Profª Denise F B Marquesin
Profª Maria da Graça Torres Bagne
IFRAH, Georges. Os
Números: História de uma grande invenção. 10ª ed. São Paulo: Globo, 2001.
p. 31-71.
Há cerca de 10.000 anos atrás...
Correspondência um a um
Os pastores de ovelhas tinham
necessidades de controlar os rebanhos. Precisavam saber se não faltavam
ovelhas. Como os pastores podiam saber se alguma ovelha se perdera ou se outras
haviam se juntado ao rebanho?
Alguns vestígios indicam
que os pastores faziam o controle de seu rebanho usando conjuntos de pedras. Ao
soltar as ovelhas, o pastor separava uma pedra para cada animal que passava e
guardava o monte de pedras.
Quando os animais
voltavam, o pastor retirava do monte uma pedra para cada ovelha
que passava.
Se sobrassem pedras,
ficaria sabendo que havia perdido ovelhas. Se faltassem pedras, saberia que
o rebanho havia aumentado. Desta forma mantinha tudo sob controle.
Uma ligação do tipo: para
cada ovelha, uma pedra chama-se, em Matemática, correspondência
um a um.
●Fazer correspondência um a um é
associar a cada objeto de uma coleção um objeto de outra coleção. Como você vê,
o homem resolveu seus primeiros problemas de cálculo usando a correspondência
um a um. A correspondência um a um foi um dos passos decisivos para o
surgimento da noção de número.
Os primeiros registros de números
● Nos museus de todo o mundo
há inúmeros objetos com marcas, pertencentes a épocas antigas. São pedaços de
pau com talhos, pedaços de barro com marcas e cordas com nós. Existem cavernas
em cujas paredes podemos ver marcas talhadas ou pintadas.
●Isso
parece indicar que o homem sentiu necessidade de registrar o total de objetos
que contava. E como se fazia isso? Para registrar o total de objetos ele usava
também a correspondência um a um: uma marca para cada objeto
Como contar sem saber contar
●Imaginemos um grupo de
indígenas. Eles ainda não são capazes de conceber os números abstratos, mas
conseguem contornar o problema, obtendo resultados satisfatórios quando se
trata de quantidades relativamente reduzidas. Para tanto, recorrem a todo tipo
de meios concretos. Mas na maioria das vezes eles “contam visualmente” segunda
a técnica corporal a seguir:
●Toca-se sucessivamente um
por um os dedos da mão direita a partir do menor, em seguida o pulso, o
cotovelo, o ombro, a orelha e o olho do lado direito. Depois se toca o nariz, a
boca, o olho, a orelha, o ombro, o cotovelo e o pulso do lado esquerdo,
acabando no dedo mindinho da mão esquerda. Chega-se assim ao número 22. Se isto
não basta, acrescenta-se primeiramente os seios, os quadris e o sexo, depois os
joelhos, os tornozelos e os dedos dos pés direito e esquerdo.
O que permite atingir
dezenove unidades suplementares, ou seja, 41 no total.
●Uma expedição militar foi
recentemente levada a cabo por estes grupos indígenas contra uma aldeia vizinha
que se revoltou, submetendo-se em seguida. Ao fim da reunião do conselho de
guerra, o chefe decide exigir uma reparação, e encarrega vários de seus
comandados de cobrar o resgate junto aos habitantes desta aldeia.
●“Para cada guerreiro
perdido no combate” – diz o chefe _ “deverão dar-nos tantos colares de pérolas
quantos existem desde o dedo mindinho da mão direita até o olho do mesmo lado.
Em seguida, tantas peles quantas existirem desde o dedo mínimo da mão esquerda
até a boca. Finalmente, tantos cestos de alimento quantos podem haver o
mindinho da mão direita até o pulso esquerdo.”
●O chefe explica então aos
seus homens que a punição infligida aos rebeldes foi fixada em:
●10 colares de pérolas
●12 peles de animais
●17 cestos de alimentos
●Para cada guerreiro morto
em combate.
●Nesta batalha, nossos
indígenas perderam dezesseis homens. Evidentemente, eles não conhecem o número
dezesseis, mas dispõem no caso de um meio infalível para determiná-lo. Antes da
expedição, cada guerreiro coloca um pedrinha num monte e a retira na volta.
Assim, as pedras restantes correspondem exatamente ao número de perdas no
combate.
●Um dos enviados do chefe
pega então dezesseis pedrinhas, que são substituídas por um monte de pauzinhos
de mesmo número, mais fáceis de transportar. O chefe verifica se seus
mensageiros assimilaram e guardaram bem todas as instruções, e eles partem para
a aldeia rebelde.
A noção de ordem já está
aí presente, mesmo não sendo verdadeiramente conhecida.
Registrando grandes quantidades
●Depois que o homem teve
a ideia de fazer agrupamentos para facilitar a contagem, surgiu o
problema de registrar os agrupamentos usando algum tipo de marca. Veja porque
isso era necessário:
●Imagine que uma pessoa
usasse traços para representar cada ovelha. Por exemplo: um homem tinha |
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | ovelhas.
●Não seria nada prático,
não é mesmo? Talvez a solução encontrada tenha sido separar grupos de marcas.
●Um homem tinha | | | | | |
| | | | | | | | | | | | | | | | | | ovelhas
●Neste caso, as marcas
estão agrupadas de dez em dez.
A invenção da base
●Dez, a base mais comum.
●Dez, a base mais comum.
●Como a humanidade aprendeu
a contar nos dedos da mão, esta preferência quase geral pelos grupos de dez foi
comandada por este “acidente da natureza” que é a anatomia das nossas duas
mãos.
Imaginem um rebanho de 627
animais. Como contar?
●Uma outra solução: a base
cinco
●Encontrada em diversas
regiões da África e da Oceania e que vários comerciantes indianos da região de
Bombaim ainda empregam até hoje para atender às necessidades mais correntes.
●Vinte dedos para contar.
●Outros povos
preferiram adotar a base vintesimal.
●Foi, por exemplo, o caso
dos malinké do Alto Senegal e da Guiné, dos yébu e dos
ioruba da Nigéria, dos banda da África central, dos tamara do Orinoco
(aos pés do planalto das Guianas na Venezuela), dos esquimós da Groelândia,
dos aino da ilha Sakhalin 9próximo às costas
da àsia oriental, entre o mar do Japão e o mar de Okhotsk), dos maias
e dos astecas da América Central pré-colombiana etc.
Muito mais difundida é
a base duodecimal, que, se tivesse evoluído, poderia ter dado
origem a uma numeração completa de base doze, o que nos teria dado um sistema
mais cômodo que a nossa numeração decimal, sendo o número doze divisível ao
mesmo tempo por 2, 3, 4 e 6.
●Foi empregada em antigos
sistemas comerciais, dos quais temos o testemunho das nossas dúzia e
grosa (dúzia de dúzias), que ainda conservamos para os ovos e as
bananas, por exemplo.
●A enigmática base sessenta:
●Esta base, difícil de
guardar na memória, foi primeiramente empregada pelos sumérios, que tinham o
hábito de contar por base sessenta e potências de 60. Em seguida foi
transmitida aos matemáticos e astrônomos babilônios (sucessores dos sumérios na
Mesopotâmia), que dela se serviram para elaborar um avançado sistema de
numeração, antes de nos legá-la por intermédio dos astrônomos gregos e árabes.
●Nossa própria cultura
guardou seus vestígios, pois a utilizamos ainda para exprimir a medida do tempo
em horas, minutos e segundos, ou a dos arcos e dos ângulos em graus, minutos e
segundos.
O sistema de numeração egípcio
●Essa ideia de
agrupar marcas foi utilizada nos sistemas mais antigos de numeração.
●Os egípcios da Antiguidade
criaram um sistema muito interessante para escrever números, baseado em
agrupamentos.
O sistema de numeração romana
Vamos lembrar como eram
escritos alguns números:
●Para não repetir 4 vezes
um mesmo símbolo, os romanos utilizavam subtração.
●Observe alguns números
que seriam escritos com 4 símbolos e como os romanos passaram a escrevê-los:
●Em
alguns relógios o 4 são quatro pauzinhos (IIII) e não com um pauzinho e um “v”
(IV), porque IV também é a primeira sílaba de IVPITER, Júpiter em latim.
E como Júpiter era o deus mais importante dos antigos romanos, achavam
desrespeitoso usar essas iniciais para designar o número 4, que nem é um número
muito importante. Por isso, eles escreviam o 4 com quatro I.
●Somente
na Idade Média é que começou a escrever IV, mas os relógios mantiveram a
tradição romana antiga.
A civilização do Vale do Indo
O rio Indo está localizado onde hoje é o
Paquistão: próximo à Índia atual.
Em seu vale, há mais de 4000 anos, foram
construídas várias cidades, com ruas, calçadas, sistemas de fornecimento de
água e canalizações de esgoto. Possuíam piscinas para banhos públicos e casas
construídas com tijolos de barro. Seus habitantes praticavam um comércio
bastante intenso, inclusive trocando mercadorias com outros povos.
·Como não poderia deixar de ser, numa sociedade com
este nível de organização, os habitantes da região possuíam uma linguagem
escrita e um sistema numérico. Entretanto, este não era ainda o sistema de
numeração que usamos hoje. Muitos séculos se passaram até que os hindus
desenvolvessem o sistema de numeração decimal. Não há muitos documentos sobre a
Matemática conhecida pelos hindus da Antiguidade. Por isto é impossível
saber, com exatidão, quando e como os hindus chegaram ao sistema de numeração
decimal posicional. Ao que parece é que, por volta do século V, eles já o
utilizavam.
·Entretanto, uma coisa é certa: os hindus tiveram
contato com muitas outras civilizações. Influenciaram-nas e foram influenciadas
por elas. O princípio posicional, presente na numeração hindu, também aparece
no sistema numérico dos babilônios, e sabemos que houve contato entre esses
povos. A base dez, que é uma das características do sistema hindu, também era
usada pelos egípcios e chineses. Isto pode ser explicado pelo fato de todos
terem dez dedos nas mãos, mas, talvez, também seja devido ao intercâmbio que
houve entre eles.
·O zero, que é outra característica importante da
numeração dos hindus, talvez também não seja uma criação deles. Há indícios de
que, na fase final da civilização babilônia, já era usado um símbolo para o
nada.
·Entretanto, um grande mérito deve ser creditado aos
hindus: o de reunir estas diferentes características num mesmo sistema numérico.
·O intercâmbio cultural entre os povos
da Antiguidade também se revela no uso do ábaco, cuja origem não
é conhecida, mas que, sabemos, era usado pelos chineses, hindus e romanos. É
certo que o ábaco teve grande importância na criação do nosso sistema de
numeração, como procuramos mostrar na segunda parte da lição.
O Império Muçulmano e a difusão da numeração hindu
Enquanto os hindus, que
habitavam o vale do rio Indo e tinham contatos com muitos outros povos, iam
pouco a pouco juntando os fios e preparando a trama do nosso sistema de
numeração; grandes acontecimentos tiveram início na Península Arábica.
Esta era uma região
desértica habitada principalmente por tribos nômades que se deslocavam em
grandes caravanas entre os poucos centros de comércio existentes. Nesse
ambiente viveu Maomé, o criador da religião islâmica (ou religião muçulmana) no
início do século VII da era cristã.
Maomé não foi apenas líder
religioso, mas também grande chefe guerreiro que submeteu ao seu governo toda a
Península Arábica. Seus sucessores empreenderam muitas guerras de conquista,
ampliando a área de influência do islamismo e estabelecendo um grande império
que, um século depois da morte de Maomé, atingia, a leste, a região do rio Indo
e, a oeste, o norte da África e a Península Ibérica.
Os árabes não foram apenas
guerreiros. Ao contrário, tiveram um papel importantíssimo no campo da cultura
e da ciência, especialmente na Matemática. A grande extensão do Império
Islâmico permitiu aos estudiosos árabes entrar em contato com as mais variadas
culturas.
Seus sábios
estudaram e traduziram as obras dos filósofos e matemáticos gregos, preservadas
na célebre biblioteca de Alexandria, no Egito. Não fossem as traduções para o
árabe, essas obras teriam sido perdidas para sempre com a destruição daquela
biblioteca, no final do século VII.
No extremo oriental do seu
império, os árabes entraram em contato com a cultura hindu e interessaram-se
especialmente pela astronomia, a aritmética e a álgebra, muito desenvolvidas
naquela civilização. Estudaram sobretudo o sistema numérico hindu, reconhecendo
sua simplicidade e praticidade. Esses conhecimentos já eram dominados pelos
hindus há vários séculos, mas não haviam se difundido entre os povos do
ocidente.
Os árabes, que haviam
penetrado na Europa e dominavam a Península Ibérica, foram os introdutores da
ciência oriental na Europa medieval. Entre os séculos VIII e XIII, por
iniciativa dos árabes, foram criadas muitas universidades e bibliotecas, desde
Bagdá, no Oriente Médio, até Granada e Córdoba, na atual Espanha. Nesses centros,
as obras dos hindus foram traduzidas para o árabe e difundidas entre os
estudiosos.
Entretanto, na Europa
Medieval houve grande resistência à introdução do saber oriental, sobretudo ao
sistema de numeração hindu e à maneira de realizar as operações nesse sistema.
Estabeleceu-se um conflito entre os partidários do velho ábaco, herança dos
romanos, e os que reconheciam as vantagens do método hindu. Esse confronto
ficou conhecido como a contenda entre "abacistas" e "algoristas",
e terminou com a vitória final destes últimos, já em pleno
Renascimento.
"al-Khowarizmi" virou "algarismo"
Os dez símbolos do nosso
sistema de numeração são chamados dígitos ou algarismos. Dizemos, por exemplo,
que 507 é um número de três dígitos ou três algarismos.
●A palavra dígito vem da
palavra latina "digitus", que significa dedo. É claro que isto
tem a ver com o uso dos dedos nas contagens.
●É curiosa a origem da
palavra algarismo. Durante o reinado do califa al-Mamun, no século IX, viveu um
matemático e astrônomo árabe, que se tornou famoso. Chamava-se Mohammed ibm-Musa
al-Khowarizmi. Ele escreveu vários livros. Num deles, intitulado "Sobre a
arte hindu de calcular", ele explicava minuciosamente o sistema de
numeração hindu. Na Europa, este livro foi traduzido para o latim e passou a
ser muito consultado por aqueles que queriam aprender a nova numeração. Apesar
de al-Khowarizmi, honestamente, explicar que a origem
daquelas idéias era hindu, a nova numeração tornou-se conhecida como
a de al-Khowarizmi. Com o tempo, o nome do matemático árabe foi modificado
para algorismi que, na língua portuguesa, acabou virando algarismo.
●O sistema numérico criado pelos romanos foi
usado na europa durante muitos séculos. Isto aconteceu, sobretudo, devido ao
grande poder da igreja católica apostólica romana durante toda a idade média
(do século v ao século xv, aproximadamente). O sistema de numeração decimal,
como vimos, chegou à europa, levado pelos árabes, por volta do século viii.
Portanto, quando a numeração hindu chegou à europa, os europeus estavam
acostumados com a numeração romana.
●para nós, que conhecemos os dois sistemas, é
muito fácil perceber as enormes vantagens que o sistema numérico decimal tem
sobre a numeração romana. Isto poderia nos fazer concluir que a numeração
hindu-arábica tenha sido prontamente aceita pelos europeus, em vista de sua
superioridade. Entretanto, não foi isso que aconteceu.
●foram necessários alguns séculos para que as
novas idéias triunfassem definitivamente. Isto só aconteceu no século
xvi.
●durante muitos anos, uma verdadeira batalha
foi travada entre os adeptos do novo sistema e os defensores do sistema antigo.
Os numerais hindu-arábicos chegaram a ser proibidos nos documentos oficiais, mas
eram usados na clandestinidade.
●a perseguição, contudo, não conseguiu impedir
a disseminação do novo sistema, que se impôs pelas suas qualidades.
A resistência ao novo
●O sistema numérico criado pelos romanos foi usado na europa durante muitos séculos. Isto aconteceu, sobretudo, devido ao grande poder da igreja católica apostólica romana durante toda a idade média (do século v ao século xv, aproximadamente). O sistema de numeração decimal, como vimos, chegou à europa, levado pelos árabes, por volta do século viii. Portanto, quando a numeração hindu chegou à europa, os europeus estavam acostumados com a numeração romana.
●Para nós, que conhecemos os dois sistemas, é muito fácil perceber as enormes vantagens que o sistema numérico decimal tem sobre a numeração romana. Isto poderia nos fazer concluir que a numeração hindu-arábica tenha sido prontamente aceita pelos europeus, em vista de sua superioridade. Entretanto, não foi isso que aconteceu.
●Foram necessários alguns séculos para que as novas idéias triunfassem definitivamente. Isto só aconteceu no século xvi.
●Durante muitos anos, uma verdadeira batalha foi travada entre os adeptos do novo sistema e os defensores do sistema antigo. Os numerais hindu-arábicos chegaram a ser proibidos nos documentos oficiais, mas eram usados na clandestinidade.
●A perseguição, contudo, não conseguiu impedir a disseminação do novo sistema, que se impôs pelas suas qualidades.
Mudanças na escrita dos algarismos
●Antes da invenção da
imprensa, que ocorreu no século XV, os livros eram copiados manualmente, um a
um. Como cada copista tinha a sua caligrafia, durante os longos séculos de
copiagem manual as letras e os símbolos para representar números sofreram muitas
modificações. Além disso, como o sistema de numeração criado pelos hindus foi
adotado pelos árabes e passado aos europeus, é natural que, nesse percurso, a
forma de escrever os dez algarismos sofresse alterações.
●Por volta do século IV,
os hindus representavam os algarismos assim:
●No século IX, já com o zero, a representação evoluiu para:
●No século XI os hindus representavam os dez dígitos assim:
●No mesmo
século XI, os árabes que estavam no Ocidente representaram assim:
●No século XVI os árabes orientais empregavam esta representação
●Veja as formas usadas pelos europeus nos séculos XV e XVI:
●Hoje a representação é
esta:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
●Após a
invenção da imprensa, as variações foram pequenas. Os tipos foram sendo
padronizados. Mas, mesmo assim, as modificações são inevitáveis. No visor das
calculadoras eletrônicas e dos relógios digitais, os dez algarismos são
representados assim:
Senso numérico
●Vamos fazer uma
experiência.
●Observe as figuras :
●Agora veja estas figuras :
●Em qual dos dois casos foi
mais fácil perceber onde há mais pessoas?
●No primeiro bastou uma
simples olhada, não é mesmo? Mas no segundo, provavelmente, você precisou
contar.
●Somos capazes de
distinguir visualmente pequenas quantidades (até quatro, cinco...talvez seis
objetos). Entretanto este senso numérico não nos permite distinguir quantidades
maiores.
●Um fato curioso: alguns
animais também parecem ter esta capacidade de distinguir pequenas quantidades.
Sobre isso, há um caso interessante relatado por Tobias Dantzig,
no livro que indicamos nas sugestões de leitura.
●A história é mais ou menos
essa :
●Um fazendeiro decidiu
matar um corvo, pois este fizera o ninho na chaminé de sua lareira, impedindo a
saída da fumaça. Por várias vezes o homem tentou pegá-lo de surpresa, mas
sempre que se aproximava o corvo fugia.
●Um dia o fazendeiro
resolveu enganar a ave. Duas pessoas entraram no galpão próximo à chaminé e,
depois de algum tempo, apenas uma saiu. O animal não se deixou enganar: fugiu e
só voltou ao ninho após a saída do segundo homem.
●A experiência foi repetida
nos dias seguintes, com três e, depois, quatro pessoas. Não adiantou: a ave só
voltou ao ninho depois da saída de todos.
●Finalmente, com cinco
pessoas, o corvo "perdeu a conta". Não percebendo a diferença entre
cinco (que entraram) e quatro (que saíram) ele voltou ao ninho assim que o
quarto homem se retirou. Pobre corvo! Passou desta para melhor!
●E as crianças? Será que
elas têm senso numérico como o corvo da história?
●Em crianças pequenas, de 2
ou 3 anos de idade, o senso numérico, às vezes, é menos desenvolvido do que o
do corvo. Entretanto essa percepção limitada é o ponto de partida para o
desenvolvimento da noção de número. Essa noção, que se desenvolve na mente da
criança e que os animais não têm, está vários passos à frente do senso numérico.
●O desenvolvimento da noção
de número depende das experiências que são vividas pela criança. Mas
atenção: Nem todas as crianças vivem as mesmas experiências e, às vezes,
encontramos crianças de 5, 6 ou mesmo 7 anos que não têm uma noção adequada de
número.
●Há crianças que escrevem
os números e os recitam até trinta ou quarenta. Apesar disso, se você pedir que
elas tragam cinco lápis, elas não acertam.
●Isto quer dizer que, na
verdade, essas crianças não entendem os números.
●É possível ajudar as
crianças a formar a ideia de número, mas não devemos nos
iludir: somente explicações não levam a criança à noção de número.
●Pense em um treinador que
ensina um menino a jogar futebol da seguinte maneira: ele explica o que é
drible, trave, gol, chute etc; faz o menino decorar tudo isso e depois
manda o menino jogar e marcar gols.
●Será que o menino vai
jogar bem?
●Só com explicações, é
quase impossível. Aprende-se a jogar futebol jogando, tendo contatos,
experiências com a bola, o campo, os companheiros, o adversário. Só depois é
que as explicações do treinador podem ser úteis. Podem contribuir para
desenvolver o conhecimento sobre o jogo e, talvez, até transformar o aprendiz
em craque.
●Com as crianças e os
números acontece a mesma coisa. Para entender bem os números, as crianças
precisam ter vivido certas experiências. Só depois disso que os nossos
ensinamentos serão úteis.
●A criança começa a formar
a ideia de número a partir de situações que envolvem quantidades. A
criança pode viver essas situações em casa ou brincando com amigos, antes mesmo
de ir à escola. Mas existem crianças que nunca passaram por essas situações.
●Por isso, antes de ensinar
a escrever números e a contar, devemos criar situações para o aluno ter
experiências com quantidades.
Referência
Bibliográfica
●FRABETTI,
Carlo. Alice no País dos números. São Paulo: Editora Ática, 2002. p.42.
●IFRAH, Georges. Os
Números: História de uma grande invenção. 10ª ed. São Paulo: Globo, 2001. p.
31-71.
