• Mara, Raphael e Luiza fizerem um mesmo percurso de três formas
diferentes: de bicicleta, de calhambeque e de carro veloz. Mara, de bicicleta,
fez esse percurso com uma velocidade média de 15 km/h e gastou 120 minutos
(2h). Em seu Calhambeque, Raphael fez o mesmo percurso com uma velocidade média
de 30 km/h e gastou 60 minutos (1h). Já a Luiza, em seu carro novo, andou a uma
velocidade média de 90 km/h e gastou 20 minutos.
Observe que quem gastou mais tempo foi Mara, em seu veículo de
velocidade menor. Além disso, pode-se perceber que a velocidade e o tempo não
são grandezas diretamente proporcionais, pois a velocidade dobrou (15 para 30)
e o tempo não dobrou (120 para 60).
Agora, vamos analisar o quadro a seguir, com os valores dessa situação
envolvendo duas grandezas: velocidade (em km/h) e tempo (em min).
Figura 2 - Tabela 2 –
Tabela velocidade x tempo de um mesmo percurso
Note que na primeira coluna da tabela, quando a velocidade dobra (15
para 30) o tempo, representado na segunda coluna, se reduz pela metade (120
para 60). Depois, a velocidade de 30 km/h passa para 90 km/h, ou seja, a
velocidade triplicou. E o tempo? Nesse caso o tempo reduziu a terça parte (60
para 20). Assim, dobrando a velocidade, o tempo reduz-se à metade.
Multiplicando a velocidade por 3, o tempo fica dividido por 3.
Multiplicando a velocidade por 6, o tempo fica dividido por 6.
Grandezas que se relacionam desse modo são inversamente proporcionais.
Essa é uma situação de proporcionalidade inversa. Dizemos que velocidade
e tempo são grandezas inversamente proporcionais.
Desta forma, podemos concluir que:
• Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento (ou
diminuição) de uma corresponde a uma diminuição (ou aumento) da outra,
na razão inversa;
• Quando duas grandezas A e B são inversamente proporcionais, os
números que expressam essas grandezas variam na razão inversa, ou seja,
existe uma constante k tal que: .
Na situação apresentada no início desta seção (leitura do livro), para
encontrar o coeficiente de
proporcionalidade, devemos multiplicar os valores das grandezas que se
correspondem, ou seja, o produto entre 8 e 12, 16 e 6 vai ser o mesmo. Confira:
8 x 12 = 96; 16 x 6 = 96. Logo, k = 96.
Vamos utilizar o mesmo raciocínio no exemplo do percurso percorrido por
Mara, Raphael e Luiza para encontrar o coeficiente de proporcionalidade. Assim,
basta multiplicar os valores das grandezas correspondentes. O produto vai ser
sempre o mesmo. Veja: 15 x 120 = 1800; 30 x 60 = 1800 e 90 x 20 = 1800. Logo, k
= 1800.
Dividir é uma tarefa quase sempre não muito agradável para a maioria
das pessoas. Contudo, no próximo tópico, você aprenderá uma divisão muito
interessante que pode ser aplicada em diversas situações.
Dividindo números
proporcionalmente
Agora, vamos estudar a divisão proporcional de números. Veja a seguinte
situação.
• Inês e Monica receberam uma herança no valor de R$4.000.000,00 de uma
tia milionária, que estabeleceu que a divisão fosse feita de forma diretamente
proporcional às idades das sobrinhas na época de seu falecimento. Sabendo que
Inês e Monica tinham, respectivamente, 19 e 21 anos, determine a quantia que
cada uma recebeu de herança.
Para resolver o problema apresentado, precisamos entender como dividir
números em partes proporcionais.
Vamos iniciar escrevendo uma proporção em que as partes procuradas, x e
y, devem ser diretamente proporcionais à idade de cada sobrinha, ou seja, x e y
devem ser diretamente proporcionais a 19 e 21. Deste modo, começamos dividindo
a herança de R$4.000.000,00 em partes diretamente proporcionais a 19 e 21.
Agora vamos escrever a proporção: e encontrar os valores de x e y.
Veja:
• , aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos x =
1.900.000
• , aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos y =
2.100.000
Portanto, Inês recebeu R$1.900.000,00 de herança e Monica recebeu
R$2.100.000,00 de herança.
FIQUE ATENTO
____________________________________________________________________________
As quantias investidas
são diretamente proporcionais às partes no lucro ou no prejuízo.
____________________________________________________________________________
Em seguida, analisaremos outra situação para
entendermos melhor o assunto. Veja.
• Três irmãos, Raphael, Renan e Magda,
resolveram fazer uma sociedade abrindo uma empresa de calçados. Cada um entrou
com os respectivos capitais: R$35.000, R$10.000,00 e R$30.000,00. Após um ano
de sociedade, esta empresa obteve um lucro de R$15.000,00. Calcule o valor que
cada irmão recebeu de lucro.
Vamos começar dividindo o lucro de R$15.000,00
em partes diretamente proporcionais a R$35.000,00, R$10.000,00 e R$30.000,00.
Para facilitar, vamos usar a forma simplificada de escrever esses valores.
Veja: 15, 35, 10 e 30 mil.
Agora podemos escrever a proporção: e
encontrar os valores de x, y e z. Veja:
• , aplicando a propriedade fundamental da
proporção, temos x = 7
• , aplicando a propriedade fundamental da
proporção, temos y = 2
• , aplicando a propriedade fundamental da
proporção, temos z = 6
Portanto, Raphael ficou com 7 mil reais do
lucro, Renan ficou com 2 mil reais do lucro e Magda ficou com 6 mil reais do
lucro.
Problemas como os apresentados anteriormente
fazem parte do nosso cotidiano e muitas vezes temos dúvidas ou simplesmente não
sabemos como resolvê-los. A Matemática nos ajuda em quase tudo na vida. Por
isso é tão importante estudar os conceitos apresentados para que você seja
capaz de utilizar os conhecimentos adquiridos nas mais variadas situações.
Desde as mais simples, como dividir proporcionalmente certas quantidades de prêmios
em escolas, empresas, festas, como as mais sofisticadas, como lucro ou prejuízo
em sociedades ou divisão de bens.
Fechamento
Nesta aula estudamos as grandeza. Aprendemos
que duas grandezas são diretamente proporcionais quando o valor de uma grandeza
dobra, triplica ou fica a metade e o valor de outra grandeza também dobra,
triplica ou fica a metade, e assim por diante. E são inversamente proporcionais
quando o aumento (ou diminuição) de uma corresponde uma diminuição (ou aumento)
da outra, na razão inversa.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
• Resolver questões de grandezas diretamente
proporcionais em situações-problema.
• Resolver questões de grandezas inversamente
proporcionais em situações-problema.
Referências
DANTE, L. R. Matemática: contextos
& aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.
IEZZI, G. Matemática. 5. ed. Rio de
Janeiro: Saraiva, 2011.
SOUZA, P. de S. Matemática Financeira no
Ensino Básico no Município de Montanha. Dissertação de Mestrado.
Universidade Federal do Espírito Santo, São Mateus, 2011.
13 - Regra de três simples
Introdução
Na Matemática, utilizamos algumas técnicas ou
processos que facilitam a resolução de problemas. Nessa aula vamos aprender a
resolver problemas que envolvem proporcionalidade entre grandezas utilizando o recurso
chamado regra de três.
Entendendo regra de três simples
Para resolver um problema que envolve
proporcionalidade utilizando regra de três, vamos começar analisando a seguinte
situação:
••Em três minutos, uma torneira despeja 4
litros de água em um tanque. Se o tanque leva 5 horas para ficar cheio, qual é
a capacidade desse tanque?
Vamos resolver a questão descrita de duas
formas.
1ª) Montamos uma proporção e descobrimos o
valor desconhecido, chamado de x, utilizando a propriedade fundamental da proporção.
Veja que as grandezas envolvidas são tempo (minuto) e capacidade (litro).
FIQUE ATENTO
_____________________________________________________________________________
É preciso colocar as grandezas na mesma
unidade.
_____________________________________________________________________________
Assim, vamos transformar 5 horas em minutos. Como 1 hora = 60 minutos,
temos que 5 horas = 300 minutos.
Quanto mais tempo, mais volume de água despejada no tanque, logo, as
grandezas tempo e capacidade são grandezas diretamente proporcionais, e as
razões e são razões equivalentes. Assim, podemos escrever a seguinte proporção:
Tempo (min)
Capacidade (l)
Aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos:
Logo, 400 é a solução da proporção apresentada anteriormente e a
solução da situação-problema. Portanto, a capacidade do tanque é de 400
litros.
2ª) Em nossa segunda resolução, podemos construir uma tabela em que as
grandezas de mesma espécie são dispostas em colunas e as grandezas de espécies
diferentes são mantidas na mesma linha. Depois, é só montar a proporção e resolver
a equação encontrada.
Figura
1 - Tabela 1 – Relação entre tempo e capacidade
3x = 4.300 3x = 1200 x = 1200 : 3 x = 400
Repare que encontramos a mesma proporção apresentada anteriormente. O
resultado é o mesmo, certo? x = 400, ou seja, a capacidade do tanque é de
400 litros.
Como as relações entre grandezas podem ser diretamente ou inversamente
proporcionais, vamos estudar como aplicar a regra de três nesses dois casos.
Confira!
Aplicando regra de
três simples em situações que envolvam grandezas diretamente proporcionais
• Uma empreiteira utiliza canos de ferro com 6 metros de comprimento e
peso igual a 10kg. Sabendo que a empreiteira precisa aumentar o comprimento
desses canos para um trabalho específico, vamos ajudá-la a calcular qual o peso
que esse mesmo tipo de cano de ferro deveria ter se tivesse 9 metros de comprimento.
Veja que esta é uma situação de proporcionalidade direta, já que,
dobrando o comprimento do cano, o peso dobra, triplicando o comprimento, o peso
triplica e assim por diante.
Agora vamos utilizar o método da construção de uma tabela e, a partir
dela, escrever uma proporção que permite o cálculo do valor procurado.
Figura
2 - Tabela 2 – Relação entre comprimento e peso
Para montar a proporção, analisamos a relação entre as grandezas e
colocamos uma seta ao lado de cada coluna.
Como as grandezas são diretamente proporcionais, as setas ficam no
mesmo sentido, mostrando como a proporção deve ser montada. Veja: (no sentido
da seta). Assim, aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos a
equação: . Desse modo, para canos de ferro do mesmo tipo, com 9 metros de
comprimento, o peso será de 15kg.
FIQUE ATENTO
______________________________________________________________________________
Ao resolver problemas que
utilizam regra de três simples, usamos setas no mesmo sentido quando as grandezas forem diretamente
proporcionais para informar como a proporção deve ser apresentada.
______________________________________________________________________________
A seguir, estudaremos casos em que utilizamos a regra de três simples
na resolução de problemas que envolvam grandezas inversamente proporcionais.
Aplicando regra de
três simples em situações que envolvam grandezas inversamente proporcionais
Veja o exemplo a seguir:
• Renan precisa, para sua festa, de 7 litros de refrigerante. Se
comprar latas de refrigerante de 350 ml, ele vai precisar de 20 latas para sua
festa. Quantas latas Renan deve comprar se escolher latas de 500 ml?
Observe a tabela que traduz a situação descrita.
Figura
3 - Tabela 3 – Relação entre capacidade e número de latas de refrigerante
As grandezas envolvidas, capacidade (ml) e quantidade de latas são
inversamente proporcionais, já que, aumentando a capacidade de cada lata,
diminuímos a quantidade de latas de refrigerante que é preciso comprar.
Para poder montar essa proporção, devemos nos lembrar de analisar o
sentido das setas, que, nesse caso, ficam em sentidos opostos. Assim, temos a
seguinte proporção: . Lembra como resolvemos? Basta usar a propriedade fundamental
da proporção, não é mesmo? Dessa forma, encontramos a equação:
Resolvendo então, temos:
Portanto, se Renan escolher latas de 500 ml, deverá comprar 14 latas de
refrigerante.
Internet
Se comprar latinhas de refrigerante de 350ml Renato vai precisar de 20
latinhas para sua festa. Quantas latinhas ele deve comprar se escolher latinhas
de 500ml e quiser manter o mesmo número de litros
350 × 20 = 7000
Então ele necessita de 7 litros ( 7000 ml ).
7000 ÷ 500 = 14
Se deseja manter a quantidade precisará de 14 latinhas de 500ml.
Então ele necessita de 7 litros ( 7000 ml ).
7000 ÷ 500 = 14
Se deseja manter a quantidade precisará de 14 latinhas de 500ml.
Que tal treinar um pouco mais resolvendo os exercícios a seguir?
1) Um grupo de funcionários, trabalhando 8 horas por dia, concluiu uma
determinada tarefa em 20 dias. Qual o tempo que esse grupo de funcionários
levará se a jornada de trabalho passar para 5 horas diárias?
Internet
uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou
determinada obra em 20 dias. Se o numero de horas de serviço for reduzido para
5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?
Grandezas inversamente
proporcionais: ( Regra de Três Simples)
8/5 = x/20
5x=160
x=160/5
x= 32 dias
8/5 = x/20
5x=160
x=160/5
x= 32 dias
Nota-se que se diminuir o tempo, irá aumentar os dias, trata-se de uma
regra de três inversamente proporcional.
horas
dias
8
20.
5
x
-
+
5x=20.8
x=160/5
x=32 dias
2) Marília leva 48 minutos com seu carro, a uma velocidade de 80 km/h,
para ir da cidade X para a cidade Y. Quanto tempo ela levaria para traçar o
mesmo percurso, se mantivesse uma velocidade de 60 km/h?
Internet
Para fazer um certo percurso à velocidade de 80 km/h, um automóvel leva
20 min. Quanto tempo levará para fazer o mesmo percurso à velocidade de 100
km/h
É só fazer uma regra de três simples:
80km/h ---------- 20 min
100km/h --------- x
Note que conforme a velocidade aumenta, o tempo diminui. Porque
trata-se de uma relação de velocidade e tempo. Portanto, são inversamente
proporcionais.
Então podemos multiplicar 80 por 20 e 100 por x. Observe:
100x = 80×20
100x = 1600
x = 1600 / 100
x = 16 minutos.
Resposta: 16 minutos
3) Uma costureira utiliza 24 metros de tecido para fazer 16 calças.
Quantos metros ela gastaria se fosse costurar 10 calças?
Internet
Para fazer 16 calças gastamos 24 metros de tecido quando gastamos pra
fazer 10 calças ?
É só fazer uma regra de três.
16 está para 24 assim como
10 está para x.
(multiplica cruzado)
---------------
16x = 10 x 24
16x = 240
x = 240/16
x = 15 metros de tecido
16 está para 24 assim como
10 está para x.
(multiplica cruzado)
---------------
16x = 10 x 24
16x = 240
x = 240/16
x = 15 metros de tecido
Se uma costureira faz 16 calças com 24 metros de tecido quantos metros
ela usa para fazer 20 calças?
24m para 16 calças, ela usa 1,5 para cada calça, aí é só multiplicar
1,5×20=30, ela usa 30 m de tecido pra fazer 20 calças! Espero ter ajudado!!
podemos resolver assim:
dividimos quanto ela gasta pelo número de calças que ela fez ou seja
24÷16=1,5. sabemos então que ela gasta 1,5m de tecido por calça para saber de
20 calças é só multiplicar 1,5 por 20 que da 30. então ela gasta 30m
4) Determine quanto tempo uma torneira leva para encher um reservatório
com capacidade máxima de 18 litros, se ela despeja em 8 minutos 25 litros de
água?
Uma torneira despeja 25 litros de agua em 5 min. Quanto tempo levará
para encher um tanque de 360 litros?
360litros/25litros=14,4
14,4*5=72minutos.
14,4*5=72minutos.
25
litros ----------- 5 min
360 litros ----------- x min
25x = 1800
x = 1800/25
x = 72
Resposta: 72 minutos.
360 litros ----------- x min
25x = 1800
x = 1800/25
x = 72
Resposta: 72 minutos.
Regra de três , uma
torneira despeja 20 litros de água em 8 minutos . quanto tempo esta torneira
levará para encher um reservatório de 15 litros ??
20/8=15/x
20x=120
x=120/20
x=6 minutos
20x=120
x=120/20
x=6 minutos
20 L ----------- 8
minutos
15 L ----------- x minutos
20 x = 15 * 8
20 x = 120
x =
x = 6 minutos
15 L ----------- x minutos
20 x = 15 * 8
20 x = 120
x =
x = 6 minutos
Fechamento
Neste aula estudamos que, para calcular usando a regra de três simples,
podemos montar uma proporção ou elaborar uma tabela e analisar as grandezas. Em
ambos os casos, é preciso montar a proporção, aplicando sua propriedade
fundamental, para encontrar uma equação e resolvê-la. Vimos também que n as
situações em que as grandezas são diretamente proporcionais, basta montar uma
tabela, escrever setas ao lado de cada coluna no mesmo sentido e montar a proporção,
mantendo o sentido dessas setas. Depois, é só resolver a proporção encontrada.
E, nas situações em que as grandezas são inversamente proporcionais, basta
montar uma tabela, escrever setas ao lado de cada coluna no sentido oposto e
montar a proporção, mantendo o sentido dessas setas.
Depois, é só resolver a proporção encontrada.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
• Resolver exercícios que envolvam proporções diretamente e inversamente
proporcionais
Referências
CENTURIÒN, M., JAKUBOVIC, J.; LELLIS, M. Matemática na medida certa.
3. ed. São Paulo: Scipione, 2003.
DANTE, L. R. Tudo é Matemática. São Paulo: Editora Ática, 2009.
MORI, I.; ONAGA, D. S. Matemática: idéias e desafios. 14. ed.
São Paulo: Editora Saraiva, 2007.
SPINELLI, W.; SOUZA, M. H. Matemática. 1. ed. São Paulo: Editora
Ática, 2001.
14 - Regra de três
composta
Introdução
A regra de três pode ser simples ou composta. Quando há a presença de
duas ou mais grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, utilizamos a
regra de três composta. Esse é o tema desta aula.
Entendendo regra
de três composta
Os problemas em que utilizamos a regra de três composta na sua solução
devem envolver mais de duas grandezas dos mais variados tipos, desde que
tomadas duas a duas e sejam diretamente ou inversamente proporcionais. Vamos
analisar o problema a seguir para compreender melhor.
• Na empresa de Pedro, decidiu-se fazer uma reforma. Alguns setores
serão pintados e, para isso, sua equipe precisa calcular a quantidade de latas
de tinta que deverão ser compradas. Sabendo que, para pintar o setor de
recursos humanos, que possui uma parede com 12 metros de comprimento e 3 metros
de altura, serão gastas 4 latas de tinta, quantas latas deverão ser compradas
para pintar o setor de vendas, em que a parede mede 18 metros de comprimento
com 5 metros de altura?
Primeiro, vamos montar uma tabela da mesma forma da regra de três
simples: colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada
linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondam.
Figura 1 - Tabela 1 – Relação
entre a quantidade de latas de tinta, comprimento e altura
Agora, vamos analisar se a grandeza do termo desconhecido (x) é
diretamente ou inversamente proporcional às demais grandezas, considerando que
a grandeza não envolvida é constante. Primeiro, colocamos setas para cima ou
para baixo. A primeira seta, para baixo, fica na coluna que tem o valor
desconhecido x. Veja:
Figura
2 - Tabela 2 – Análise das grandezas
1) As grandezas quantidade de tinta e comprimento da parede são
diretamente proporcionais, uma vez que, quanto maior for o comprimento da
parede, mais tinta será gasta para pintá-la. Logo, a seta será para baixo também;
2) As grandezas quantidade de tinta e altura da parede são diretamente
proporcionais, uma vez que, quanto maior for a altura da parede, mais tinta
será gasta para pintá-la. Seta para baixo; 3) Observe que as grandezas
analisadas (comprimento e altura) são diretamente proporcionais à grandeza
quantidade de tinta (grandeza com o termo desconhecido).
Para montar a
proporção a partir da tabela dada, devemos escrever a razão que contém o termo desconhecido
(x) e igualar com o produto das outras duas razões de acordo com o sentido das
setas. Veja:
Assim, podemos aplicar a propriedade fundamental da proporção. Observe:
Portanto, deverão
ser compradas 10 latas de tintas.
Agora vamos
resolver outro exemplo:
• Em uma determinada obra, 2 pedreiros levam 9 dias para levantar uma
parede de 2 metros de altura. Calcule o tempo que seria necessário para
levantar uma parede com 4 metros de altura se tivéssemos 3 pedreiros
trabalhando.
Figura 3 - Tabela 3 –
Relação entre tempo e quantidade de pedreiros
Analisando o comportamento das grandezas:
Se diminuirmos a quantidade de pedreiros, o tempo gasto para construir
essa parede aumenta. Logo, as grandezas pedreiros e tempo são inversamente
proporcionais. Se aumentarmos o tempo gasto, a altura da parede também aumenta,
logo, tempo e altura são diretamente proporcionais.
Assim:
Aplicando a
propriedade fundamental da proporção, temos:
Portanto, 3 pedreiros
levarão 12 dias para levantar uma parede com 4 metros.
FIQUE ATENTO
______________________________________________________________________________
Ao resolver problemas que utilizam regra de três composta, analisamos
as grandezas sempre tomando duas a duas. Depois, utilizamos o mesmo recurso da
regra de três simples. Se as grandezas forem diretamente proporcionais, as
setas ficam no mesmo sentido. Se as grandezas forem inversamente proporcionais,
as setas ficam em sentidos opostos, mostrando, assim, como as proporções devem
ser apresentadas.
______________________________________________________________________________
A regra de três é muito utilizada em diversas situações, como puderam
constatar. É mais um recurso que a Matemática disponibiliza na resolução de
situações-problema. Cabe a você, aluno, escolher qual deles irá usar no dia a
dia.
Resolva os exercícios e verifique se compreendeu o conteúdo estudado.
1) Em uma determinada obra, o caminhão de Antônio carregava areia e
estava com sua capacidade máxima. Se, em 9 horas, 15 caminhões iguais ao de
Antônio descarregam 180m3 de areia, quantos caminhões serão necessários
para descarregar 120m3 em 4 horas?
Internet
Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 5 horas,
quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m³?
Caminhão / Horas / m³ de areia
20 8
160
x 5
125
Comparando:
MENOS horas, MAIS caminhão --->inversas---> 5/8
MENOS areia, MENOS caminhão-->diretas----> 160/125=32/25
20/x = 5/8 . 32/25
20/x = 160/200 (simplificando)
20/x = 4/5
4x = 100 ---> x= 25 caminhões
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de
areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
Solução: montando a tabela,
colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as
grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
Horas
|
Caminhões
|
Volume
|
8
|
20
|
160
|
5
|
x
|
125
|
Identificação dos
tipos de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que, aumentando o número de horas de trabalho,
podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação
é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia,
devemos aumentar o número de caminhões. Portanto, a relação
é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna).
Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de
acordo com o sentido das setas.
Montando a
proporção e resolvendo a equação, temos:
Logo, serão necessários 25 caminhões.
2) Em uma fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5
dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
Solução: montando a tabela:
Homens
|
Carrinhos
|
Dias
|
8
|
20
|
5
|
4
|
x
|
16
|
Observe que, aumentando o número de homens, a produção
de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente
proporcional (não precisamos inverter a razão).
Aumentando o número de dias, a
produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente
proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a
razão que contém o termo x com o produto das outras razões.
Montando a
proporção e resolvendo a equação, temos:
Logo, serão montados 32 carrinhos.
3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de
altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o
tempo necessário para completar esse muro?
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x.
Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente
proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente
proporcionais, como mostrado abaixo:
Montando a
proporção e resolvendo a equação, temos:
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.
Exercícios
complementares
Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando
fazer esses exercícios:
1) Três torneiras
enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher
2 piscinas?
3t 1pc 10h
10t 2pc xh
10/x = 1/2 * 10/3
1*10*x = 10*2*3, corta o 10 nos dois lados, fica:
x = 2*3
x = 6 horas
10t 2pc xh
10/x = 1/2 * 10/3
1*10*x = 10*2*3, corta o 10 nos dois lados, fica:
x = 2*3
x = 6 horas
Resposta: 6 horas.
Torneiras
Piscinas
Horas
3
1
10
10
2
x
================================================
Comparando as
torneiras com as piscinas.
Mais torneiras
menos horas (Inversamente proporcional)
Mais piscinas mais
horas (Diretamente proporcional)
===============================================
10
1 10
---- . ---- =
----
3
2 x
========================
10 10
---- = ----
6
x
===============
10x = 60
x =
60/10
x = 6
horas
Exercício
envolvendo regra de três.
3 Torneiras ⇨ 1 Piscina ⇨ 10 Horas
10 Torneiras ⇨ 2 Piscinas ⇨ x Horas
Analisando as
grandezas :
Se 3 torneiras
enchem em 10 horas , 10 torneiras encherão em menos tempo , pois quanto mais
torneiras tiver , menos tempo gastará para encher, portanto as grandezas são
inversamente proporcionais.
Se 1 piscina enche
em 10 horas , 2 piscinas logicamente precisará de mais tempo para serem
enchidas , portanto as grandezas são diretamente proporcionais.
10/x = 10/3 * 1/2
10/x = 10/6
10 * x = 10 * 6
10x = 60
x = 60/10
x = 6
Portanto , 10
torneiras encherão 2 piscinas em 6 horas.
2) uma equipe composta de 15 homens extrai em 30 dias, 3,6 toneladas de
carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair
5,6 toneladas de carvão?
15h 30d 3,6t
20h xd 5,6t
30/x = 3,6/5,6 * 20/15
3,6*20*x = 30*5,6*15
72x = 2520
x = 2520/72
x = 35 dias
2) Uma equipe composta
de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para
20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?
Resposta: 35 dias.
HOMENS | DIAS
| TONELADAS DE CARVÃO
15
| 30 |
3,6
20
| x |
5,6
Se eu aumento o
número de dias, eu aumento as toneladas de carvão. (mesmo sentido da
fração).
se eu aumento o número de dias, eu diminuo a quantidade de homens
trabalhando.(inverte o sentido da fração) .
Exercício
envolvendo regra de três.
15 Homens ⇨ 30 Dias ⇨ 3,6 Toneladas
20 Homens ⇨ x Dias ⇨ 5,6 Tonelada
Analisando as
grandezas :
Se 15 homens
extraem em 30 dias , 20 homens extrairão em menos dias , pois quanto maior for
o número de homens ,menor será o número de dias, portanto as grandezas são
inversamente proporcionais.
Se em 30 dias é
extraído 3,6 toneladas , para extrair 5,6 toneladas precisará de mais dias ,
pois quanto mais carvão for extraído , mais dias precisará , portanto as
grandezas são diretamente proporcionai
30/x = 20/15 *
3,6/5,6
30/x = 72/84
72 * x = 84 * 30
72x = 2520
x = 252
Portanto , 20
homens conseguirão extrair 5,6 toneladas em 35 dias.
1- precisa-se saber quantas toneladas 20 homens conseguem extrair em 30
dias pela regra de 3:
15 homens = 3,6 toneladas
20 homens = x toneladas
15x = 20 . 3,6
15x = 72
x = 72/15
x = 4,8
2- Agora vamos ver em quantos dias eles conseguem extrair 5,6
toneladas de carvão:
30 dias = 4,8 toneladas
x dias = 5,6 toneladas
4,8x = 30 . 5,6
4,8x = 168
x = 168/4,8
x = 35
RESOLUÇÃO: 20 homens conseguem extrair em 35 dias 5,6 toneladas de
carvão
Resolução:
Regra de três composta:
Homens x dias → ton carvão
15 . 30 → 3,6
20 . X → 5,6
3,6 . 20. X = 15 . 30 . 5,6
X = 2520 / 72
X = 35
Resposta: Para extrair 5,6 toneladas de carvão com 20 homens serão
necessários 35 dias.
3) Vinte operários,
trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m.
Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia,
para construir um muro de 225m?
Resposta: 15 dias.
Resposta: 15 dias.
3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para
construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários,
trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?
20 operários --
8h/d -- 18 dias -- 300 metros
16
operários -- 9h/d -- * dias --- 225 metros...
Relacione as
colunas:
1ª Quanto mais
operários menos dias serão necessários ===> grandezas INVERSAMENTE
proporcionais.
2ª Quanto mais
horas por dia menos dias serão necessários ===> grandezas INVERSAMENTE
proporcionais....
3ª Quanto mais
metros serão construídos mais dias serão necessários , grandezas
DIRETAMENTE proporcionais...
Fica assim então:
16op -- 9h/d -- 18
dias -- 300m
20op -- 8h/d -- x
dias ---- 225m
x/18 = 20/16* 8/9 *
225/300
x = 20 * 8 * 225 *
18 / 16 * 9 * 300
x =
648.000/43.200
x = 15 dias
eles demorariam 15 dias
operários horas
dias m
20
8
18 300
16
9
x 225
x=18.225.8.20 \ 300.9.16
x=64000 \ 43200
x=15
Exercício envolvendo regra de três.
20 Operários ⇨ 8 Horas ⇨ 18
Dias ⇨ 300
Metros
16 Operários ⇨ 9
Horas ⇨ x
Dias ⇨ 225
Metros
Analisando as grandezas :
Se 300 metros de muro é feito em 18 dias , para se fazer 225 metros ,
levará menos tempo, portanto as grandezas são diretamente proporcionais.
Se trabalhando 8 horas por dia , o muro é feito em 18 dias ,
trabalhando 9 horas por dia o muro será construído mais rápido , portanto
as grandezas são inversamente proporcionais.
Se 20 operários fazem o muro em 18 dias , 16 operários precisarão de
mais tempo para fazer , portanto as grandezas são inversamente proporcionais.
18/x = 300/225 * 9/8 * 16/20
18/x = 2700/1800 * 16/20
18/x = 43200/36000
43200 * x = 18 * 36000
43200x = 648000
x = 648000/43200
x = 15
Portanto , 16 operários , trabalhando 9 horas por dia , constroem um
muro de 225 metros em 15 dias.
4) Um caminhoneiro
entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média
de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga
em 20 dias, a uma velocidade média de 60
km/h?
Resposta: 10 horas por dia.
Resposta: 10 horas por dia.
0 dias - 8
h - 50 km/h
20 dias - x - 60 km/h
(I) (I)
8/x = 20/30 * 60/50
8/x = 12/15
12x = 120
x = 120/12
x = 10 horas por dia.
20 dias - x - 60 km/h
(I) (I)
8/x = 20/30 * 60/50
8/x = 12/15
12x = 120
x = 120/12
x = 10 horas por dia.
(vamos adotar que esse um
mês equivale a trinta dias)
Dias
horas velocidade média
30
8
50 km/h
20
x
60 km/h
Inicialmente precisamos
repassar a coluna com a incógnita para o começo, os demais valores serão
invertidos porque eles são inversamente proporcionais, ou seja, os dias
diminuirão e consequentemente as horas vão aumentar, pois levará mais tempo
para fazer o mesmo serviço. A mesma regra com a velocidade, ela aumentou
e as horas vão diminuir.
8/ x= 20/30 X 60/50
8/x= 1200/1500
1200x= 12.000
x= 12.000/1200
x= 10 horas
Exercício
envolvendo regra de três .
Sabemos que 1 mês
é 30 dias .
30 Dias ⇨ 8 Horas/Dia ⇨ 50Km/Hora
20 Dias ⇨ x Horas/Dia ⇨ 60Km/Hora
Analisando as
grandezas :
Se viajando 8
horas por dia ele entrega em 30 dias , para entregar em 20 dias ele terá que
viajar por mais horas por dia , portanto as grandezas são inversamente
proporcionais.
Se ele percorrendo
a 50 km/h consegue viajar 8 horas por dia , se ele percorrer a 60km/h irá
precisar viajar por menos tempo, portanto as grandezas são inversamente
proporcionais.
8/x = 20/30 *
60/50
8/x = 1200/1500
1200 * x = 1500 *
8
1200x = 14400
x = 12000/1200
x = 10
Portanto a uma
velocidade média de 60 km/h ele viajará 10 horas por dia durante 20 dias.
5) Com uma certa
quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50
minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura,
seriam produzidos em 25 minutos?
Resposta: 2025 metros.
Resposta: 2025 metros.
tamanho
largura
tempo
5400m
90cm
50min
x
120
25min
*se a largura
aumenta o tamanho diminui, logo é tamanho e largura são
inversamente proporcional.
5400/x = 90/120
(em caso de
inversamente a multiplicação é numerador com numerador e denominador com
denominador, ficando )
120x = 5400 . 90
x = 3. 1350
x = 4050 ( esse valor é em 50min de produção, como é só 25 min, divide-se
por 2 ficando 2025)
Seriam produzidos
2025 metros de tecidos com 120 cm de largura em 25 minutos.
Explicação
passo-a-passo:
produção (m) |
largura | tempo
5400
| 90cm | 50 min
X
| 120cm | 25min
Agora verificar a
proporcionalidade das grandezas em relação à coluna que tem o valor
desconhecido (X):
A largura da fita é
inversamente proporcional à quantidade produzida, pois se eu aumentar a
largura, a quantidade produzida diminui. Então eu coloco 120 em cima do 90.
O tempo é
diretamente proporcional pois se diminuir o tempo, a quantidade produzida
também diminuirá. Nesse caso, a grandeza permanece na mesma ordem. 50/25.
5400 = 120.
50
X 90.25
5400 = 6000
X 2250
agora é só utilizar
regra de 3.
6000X = 12.150.000
X = 12.150.000/6000
X = 2.025
tamanho
largura
tempo
5400m
90cm
50min
x
120
25min
*se a largura
aumenta o tamanho diminui, logo é tamanho e largura são
inversamente proporcional.
5400/x = 90/120
(em caso de
inversamente a multiplicação é numerador com numerador e denominador com
denominador, ficando )
120x = 5400 . 90
x = 3. 1350
x = 4050 ( esse valor é em 50min de produção, como é só 25 min, divide-se
por 2 ficando 2025)
Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de
areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
Exercício envolvendo regra de três.
8 Horas ⇨ 20 Caminhões ⇨ 160
metros cúbicos
5 Horas ⇨ x Caminhões ⇨ 125
metros cúbicos
Analisando as grandezas :
Se 20 caminhões fazem em 8 horas, para se fazer em 5 horas, precisará
de mais caminhões, pois se quer fazer em menos tempo, terá que ter mais
caminhões trabalhando, portanto as grandezas são inversamente proporcionais.
Se 20 caminhões descarregam 160 metros cúbicos de areia, para
descarregar 125 metros cúbicos, precisará de menos caminhões, pois quanto menor
for a quantidade de areia, menor será a quantidade de caminhões necessários,
portanto as grandezas são diretamente proporcionais.
20/x = 5/8 * 160/125
20/x = 800/1000
800 * x = 20 * 1000
800x = 20000
x = 20000/800
x = 25
Portanto , será necessário 25 caminhões , para
descarregar 125 metros cúbicos de areia em 5 horas.
Em 8 horas, 20
caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos
caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
Solução: montando
a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada
linha, as grandezas de espécies diferentes que se
correspondem:
Horas
|
Caminhões
|
Volume
|
8
|
20
|
160
|
5
|
x
|
125
|
Identificação dos
tipos de relação: Inicialmente
colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
A seguir, devemos comparar cada grandeza
com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de
trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação
é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o
volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões.
Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para
baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo
x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das
setas.
Montando a
proporção e resolvendo a equação temos:
2) Marcos possui uma fábrica de skates. Sabendo-se que 10 empregados
montam 30 skates em 5 dias, determine quantos skates podem ser montados em 15
dias por 5 homens.
Internet
Em uma fábrica de skate sobraram 275 rodas de uma produção realizada no
mês anterior .Quantos skates igual ao da imagem podem ser montados por essa
quantidade de rodas?
Tem uma imagem de um skate de 4 rodas
Tem uma imagem de um skate de 4 rodas
275 : 4 RODAS = 68
SKATES
E SOBRAM 3 RODAS *** RESPOSTA
E SOBRAM 3 RODAS *** RESPOSTA
3) Em uma fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5
dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montaram 20 carrinhos em 5 dias.
Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
REGRA DE TRÊS SIMPLES
homens carrinhos dias
8 20
5
4 x
16
VERIFICAR se (DP) e (IP)
DP Diretamente Proporcional
AUMENTA um AUMENTA outro
DIMINUI um DIMINUI outro
IP = Indiretamente Proporcional
DIMINUI um AUMENTA outro
AUMENTA um DIMINUI outro
entre
homens e carrinhos
8 20
4
x (DIMINUI homem DIMINUI carrinho) fique assim(DP)
entre
carrinhos e dias
20 5
x 16
AUMENTOU dias AUMENTA carrinho (fique assim) DP
NADA MUDA
homens carrinhos dias
8 20
5
4 x
16
8 5 20
--x---- = ------
4 16 x
8x5 20
------- = ------
4x16 x
40 20
---- = ------ ( SÓ curzar)
64 x
40(x) = 20(64)
40x =1.280
x = 1.280/40
x = 32 ( carrinhos)
Exercício envolvendo regra de três.
8 Homens ⇨ 20 Carrinhos ⇨ 5
Dias
4 Homens ⇨ x Carrinhos ⇨ 16
Dias
Analisando as grandezas :
Se 8 homens montam 20 carrinhos, 4 homens montarão menos carrinhos,
pois quanto menor for o número de homens, menor será a quantidade de carrinhos
montados, portanto as grandezas são diretamente proporcionais.
Se 20 carrinhos são montados em 5 dias, em 16 dias serão montados mais
carrinhos, pois quanto maior for a quantidade de dias, maior será a quantidade
de carrinhos, portanto as grandezas são diretamente proporcionais.
20/x = 8/4 * 5/16
20/x = 40/64
40 * x = 64 * 20
40x = 1280
x = 1280/40
x = 32
Portanto , serão montados 32 carrinhos por 4 homens em 16 dias.
Primeiramente vamos calcular para vermos quanto apenas um homem produz
por dia.
8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias .
então:
20/5(carrinho dividido pela quantidade de dias levados para ficarem
prontos) = 4 carinhos montados por dia.
4/8 (carrinhos dividido pela quantidade de pessoas)= 0,5 carinho
montado por dia por uma unica pessoa.
então podemos chegar a conclusão de que 1 homem monta 1 carinho a
cada dois dias.
quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias ?
Vamos lá:
1 homem monta 2 carinhos a cada 2 dias então, nesses 16 dias um homem
montará 8 carinhos, pois:
16/2(quantidade de dias dividido pelo tempo para se produzir um
carrinho)= 8
sendo 8 carinhos por pessoa e um total de 4 pessoas.
8*4(quantidade de carrinhos produzido por pessoa nos 16 dias
multiplicado pela quantidade de pessoas)= 32 carrinhos montados em 16
dias.
4) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos
caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
Fechamento
Nesta aula você aprendeu que a regra de três composta pode ser usada
para resolver problemas que envolvam mais de duas grandezas diretamente ou
inversamente proporcionais, desde que tomadas duas a duas. Para montar a
proporção, nesse caso, é preciso escrever a razão que contém o termo
desconhecido (x) e igualar com o produto das outras duas razões de acordo com o
sentido das setas.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
• resolver problemas que envolvam regra de três composta em situações
de proporcionalidade direta e inversa.
Referências
CENTURIÒN, M., JAKUBOVIC, J.; LELLIS, M. Matemática na medida certa.
3. ed. São Paulo: Scipione, 2003.
DANTE, L. R. Tudo é Matemática. São Paulo: Editora Ática, 2009.
MORI, I.; ONAGA, D. S. Matemática: ideias e desafios. 14. ed.
São Paulo: Editora Saraiva, 2007.
SPINELLI, W.; SOUZA, M. H. Matemática. 1. ed. São Paulo: Editora
Ática, 2001.
15 - Revendo os
conteúdos estudados – razão e proporção e porcentagem
Introdução
Neste material, veremos situações-problema que envolvem alguns
conceitos matemáticos já estudados, como: razão e proporção e porcentagem
aplicada em diversos contextos. Ao rever esses conteúdos, você tem a possibilidade
de verificar se está compreendendo e se realmente aprendeu o que estudou.
.
Aplicando razão e
proporção em situações-problema
Para as situações a seguir, você deve rever os conceitos de razão e
proporção, lembrando como se comportam as grandezas diretamente e inversamente
proporcionais. Também, é muito importante estudar a propriedade fundamental da
proporção. Ao resolver as atividades propostas, automaticamente você vai
lembrando os conceitos, as fórmulas e as estratégias necessárias na sua
resolução, não é mesmo? Então, veja:
•A empresa Vale Tudo precisou demitir três empregados, Péricles, Mauro
e Leonardo. O total da verba rescisória que a empresa precisou dispor foi de R$
36.000,00 repartida em partes diretamente
proporcionais ao número de meses trabalhados por cada empregado. Se
cada funcionário trabalhou, respectivamente, 50, 70 e 60 meses, quanto cada um
recebeu?
Resposta comentada
As partes recebidas por cada funcionário são chamadas de A, B e C.
Devemos escrever uma proporção com as seguintes razões: . Aplicando a
propriedade da soma e encontrando os valores de A, B e C, temos:
Portanto, Péricles recebeu R$ 10.000,00, Mauro recebeu R$ 14.000,00
e Leonardo recebeu R$ 12.000,00.
• A empresa Lucrativa distribui, anualmente, uma parte do seu lucro
entre seus gerentes. Este ano
resolveu alterar a forma como esse lucro era repartido e publicou o
seguinte: a PL (participação no lucro será repartida em partes inversamente
proporcionais ao número de faltas que cada gerente obteve nos meses de maio,
junho e julho. Essa empresa possui 5 gerentes A, B, C, D e E. Sabendo que a
parte do lucro que seria repartida é de R$ 1.520.000,00, e que cada gerente
faltou, respectivamente, 1, 2, 2, 3 e 5 dias, calcule quanto cada empregado
recebeu de PL neste ano.
Resposta comentada
Como o lucro será repartido em partes inversamente proporcionais ao
número de faltas, para resolver este problema, precisamos escrever uma
proporção em que as partes procuradas, x, y, z, w e t devem ser diretamente proporcionais
ao inverso da quantidade de faltas que cada gerente teve, ou seja, x, y,
z, w e t devem ser diretamente proporcionais a .
Para montar a proporção, devemos escrever frações equivalentes (com
mesmo denominador) às frações.
Observe que o mmc (1, 2, 3, 5) = 30. Assim, as frações equivalentes a
são: . Escrevemos, então, a seguinte proporção: .
Agora vamos aplicar a propriedade da soma para encontrar o coeficiente
de proporcionalidade e, assim, os valores procurados, x, y, z, w e t. Veja:
Encontrando x, y, z, w e t:
Portanto, o gerente A recebeu de PL R$ 600.000,00, o gerente B
recebeu de PL R$ 300.000,00, o gerente C recebeu de PL R$ 300.000,00, o gerente
D recebeu de PL R$ 200.000,00 e o gerente E recebeu de PL R$ 120.000,00.
Agora, alguns exercícios para você treinar um pouco.
1) Três amigos, Antonio, Marcio e Gilberto, fazem um bolão para jogar
na Mega-Sena. Antonio entra com R$45,00, Marcio com R$ 90,00 e Gilberto com R$
180,00. Se ganharem, o prêmio acumulado de 22 milhões e 50 mil reais será
dividido em partes proporcionais às quantias jogadas. Vamos ajudar esses amigos
a descobrirem quanto cada um receberia se fossem sorteados?
45,00+90,00+180,00 = 315,00
22.050.000.000,00: 315,00=70.000.000,00
70.000.000,00 x 45,00= 3.150.000.000,00 70.000.000,00 x 90,00= 6.300.000.000,00
70.000.000,00 x 180,00= 12.600.000.000,00
2) Um pai e um filho montaram uma sociedade. Cada uma investiu,
inicialmente, as seguintes quantias: o filho investiu R$ 25.000,00 e o pai
investiu R$ 45.000,00. Para ajudar o filho, ficou acordado que o lucro seria
dividido de forma inversamente proporcional aos investimentos iniciais de cada
um. Sabendo que no primeiro trimestre o lucro foi de R$ 1.050.000,00, determine
qual o valor do lucro que caberá a cada um após esse período.
Internet
Um pai resolveu dividir R$ 700,00 entre seus três filhos. A quantia
recebida por cada um deveria ser diretamente proporcional as suas idades.
Sabendo que o mais novo tem 8 anos, o do meio tem 12 anos e o mais velho tem 15
anos, é CORRETO afirmar que o mais velho recebeu: a) R$ 200,00. b) R$ 240,00.
c) R$ 280,00. d) R$ 300,00. e) R$ 360,00.
Para resolvermos a questão, inicialmente vamos somar as idades dos
filhos, para sabermos em quantas partes os R$ 700,00 deverão ser divididos:
8 + 12 + 15 = 35
Agora, vamos dividir os R$ 700,00 por 35 partes:
R$ 700,00 ÷ 35 = R$ 20,00 para cada parte unitária
Assim, os valores que cabem a cada um, serão:
- Ao mais novo: R$ 20,00 × 8 = R$ 160,00
- Ao do meio: R$ 20,00 × 12 = R$ 240,00
- Ao mais velho: R$ 20,00 × 15 = R$ 300,00
R.: A alternativa correta é a letra d) R$ 300,00
Um pai deseja dividir R$ 800,00 com seus dois filhos de 10 anos e de 15 anos,
em quantias
diretamente proporcionais às suas idades. Quanto recebem, respectivamente, o
filho mais novo e o filho mais velho ?
A) R$ 100,00 e R$ 700,00. B) R$ 210,00 e R$ 590,00. C) R$ 320,00 e R$ 480,00.
D) R$ 430,00 e R$ 370,00. E) R$ 540,00 e R$ 260,00
logo de cara podemos
desconsiderar as duas ultimas alternativas já que ambas o filho mais novo
recebe mais dinheiro sendo que o mais velho deveria receber mais e também a
letra A pois a proporção é claramente 8.
Para resolver essa questão devemos entender que esse é um exercício de
proporcionalidade então o mais fácil é colocar em uma fração: idade do mais
novo(10)\idade do mais velho(15) simplificando por 5 =>2\3 então a as
quantias devem representar essa fração e somadas der 800 chamando de X o irmão
mais novo e Y o mais velho temos X+Y=800 e X\Y=2\3 =>3x=2y(multiplicando
cruzado) desenvolvendo esse sistema da forma que você achar mais pratica você
encontra: RESPOSTA LETRA C
você também poderia fazer
por logica dividindo o primeiro número de cada alternativa por 3 e
multiplicando por 2.
Esse sistema pode ser resolvido da seguinte maneira(multiplicando a
primeira por dois e substituindo os valores da segunda 2X+3X=1600 =>5X=1600
X=320 => 800-320=Y => Y=480
Somei a
idade dos dois filhos 10+15=25 e peguei os 800 e dividi por 25 seria pegar o
total do dinheiro e dividir pela idade já que era p ser proporcional a idade
dos garotos o resultado dessa divisão é 32 ou seja cada ano é 32 reais.
Sendo assim, 32x10=320 e
32x15=480 :)
Acompanhe, a seguir, situações-problemas que envolvem o conceito de
porcentagem.
Aplicando o
conceito de porcentagem em situações-problema
Nesta seção, faremos uma revisão, por meio das atividades apresentadas,
sobre diversas situações em que aparece a porcentagem. Um dos pontos mais
importantes da porcentagem é lembrar que todo número escrito na forma de razão
centesimal é uma porcentagem (numerador igual a 100). Além disso, também iremos
rever que um número escrito na forma de porcentagem pode ser escrito na forma
de fração, fração irredutível, número
decimal e taxa percentual.
• Para montar uma confecção de
fantasias infantis, uma cooperativa de costureiras fez um investimento inicial
de R$ 120.000,00. Cada fantasia será vendida por R$ 30,00, com margem de lucro
de 20% (sobre o preço de custo). Se a venda mensal é de 2.000 fantasias,
calcule a quantidade de meses necessários para que a corporativa recupere o
investimento inicial.
Resposta comentada
Vamos calcular o custo da fantasia, sabendo que 30 é o preço vendido.
Assim,
Já sabemos que o custo da fantasia é de R$ 25,00. Como são vendidas
2.000 fantasias por mês, as costureiras têm um custo mensal de . De forma
análoga, calculamos a receita mensal dessa corporativa que é de . Assim, o
lucro mensal é de R$ 10.000 (60.000 – 50.000). Agora, dividimos R$ 120.000,00
(investimento inicial) pelo lucro mensal R$ 10.000,00, obtendo, assim, . Essa
divisão foi feita para encontramos a quantidade de meses necessários para
recuperar o investimento inicial. Portanto, são precisos 12 meses para que a
corporativa de costureiras recupere o investimento inicial.
• Em um concurso público, Glória acertou 28 questões, que correspondem
a 40% do total de questões da prova. Quantas questões a prova continha?
Resposta comentada
Chamando de A a quantidade de questões que a prova continha, temos que:
40% de A = 28. Assim:
Portanto, a prova continha 70 questões.
Acompanhe, a seguir, situações-problemas que envolvem aumentos e
descontos sucessivos e o conceito de juros.
Continuação---> Métodos Quantitativos Matemáticos 5
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