Por isto é impossível saber, com exatidão, quando e como os hindus chegaram ao sistema de numeração decimal posicional. Ao que parece é que, por volta do século V, eles já o utilizavam.

Entretanto, uma coisa é certa: os hindus tiveram contato com muitas outras civilizações. Influenciaram-nas e foram influenciadas por elas. O princípio posicional, presente na numeração hindu, também aparece no sistema numérico dos babilônios, e sabemos que houve contato entre esses povos. A base dez, que é uma das características do sistema hindu, também era usada pelos egípcios e chineses. Isto pode ser explicado pelo fato de todos terem dez dedos nas mãos, mas, talvez, também seja devido ao intercâmbio que houve entre eles.

O zero, que é outra característica importante da numeração dos hindus, talvez também não seja uma criação deles. Há indícios de que, na fase final da civilização babilônia, já era usado um símbolo para o nada.

Entretanto, um grande mérito deve ser creditado aos hindus: o de reunir estas diferentes características num mesmo sistema numérico.

O intercâmbio cultural entre os povos da Antiguidade também se revela no uso do ábaco, cuja origem não é conhecida, mas que, sabemos, era usado pelos chineses, hindus e romanos. É certo que o ábaco teve grande importância na criação do nosso sistema de numeração, como procuramos mostrar na segunda parte da lição.

O Império Muçulmano e a difusão da numeração hindu

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Enquanto os hindus, que habitavam o vale do rio Indo e tinham contatos com muitos outros povos, iam pouco a pouco juntando os fios e preparando a trama do nosso sistema de numeração; grandes acontecimentos tiveram início na Península Arábica.

Esta era uma região desértica habitada principalmente por tribos nômades que se deslocavam em grandes caravanas entre os poucos centros de comércio existentes. Nesse ambiente viveu Maomé, o criador da religião islâmica (ou religião muçulmana) no início do século VII da era cristã.

Maomé não foi apenas líder religioso, mas também grande chefe guerreiro que submeteu ao seu governo toda a Península Arábica. Seus sucessores empreenderam muitas guerras de conquista, ampliando a área de influência do islamismo e estabelecendo um grande império que, um século depois da morte de Maomé, atingia, a leste, a região do rio Indo e, a oeste, o norte da África e a Península Ibérica.

Os árabes não foram apenas guerreiros. Ao contrário, tiveram um papel importantíssimo no campo da cultura e da ciência, especialmente na Matemática. A grande extensão do Império Islâmico permitiu aos estudiosos árabes entrar em contato com as mais variadas culturas.

Seus sábios estudaram e traduziram as obras dos filósofos e matemáticos gregos, preservadas na célebre biblioteca de Alexandria, no Egito. Não fossem as traduções para o árabe, essas obras teriam sido perdidas para sempre com a destruição daquela biblioteca, no final do século VII.

No extremo oriental do seu império, os árabes entraram em contato com a cultura hindu e interessaram-se especialmente pela astronomia, a aritmética e a álgebra, muito desenvolvidas naquela civilização. Estudaram sobretudo o sistema numérico hindu, reconhecendo sua simplicidade e praticidade. Esses conhecimentos já eram dominados pelos hindus há vários séculos, mas não haviam se difundido entre os povos do ocidente.

Os árabes, que haviam penetrado na Europa e dominavam a Península Ibérica, foram os introdutores da ciência oriental na Europa medieval. Entre os séculos VIII e XIII, por iniciativa dos árabes, foram criadas muitas universidades e bibliotecas, desde Bagdá, no Oriente Médio, até Granada e Córdoba, na atual Espanha. Nesses centros, as obras dos hindus foram traduzidas para o árabe e difundidas entre os estudiosos.

Entretanto, na Europa Medieval houve grande resistência à introdução do saber oriental, sobretudo ao sistema de numeração hindu e à maneira de realizar as operações nesse sistema. Estabeleceu-se um conflito entre os partidários do velho ábaco, herança dos romanos, e os que reconheciam as vantagens do método hindu. Esse confronto ficou conhecido como a contenda entre "abacistas" e "algoristas", e terminou com a vitória final destes últimos, já em pleno Renascimento.

Mas o que significava a expressão "algorista" e de onde veio ela?

"al-Khowarizmi" virou "algarismo"

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Os dez símbolos do nosso sistema de numeração são chamados dígitos ou algarismos. Dizemos, por exemplo, que 507 é um número de três dígitos ou três algarismos.

A palavra dígito vem da palavra latina "digitus", que significa dedo. É claro que isto tem a ver com o uso dos dedos nas contagens.

É curiosa a origem da palavra algarismo. Durante o reinado do califa al-Mamun, no século IX, viveu um matemático e astrônomo árabe, que se tornou famoso. Chamava-se Mohammed ibm-Musa al-Khowarizmi. Ele escreveu vários livros. Num deles, intitulado "Sobre a arte hindu de calcular", ele explicava minuciosamente o sistema de numeração hindu. Na Europa, este livro foi traduzido para o latim e passou a ser muito consultado por aqueles que queriam aprender a nova numeração. Apesar de al-Khowarizmi, honestamente, explicar que a origem daquelas idéias era hindu, a nova numeração tornou-se conhecida como a de al-Khowarizmi. Com o tempo, o nome do matemático árabe foi modificado para algorismi que, na língua portuguesa, acabou virando algarismo.

A resistência ao novo

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O sistema numérico criado pelos romanos foi usado na Europa durante muitos séculos. Isto aconteceu, sobretudo, devido ao grande poder da Igreja Católica Apostólica Romana durante toda a Idade Média (do século V ao século XV, aproximadamente). O sistema de numeração decimal, como vimos, chegou à Europa, levado pelos árabes, por volta do século VIII. Portanto, quando a numeração hindu chegou à Europa, os europeus estavam acostumados com a numeração romana.

Para nós, que conhecemos os dois sistemas, é muito fácil perceber as enormes vantagens que o sistema numérico decimal tem sobre a numeração romana. Isto poderia nos fazer concluir que a numeração hindu-arábica tenha sido prontamente aceita pelos europeus, em vista de sua superioridade. Entretanto, não foi isso que aconteceu.

Foram necessários alguns séculos para que as novas idéias triunfassem definitivamente. Isto só aconteceu no século XVI.

Durante muitos anos, uma verdadeira batalha foi travada entre os adeptos do novo sistema e os defensores do sistema antigo. Os numerais hindu-arábicos chegaram a ser proibidos nos documentos oficiais, mas eram usados na clandestinidade.

A perseguição, contudo, não conseguiu impedir a disseminação do novo sistema, que se impôs pelas suas qualidades.

Mudanças na escrita dos algarismos

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Antes da invenção da imprensa, que ocorreu no século XV, os livros eram copiados manualmente, um a um. Como cada copista tinha a sua caligrafia, durante os longos séculos de copiagem manual as letras e os símbolos para representar números sofreram muitas modificações. Além disso, como o sistema de numeração criado pelos hindus foi adotado pelos árabes e passado aos europeus, é natural que, nesse percurso, a forma de escrever os dez algarismos sofresse alterações.

Por volta do século IV, os hindus representavam os algarismos assim:

Não havia ainda um símbolo para o nada.

No século IX, já com o zero, a representação evoluiu para:

No século XI os hindus representavam os dez dígitos assim:

No mesmo século XI, os árabes que estavam no Ocidente representaram assim:

No século XVI os árabes orientais empregavam esta representação:

Veja as formas usadas pelos europeus nos séculos XV e XVI:

Hoje a representação é esta:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

Após a invenção da imprensa, as variações foram pequenas. Os tipos foram sendo padronizados. Mas, mesmo assim, as modificações são inevitáveis. No visor das calculadoras eletrônicas e dos relógios digitais, os dez algarismos são representados assim:

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Crianças e números

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Senso numérico

Vamos fazer uma experiência.

Observe as figuras :

Onde há mais pessoas?

Agora veja estas figuras:

Em qual dos dois casos foi mais fácil perceber onde há mais pessoas?

No primeiro bastou uma simples olhada, não é mesmo? Mas no segundo, provavelmente, você precisou contar.

Somos capazes de distinguir visualmente pequenas quantidades (até quatro, cinco...talvez seis objetos). Entretanto este senso numérico não nos permite distinguir quantidades maiores.

Um fato curioso: alguns animais também parecem ter esta capacidade de distinguir pequenas quantidades. Sobre isso, há um caso interessante relatado por Tobias Dantzig, no livro que indicamos nas sugestões de leitura.

A história é mais ou menos essa :

Um fazendeiro decidiu matar um corvo, pois este fizera o ninho na chaminé de sua lareira, impedindo a saída da fumaça. Por várias vezes o homem tentou pegá-lo de surpresa, mas sempre que se aproximava o corvo fugia.

Um dia o fazendeiro resolveu enganar a ave. Duas pessoas entraram no galpão próximo à chaminé e, depois de algum tempo, apenas uma saiu. O animal não se deixou enganar: fugiu e só voltou ao ninho após a saída do segundo homem.

A experiência foi repetida nos dias seguintes, com três e, depois, quatro pessoas. Não adiantou: a ave só voltou ao ninho depois da saída de todos.

Finalmente, com cinco pessoas, o corvo "perdeu a conta". Não percebendo a diferença entre cinco (que entraram) e quatro (que saíram) ele voltou ao ninho assim que o quarto homem se retirou. Pobre corvo! Passou desta para melhor!

E as crianças? Será que elas têm senso numérico como o corvo da história?

Em crianças pequenas, de 2 ou 3 anos de idade, o senso numérico, às vezes, é menos desenvolvido do que o do corvo. Entretanto essa percepção limitada é o ponto de partida para o desenvolvimento da noção de número. Essa noção, que se desenvolve na mente da criança e que os animais não têm, está vários passos à frente do senso numérico.

O desenvolvimento da noção de número depende das experiências que são vividas pela criança. Mas atenção: Nem todas as crianças vivem as mesmas experiências e, às vezes, encontramos crianças de 5, 6 ou mesmo 7 anos que não têm uma noção adequada de número.

Há crianças que escrevem os números e os recitam até trinta ou quarenta. Apesar disso, se você pedir que elas tragam cinco lápis, elas não acertam.

Isto quer dizer que, na verdade, essas crianças não entendem os números.

É possível ajudar as crianças a formar a ideia de número, mas não devemos nos iludir: somente explicações não levam a criança à noção de número.

Pense em um treinador que ensina um menino a jogar futebol da seguinte maneira: ele explica o que é drible, trave, gol, chute etc; faz o menino decorar tudo isso e depois manda o menino jogar e marcar gols.

Será que o menino vai jogar bem?

Só com explicações, é quase impossível. Aprende-se a jogar futebol jogando, tendo contatos, experiências com a bola, o campo, os companheiros, o adversário. Só depois é que as explicações do treinador podem ser úteis. Podem contribuir para desenvolver o conhecimento sobre o jogo e, talvez, até transformar o aprendiz em craque.

Com as crianças e os números acontece a mesma coisa. Para entender bem os números, as crianças precisam ter vivido certas experiências. Só depois disso que os nossos ensinamentos serão úteis.

A criança começa a formar a ideia de número a partir de situações que envolvem quantidades. A criança pode viver essas situações em casa ou brincando com amigos, antes mesmo de ir à escola. Mas existem crianças que nunca passaram por essas situações.

Por isso, antes de ensinar a escrever números e a contar, devemos criar situações para o aluno ter experiências com quantidades.

Mas, como são essas experiências com quantidades?

Veja no próximo tópico (experiências com quantidades)

Experiências com quantidades

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Em classe, a todo momento, surgem situações que permitem às crianças terem experiências com quantidades.

Por exemplo, você tem quatro lápis na mão e vai distribuí-los a um grupo de cinco alunos.

Você pode perguntar :

- Vejam quantos lápis tenho. Será que posso dar um lápis para cada aluno?

Se os alunos tiverem dificuldades para responder, você os ajuda um pouco:

- Vamos ver. Quem fica com este lápis? E quem fica com este outro?

Desta forma você leva as próprias crianças a fazerem a distribuição. No final elas percebem que falta um lápis.

Nesta situação, as crianças podem comparar quantidades. Comparam a quantidade de lápis com a quantidade de crianças do grupo e podem perceber que há mais crianças do que lápis. Elas conseguem fazer isso sem usar números.

A partir de experiências como esta, trabalhando com quantidades, é que as crianças, pensando sobre a situação, vão construindo a idéia de número.

Vamos ver outro exemplo. Diante dos livros e cadernos empilhados você pergunta:

- Olhem! Há mais livros ou mais cadernos?

A resposta a essa pergunta pode não ser tão fácil para as crianças. Elas podem achar que há mais livros porque eles formam uma pilha mais alta. É uma opinião razoável: mostra que elas têm um critério para responder.

No entanto, elas estão confundindo a quantidade de cadernos com o tamanho da pilha de cadernos. Como vão perceber que quantidade e tamanho são coisas diferentes?

Primeiro, deixe que as crianças espalhem os livros e cadernos, mexam nos objetos e percebam como eles são.

Se as crianças ainda não descobrirem que há mais cadernos, você coloca lado a lado um livro para cada caderno. Então ficará visível que sobra um caderno.

Fazendo isso, as crianças podem compreender melhor o que é quantidade e perceber a diferença entre o tamanho da pilha e a quantidade de cadernos. É mais um passo para a formação da idéia de número.

Muitas situações podem ser aproveitadas. Vejamos mais alguns exemplos: você pode pedir a um aluno que pegue os pratos da merenda na quantidade certa (um prato para cada aluno). Pode perguntar :

-Tenho o bastante para todos os alunos?

Você também pode fazer uma pergunta do tipo:

- Há mais meninos ou mais meninas na classe?

Em todos esses momentos, estamos proporcionando experiências com quantidades e ajudando as crianças a formarem a idéia de número.

Tente imaginar quantas situações assim você pode criar em sua sala de aula e anote-as. Faça uma lista quando você estiver preparando sua aula de matemática.

Entretanto, atenção para o seguinte: devemos auxiliar as crianças mas não responder por elas. Elas devem usar a própria cabeça. A idéia de número não se explica. Ela vai se formando, pouco a pouco, dentro de cada criança.

Tudo o que dissemos sobre as experiências com quantidades pode ser feito todo dia, um pouquinho por dia. Se você percebe que os alunos resolvem facilmente os problemas propostos, esse período inicial pode ser mais curto. Caso contrário, você propõe maior número de experiências.

Veja, agora, uma situação interessante que uma professora inventou para desafiar suas crianças. Elas já tinham tido experiências com quantidades, mas o novo desafio era mais complicado. Nesse caso, elas não tinham duas quantidades para comparar. Tinham uma só e tiveram que descobrir a outra.

A professora dividiu a classe em grupos de quatro, cinco ou seis alunos, deu um punhado de feijões para os grupos e disse:

- Vocês vão fazer os feijões falarem!

As crianças ficaram espantadas, mas a professora continuou :

- Os feijões têm que dizer quantas crianças têm neste grupo. Vocês não devem falar. Em vez disso, devem me mostrar os feijões. E eu, vendo os feijões tenho que saber quantas crianças estão no grupo.

A professora ficou esperando. As crianças tinham dúvidas e fizeram perguntas. A professora repetiu a explicação com outras palavras.

De repente, uma aluna, que estava em um grupo de cinco, teve uma ideia. E logo mostrou cinco feijões para a professora.

- Como você descobriu?, perguntou a professora.

A menina colocou um feijão na frente de cada criança, isto é, "casou" um feijão com cada criança, fazendo uma correspondência um-a-um. Seus colegas logo entenderam a ideia.

Essa ideia de corresponder um-a-um, é muito importante na matemática. Na situação que acabamos de ver, ela permitiu às crianças obterem uma quantidade de feijões igual à quantidade de pessoas.

Mesmo sendo importante, não precisamos explicar o que é essa correspondência às crianças. Basta que elas percebam a ideia e a usem. Isso é importante para que elas possam entender os números. As crianças da história dos feijões percebiam essa correspondência. Quando a professora começou a trabalhar com os números, elas aprenderam bem depressa.

Outras experiências

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Há outras experiências vividas pelas crianças que ajudam a adquirir a noção de número.

 Mostre um colar de sementes ou de contas, como este:

Veja que as sementes estão organizadas, que elas têm uma ordem.

Discuta com a classe que ordem é essa: uma semente branca, duas pretas, etc.

Peça que os alunos façam ou desenhem colares com ordens diferentes.

 Podemos reorganizar os alunos na classe, formando fileiras por ordem de tamanho, com os menores à frente.

Discuta com a classe como foi organizada a fileira. Por que é bom que os menores fiquem à frente?

 Conte a história das formiguinhas que viram o açúcar e foram comê-lo, bem organizadinhas.

Desenhe na lousa como era o batalhão de formigas:

Discuta a organização: em cada fileira o número de formigas aumenta. Aumenta quanto? Será que os alunos podem desenhar as três próximas fileiras?

As três últimas situações apresentadas envolvem a noção de ordem que também está envolvida no conceito de número.

 Podemos trabalhar com fichas coloridas, combinando, por exemplo, que 10 fichas amarelas podem ser trocadas por uma azul (que equivale a uma dezena).Veja, por exemplo, como esse material pode ser usado para representar 23 :

Peça que as crianças identifiquem, entre duas quantidades, qual é a maior, como por exemplo :

Quanto é maior? Por quê?

Discuta com as crinças quando seria necessário usar uma ficha de outra cor; por exemplo, fichas vermelhas.

A última situação apresentada envolve a noção de agrupamentos e trocas, pois, como vimos na lição através dos exemplos do pacote grande de fósforos e da contagem dos ovos por dúzia, é mais fácil contar grandes quantidades quando agrupamos as coisas.

O trabalho com agrupamentos e trocas leva as crianças à noção de base de um sistema de numeração.

A escrita dos números pelas crianças

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Após entender os números, o passo seguinte, para as crianças, é aprender a representá-los. Para tal, é necessário que utilizem símbolos. Entretanto, antes de começar a ensinar a escrita dos números, é importante trabalhar um pouco com as crianças o uso dos símbolos. Pode-se pedir que inventem símbolos para representar coisas, acontecimentos, emoções de seu dia a dia, como por exemplo, um dia ensolarado, alegria etc.

É interessante que se converse com as crianças sobre os símbolos que inventaram, comparando as diversas propostas e perguntando se conhecem outros símbolos. Como exemplos, podem ser citados símbolos de canais de televisão, de trânsito, a bandeira e outros.

Uma criança que já tenha passado pelas experiências descritas anteriormente e entendido os números poderá inventar símbolos para representá-los, sem que nenhum ensinamento lhe seja dado.

Um símbolo pode ter ou não semelhança figurativa com a coisa que ele representa. Em geral, ao serem inventados pelas crianças, os símbolos dos números indicam a própria quantidade, como os povos antigos os representavam. Assim, por exemplo, para representar os números um, dois, três, quatro, etc, uma criança poderá fazer risquinhos: / // /// ////.

Neste momento, a criança já está preparada para aprender os símbolos que utilizamos atualmente para representar os números. No entanto, devemos ter ainda alguns cuidados.

Em primeiro lugar, como já vimos na lição, quem conta, conta alguma coisa, portanto, não faz sentido começar a ensinar a escrita dos números pelo zero, pois este não representa quantidade. O símbolo para o zero só deve ser ensinado depois que as crianças já sabem representar os nove primeiros números, a partir do um.

Em segundo lugar, é muito importante que o ensino da escrita do número dez e de seus sucessores não seja precipitado, pois, da mesma forma que diversas atividades e experiências podem ser propostas para que as crianças primeiro entendam os números de um a nove, para só depois representá-los, é preciso que elas participem de outras experiências e façam novas atividades que as ajudarão a compreender a escrita dos números a partir do dez. Um bom recurso para isso é o uso do ábaco, pois ele materializa as duas principais características do nosso sistema de numeração: o caráter posicional e a base dez.

O trabalho com o ábaco

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A construção de um ábaco simplificado é muito fácil e barata, podendo ser feita pelas próprias crianças. A base do ábaco pode ser um pedaço de isopor, ou de qualquer material semelhante, como, por exemplo, uma caixa de ovos. As casas do ábaco podem ser varetas, espetinhos de churrasco ou pedaços de arame grosso, que serão espetados na base.

As "contas" do ábaco podem ser arruelas, argolas de plástico, tampas de garrafa de refrigerante furadas no meio, ou mesmo macarrão do tipo "argolinha".

É importante que cada criança construa o seu ábaco para, em seguida, participar de atividades que envolvam contagens e a representação escrita dessas contagens.

A princípio, essas contagens não deverão superar a quantidade nove, a fim de que a criança fixe bem a escrita dos nove primeiros símbolos. Para tal, sugerimos que se usem cartõezinhos numerados de 1 a 9, juntamente com o ábaco, de modo que a quantidade representada no ábaco tenha o seu correspondente símbolo escrito no cartão.

Vejamos, por exemplo, a situação que representa a contagem de cinco coisas:

Ao contar dez coisas, a situação do ábaco pode ser esta:

No entanto, a criança não encontrará o símbolo para esta quantidade.

Podemos sugerir, então, que as crianças troquem as dez bolinhas da primeira vareta por uma, que será colocada na segunda vareta, representando uma dezena. Neste momento, deve ser introduzido o cartão com o símbolo zero, que indicará a casa vazia do ábaco, pois ao trocarmos dez unidades por uma dezena, não sobra nenhuma unidade na primeira vareta.

Continuando esse processo, a próxima unidade contada deverá ser representada por uma bolinha colocada na primeira vareta do ábaco, e a situação será assim representada pelos cartões:

Prosseguindo com outros exercícios desse tipo, a criança vai percebendo que a escrita dos números corresponde à situação representada no ábaco.

Depois de várias atividades de contagem, podemos propor dois tipos inversos de exercícios: a uma quantidade representada no ábaco, a criança deverá fazer corresponder sua respectiva escrita e, a um número representado por escrito, mostrar a situação correspondente no ábaco.

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