MÉTODOS QUANTITATIVOS MATEMÁTICOS - QUESTÕES 3

CONTINUAÇÃO

122. (ESAF) Uma empresa imobiliária está vendendo um terreno por $ 200.000,00 de entrada e um pagamento adicional de $ 200.000,00 no 6º mês após a compra. Um determinado comprador propõe alterar o valor do pagamento adicional para $ 250.000,00, deslocando-o para o 8º mês após a compra. A uma taxa de juros compostos de 2% a.m., o valor da entrada no esquema proposto,

desprezados os centavos, é

a) $ 161.221,00

b) $ 163.221,00

c) $ 173.221,00

d) $ 184.221,00

e) $ 164.221,00

Resposta: (e)

VI - Anuidades, rendas uniformes e variáveis. Amortização

123. (Auditor-Fiscal da Previdência Social/Ent.Fech.de Prev. Complementar/Esaf/2002) Obtenha o

valor mais próximo da quantia que deve ser depositada ao fim de cada mÊs, considerando uma taxa de rendimento de 2% ao mês, juros compostos, com o objetivo de se obter R$ 50.000,00 ao fim de dez meses.

a) R$ 5.825,00

b) R$ 5.000,00

c) R$ 4.782,00

d) R$ 4.566,00

e) R$ 3.727,00

Resposta: (d)

Solução:

124. (ESAF) João pretende comprar uma motocicleta cujo preço à vista é $ 1.000.000,00. A firma vendedora exige 10% sobre o preço à vista e financia o restante à taxa de juros compostos de 6%

a.m., em prestações iguais e sucessivas. João dispõe para pagar, mensalmente, da quantia $74.741,01, Nessas condições, o número de prestações é de

a) 22 meses

b) 23 meses

c) 24 meses

d) 25 meses

e) 30 meses

Resposta: (a)

Solução:

125. (Auditor-Fiscal da Receita Federal/Esaf/2002) Considerando a série abaixo de pagamentos no

fim de cada ano, obtenha o número que mais se aproxima do valor atual total destes pagamentos no início do ano 1, a uma taxa de desconto racional de 10% ao ano, juros compostos

Ano	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Valor	400	400	400	400	200	200	200	200	200	1.200

a) 2.208,87

b) 2.227,91

c) 2.248,43

d) 2.273,33

e) 2.300,25

Resposta: (c)

Solução:

126. (CESPE/UnB-TCU/AFCF-196) Um empréstimo de R$ 600.000,00 deverá ser liquidado em 6 prestações mensais e iguais a R$ 137.764,43, utilizando-se o Sistema de Amortização Francês (Tabela Price), com taxa de juros de 10% ao mês. Nessas condições, julgue os itens seguintes.

a) A parcela de amortização do capital é obtida pela diferença entre o valor da prestação e o valor da parcela de juros.

b) À medida que a parcela referente aos juros diminui, a parcela referente à amortização do capital aumenta.

c) Após o pagamento da primeira parcela, o saldo devedor é igual a R$ 522.235,57.

d) Na segunda prestação está incluído o valor da parcela de juros correspondentes a aproximadamente R$ 52.223,56.

e) A parcela de amortização do capital, na sexta prestação, é igual ao saldo devedor obtido após o

pagamento da quinta prestação.

Resposta: C-C-C-C-C

Solução:

Elementos de cálculo:

Empréstimo: 600.000,00

Prestação: 137.764,43

i = 10% a.m.

n = 6

Procedimentos para preenchimento do quadro:

A parcela de amortização do capital (coluna c) é obtida pela diferença entre o valor da

prestação(coluna e) e o valor da parcela de juros (coluna d)

O saldo atual (coluna b) é obtido a subtraindo-se do saldo anterior (bt-1) a amortização do mês atual

(coluna c);

Os juros são obtidos aplicando-se a taxa de 10% sobre o saldo da época anterior. O quadro permite observar que:

a) à medida que a parcela de juros diminui a parcela referente à amortização do capital aumenta;

b) após o pagamento da primeira parcela, o saldo devedor é igual a %$522.235,57 (coluna b);

c) na segunda prestação (R$ 137.764,43) está incluída a parcela de juros correspondentes a R$52.223,56(coluna d)

d) na sexta prestação, a parcela de amortização do capital (R$ 125.240,38)é igual ao saldo devedor obtido após o pagamento da quinta prestação

127. (ESAF) O preço de um automóvel é de $ 500.000,00. Um comprador ofereceu $ 200.000,00 de entrada e o pagamento do saldo restante em 12 prestações iguais, mensais. A taxa de juros compostos é de 5% a.m. 0 valor de cada prestação, desprezados os centavos, é

a) $ 36.847

b) $ 25.847

c) $ 31.847

d) $ 33.847

e) $ 30.847

Resposta: (d)

128.(Analista de Finanças e Controle/AFC/STN/2005) Ana comprou, no regime de juros compostos, um apartamento financiado a uma taxa de 2% ao mês. O apartamento deverá ser pago em 12 prestações mensais iguais a R$ 8.000,00, vencendo a primeira delas 30 dias após a compra.

Após pagar a sétima prestação, Ana resolveu transferir o contrato de compra para Beatriz, que seguirá pagando as prestações restantes. Assim, para assumir a dívida de modo que nenhuma das duas seja prejudicada, Beatriz deverá pagar a Ana, sem considerar os centavos, o valor de:

a) R$ 61.474,00

b) R$ 51.775,00

c) R$ 59.474,00

d) R$ 59.775,00

e) R$ 61.775,00

Resposta: (c)

129. (ESAF) Um banco de desenvolvimento empresta sob as seguintes condições:

i) taxa nominal de juros de 6% a.a., com capitalização semestral;

ii) prestações semestrais;

iii) Sistema de Amortização Constante - SAC ou Sistema Francês.

Pede-se: para um empréstimo de $ 12.000.000,00, qual seria o valor da primeira prestação pelo Sistema de Amortização Constante -SAC, se pelo Sistema Francês, as prestações são iguais a $1.406.766,00?

a) $ 1.560.000,00

b) $ 1.776.000,00

c) $ 1.512.000,00

d) $ 1.680.000,00

e) $ 1.726.000,00

Resposta: (a)

130. (ESAF) Um microcomputador, que está custando $ 480.000,00 à vista, foi vendido em 3 prestações mensais, iguais e consecutivas, sem entrada. Sabendo-se que a primeira prestação só será paga 30 dias apos a compra, o valor da prestação mensal à taxa de juros compostos de 13% ao mês será de (desprezar os centavos no resultado final)

a) $ 203.290,00

b) $ 179.903,00

c) $ 287.752,00

d) $ 161.370,00

e) $ 254.648,00

Resposta: (a)

131. (Analista de Finanças e Controle/STN/2005) No dia 10 de setembro, Ana adquiriu um imóvel

financiado em 10 parcelas mensais e iguais a R$ 20.000,00. A primeira parcela vence no dia 10 de

novembro do mesmo ano e as demais no dia 10 dos meses subsequentes. A taxa de juros compostos contratada foi de 60,1032% ao ano. Assim, o valor financiado no dia 10 de setembro, sem considerar os centavos, foi de:

a) R$ 155.978,00

b) R$ 155.897,00

c) R$162.217,00

d) R$ 189.250,00

e) R$ 178.150,00

Resposta: (a)

Solução:

Tratado as prestações como postecipadas, isto é, pagas no final de cada mês, temos:

VP= valor atual ou valor presente em 10 de outubro

n = número de prestações (=10)

i = taxa mensal equivalente 60,10132% a.a. à (1+6010132) ^1/12 – 1 = 4 à 4% a.m.

Fator = 8,110896

P = prestação = 20.000,00

VP = P ×= 20.000,00 × 8,110896 = 162.217,72 à valor presente em 10 de outubro

Valor presente em 10 de setembro:

162.217,72  = 155.978,77                       Valor presente em 10 de setembro à 155.978,77

 (1+0,04)

132. (AFTN/96) Um empréstimo de $ 20.900,00 foi realizado com uma taxa de juros de 36% ao ano, capitalizados trimestralmente, e deverá ser liquidado através do pagamento de 2 prestações trimestrais, iguais e consecutivas (primeiro vencimento ao final do primeiro trimestre, segundo vencimento ao final do segundo trimestre). O valor que mais se aproxima do valor unitário de cada

prestação é

a) $ 10.350,00

b) $ 10.800,00

c) $ 11.881,00

d) $ 12.433,33

e) $ 12.600,00

Resposta: (c)

Solução:

Elementos de cálculos:

VP=20.900,00

i = 36% a.a. (9% ao trim.)

n=2

= 1,759111(tabela financeira)

P= 20.900,00 = 11.881,00

      1,759111

133. (AFC-ESAF193) Um indivíduo deseja comprar um carro novo aproveitando o seu carro usado

como entrada. Sabendo que o saldo a financiar é de $ 211.506,82, que a taxa mensal de juros é de 2%, pelo sistema de juros compostos, e que o pagamento deve ser efetuado em doze prestações

iguais, a primeira das quais um mês após a compra, qual a prestação?

a) $ 18.000,00

b) $ 19.231,30

c) $ 20.000,00

d) $ 22.000,00

e) $ 28.735,70

Resposta: (c)

134. (AFTN/91) Uma alternativa de investimento possui um fluxo de caixa com um desembolso de

20.000 no início do primeiro ano, um desembolso de 20.000 no fim do primeiro ano e dez entradas

líquidas anuais e consecutivas de 10.000 a partir do fim do segundo ano, inclusive. A uma taxa de

18% ao ano, obtenha o valor atual desse fluxo de caixa, no fim do primeiro ano.

a) 24.940,86

b) 11.363,22

c) 5.830,21

d) 4.940,86

e) 1.340,86

Resposta: (e)

Solução:

Elementos de cálculo:

VP = Valor atual do fluxo de caixa no final do 1º ano

i = taxa (18%)

n = número de períodos dos desembolsos uniformes

= 4,494086 (tabela financeira)

135. (Auditor-Fiscal da Previdência Social/AFPS/Ent. Fech. de Prev. ComplementarI2002/Esaf). Um financiamento habitacional no valor de R$ 120.000,00 vai ser pago por prestações mensais

calculadas pelo sistema de amortizações constantes, a uma taxa de juros nominal de 12% ao ano, durante dez anos. Calcule a décima prestação mensal do financiamento.

a) R$ 2.200,00

b) R$ 2.120,00

c) RS 2.110,00

d) R$ 2.100,00

e) R$ 2.000,00

Resposta: (c)

Solução:

Amortização mensal = 120.000,00/12.000,00 = 1.000,00

Taxa mensal de juros (proporcional) = 12/12 = 1 à 0,01 (em termos de taxa unitária)

136. (Auditor-Fiscal da Receita Federal/Esaf/2003) Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de dezoito meses do seguinte fluxo de aplicações realizadas ao fim de cada mês: dos meses 1 a 6, cada aplicação é de R$ 2.000,00; dos meses 7 a 12, cada aplicação é de R$ 4.000,00 e dos meses 13 a 18, cada aplicação é de R$ 6.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de remuneração das aplicações é de 3% ao mês.

a) R$ 94.608,00

b) R$ 88.149,00

c) R$ 82.265,00

d) R$ 72.000,00

e) R$ 58.249,00

Resposta: (b)

137. (AFTN/96) Uma pessoa paga uma entrada no valor de $ 23,60 na compra de um equipamento

e paga mais 4 prestações mensais, iguais e sucessivas, no valor de $ 14,64 cada uma. A instituição

financiadora cobra uma taxa de juros de 120% a.a., capitalizados mensalmente (juros compostos).

Com base nestas informações podemos afirmar que o valor que mais se aproxima do valor à vista

do equipamento adquirido é

a) $ 70,00

b) $ 76,83

c) $ 86,42

d) $ 88,00

e) $ 95,23

Resposta: (a)

Solução:

Elementos de cálculo:

VP = Valor presente

i = 120% 1.1.(10% a.m.)

p = 14,64

Entrada = 23,60

Resposta:

2.110,00

n = 4

= 3,169865 (tabela financeira)

138. (AFTN/91) O pagamento de um empréstimo no valor de 1.000 unidades de valor será efetuado

por intermédio de uma anuidade composta por seis prestações semestrais, a uma taxa de 15% ao

semestre, sendo que a primeira prestação vencerá seis meses após o recebimento do empréstimo

valor da referida prestação será

Obs.: (1,15)6 = 2,31306

a) 1.000 ÷ 6

b) 1.000 × 2,31306

c) 1.000 ÷ 3,784482

d) 1.000 ÷ 8,753738

e) 1.000 ÷ 2,31306

Resposta: (c)

139. (Analista de Planejamento e Execução Financeira/Esaf/2000) Um cliente negociou com o seu

banco depositar a quantia de R$ 1.000,00, ao fim de cada mês, para obter R$ 21.412,31, ao fim de

18 meses. A que taxa efetiva anual o banco remunerou o capital do seu cliente?

a) 12%

b) 12,68%

c) 18%

d) 24%

e) 26,82%

Resposta: (e)

140. (AFCE/TCU/2000/Esaf) Um financiamento no valor de R$ 19.908,00 deve ser amortizado em

12 prestações mensais iguais, vencendo a primeira ao fim de 30 dias, e assim sucessivamente, a

uma taxa de 3% ao mês. Calcule o valor do saldo devedor do financiamento imediatamente após o pagamento da sexta prestação.

a) R$ 9.954,00

b) R$ 10.834,38

c) R$ 10.252,62

d) R$ 10.000,00

e) R$ 12.000,00

Resposta (b)

Solução:

Elementos de cálculo:

VP= 19.908,00

n = 12

i = 3%

= 9,954004 (valor da tabela)

P(prestação) = ?

Como foi preenchido o quadro:

A prestação é única para todos os períodos= 2.000,00

Os juros correspondem a 3% do saldo do período anterior. Por exemplo, os juros do período 1 corresponde a 3% de 19.908,00, que é 597,24;

A amortização é a diferença entre a prestação e os juros. Por exemplo, a amortização do primeiro

período é 2.000,00 –597,24 = 1.402,76

O saldo atual é obtido subtraindo, do saldo anterior, a amortização. Por exemplo, o saldo do primeiro período é 19.908 – 1.402,76 = 18.505,24 e assim por diante.

141 (AFTN/91) Quanto devo depositar, mensalmente, para obter um montante de 12.000, ao fim de um ano, sabendo-se que a taxa mensal de remuneração do capital é de 4% e que o primeiro depósito é feito ao fim do primeiro mês?

a) 12.000 ÷ 15,025805

b) 12.000 ÷ (12 × 1,48)

c) 12.000 ÷ 9,385074

d) 12.000 ÷ (12 × 1,601032)

e) 12.000 ÷ 12

Resposta: (a)

142. (Analista GeraI/Banco Centra/Esaf/2001) Um consumidor compra um bem de consumo durável no valor de R$10.000,00, financiado totalmente em dezoito prestações mensais d R$727,09, vencendo a primeira ao fim do primeiro mês. Junto com o pagamento da décima segunda prestação, o consumidor acerta com o financiador um pagamento para quitar o resto da dívida.

Calcule o valor mais próximo do pagamento do consumidor que quita o saldo devedor, à mesma

taxa de juros do financiamento original.

a) R$ 3.840,00

b) R$ 3.938,00

c) R$ 4.025,00

d) R$ 4.178,00

e) R$ 4.362,00

Resposta: (b)

143. (ESAF) Uma roupa é vendida por $ 4.000,00 à vista ou financiada em 5 prestações iguais, sem entrada. A taxa de juros é de 24% a.a., utilizando-se a tabela price. A 1ª prestação vence 1 mês após a compra. O valor da prestação, desprezados os centavos, e a taxa de juros efetiva cobrada, em termos anuais, são, respectivamente,

a) $ 848,00 e 24,8%

b) $ 858,00 e 26,8%

c) $ 878,00 e 26,8%

d) $ 848,00 e 26,8%

e) $ 858,00 e 24,8%

Resposta: (d)

144. (Analista Geral/Banco Central/Esaf/2001) Um contrato de aplicação financeira prevê que depósitos de mesmo valor sejam feitos mensalmente em uma conta de aplicação, durante dezoito

meses, com o objetivo de atingir o montante de R$ 100.000,00 ao fim desse prazo. Obtenha o valor

mais próximo da quantia que deve ser depositada ao fim de cada mês, considerando uma taxa de

rendimento de 3% ao mês.

a) R$ 5.555,00

b) R$ 4.900,00

c) R$ 4.782,00

d) R$ 4.270,00

e) R$ 4.000,00

Resposta: (d)

145. (Auditor- Fiscal da Receita Fedferal/Esaf/2002) Uma pessoa, no dia 1º de agosto, contratou

com um banco aplicar mensalmente R$ 1.000,00 durante seis meses, R$ 2.000,00 mensalmente

durante os seis meses seguintes e R$ 3.000,00 mensalmente durante mais seis meses. Considerando que a primeira aplicação seria feita em 1º de setembro e as seguintes sempre no dia primeiro de

cada mês e que elas rendem juros compostos de 2% ao mês, indique qual o valor mais próximo do

montante que a pessoa teria dezoito meses depois, no dia 1º de fevereiro.

a) R$ 36.000,00

b) R$ 38.449.,00

c) R$ 40.000,00

d) R$ 41.132,00

e) R$ 44.074,00

Resposta: (d)

146. (ESAF) Um agricultor recebeu $ 700.000,00 de empréstimo e deverá resgatá-lo em 6 prestações semestrais, iguais e consecutivas, à taxa nominal de 36% a.a. capitalizadas semestralmente. Calcular o valor das prestações, sabendo-se que a primeira prestação será paga no final do 18º mês após ter contraído o empréstimo (desprezar os centavos no resultado final).

a) $ 278.670,00

b) $ 328.831,00

c) $ 171.670,00

d) $ 145.483,00

e) $ 239.034,00

Resposta: (a)

147.(Analista de Finanças e Controle/AFC/STN/2005) O preço a vista de um imóvel é R$180.000,00. Um comprador propõe pagar 50% do preço a vista em 18 prestações mensais iguais, vencíveis a partir do final do primeiro mês após a compra, a uma taxa de 3% ao mês. Os 50% restantes do valor a vista ele propõe pagar em 4 parcelas trimestrais iguais, vencíveis a partir do final do primeiro trimestre após a compra, a uma taxa de 9% ao trimestre. Desse modo, o valor que o comprador desembolsará no final do segundo trimestre, sem considerar os centavos, será igual a:

a) R$ 34.323,00

b) R$ 32.253,00

c) R$ 35.000,00

d) R$ 37.000,00

e) R$ 57.000,00

Resposta: (a)

148. (ESAF) Um indivíduo deve $ 181.500,00, vencíveis de hoje a 6 meses, e $ 380.666,00, vencíveis de hoje a 12 meses. Para transformar suas dívidas em uma série uniforme de 4 pagamentos postecipados trimestrais, a partir de hoje, a juros e desconto racional compostos de 10% ao trimestre, o valor do pagamento trimestral é, desprezados os centavos

a) $ 102.500,00

b) $ 118.207,00

c) $ 140.541,00

d) $ 136.426,00

e) $ 129.343,00

Resposta: (e)

Solução:

149. (Auditor Fiscal/Esaf/2000) Um indivíduo faz um contrato com um banco para aplicar mensalmente R$1.000,00 do primeiro ao quarto mês, R$ 2.000,00 mensalmente do quinto ao oitavo

mês, R$ 3.000,00 mensalmente do nono ao décimo segundo mês. Considerando que as aplicações

são feitas no fim de cada mês, calcule o montante ao fim dos doze meses, considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês (despreze os centavos).

a) R$ 26.116,00

b) R$ 29.760,00

c) R$ 21.708,00

d) R$ 22.663,00

e) R$ 35.520,00

53

Resposta: (a)

Solução:

150. (Analista de Comércio Exterior/Esaf/2002) Um contrato prevê que aplicações iguais sejam feitas mensalmente, em uma conta durante doze meses, com o objetivo de atingir o montante de R$100.000,00 ao fim deste prazo. Quanto deve ser aplicado ao fim de cada mês, considerando rendimentos de juros compostos de 2% ao mês?

a) R$ 7.455,96

b) R$ 7.600,00

c) R$ 7.982,12

d) R$ 8.270,45

e) R$ 9.000,00

Resposta: (a)

11 - Razão e proporção – conceitos

Introdução

A proporcionalidade pode se apresentar em tamanhos diferentes, razões e situações diversas. Esse será o assunto dessa aula e nela você ainda estudará assuntos como conceitos de razão, proporção e grandes diretamente proporcionais.

 Entendendo a razão

Observe a seguinte situação:

Numa certa empresa no setor X, há 15 homens e 20 mulheres. Uma das maneiras de comparar esses números é calcular a razão entre eles, estando atento à ordem considerada. Veja: a razão entre o número de homens e o número de mulheres pode ser representada por:

15:20 = 0,75 = 75%

Note que podemos escrever a razão entre dois números na forma de fração (), na forma de fração irredutível, quando possível, ( ), na forma de número decimal (0,75) ou na forma de porcentagem (75%). Portanto,

A razão entre dois números a e b, com b diferente de 0, é o quociente de, que pode ser indicado por ou qualquer outra forma equivalente.

Destaca-se aqui que a ordem dos números no cálculo de uma razão é importante. Por isso, cada número recebe um nome.

Retornando à situação apresentada no início deste tópico, vamos analisar outros dois setores (Y e Z) desta mesma empresa. Temos, assim, que a razão entre o número de homens e o número de mulheres:

• no setor Y, que tem 14 homens e 18 mulheres, é , pois

• no setor Z, que tem 12 homens e 16 mulheres, é , pois

Observe que a razão entre o número de homens e o de mulheres é o mesmo no setor X e no setor Z. Em casos como esse, as duas razões formam uma proporção .

FIQUE ATENTO

______________________________________________________________________________

Quando temos uma igualdade entre duas razões, formamos uma proporção.

______________________________________________________________________________

Entendendo a proporção

A proporcionalidade está presente no dia a dia de muitas pessoas. Não só aparece na ampliação e na redução de fotos, como vimos na imagem no início deste tema, mas também nas mais diversas atividades, tais como: a análise da planta de uma casa, o desenho de um mapa, a interpretação de um gráfico, a dosagem de um remédio, a leitura de uma receita, entre muitas outras. Nessas situações, a noção de razão é fundamental para o desenvolvimento da ideia de proporcionalidade e dos cálculos nela presentes.

Utilizando o exemplo anterior, indicamos a proporção da seguinte maneira: e lemos “15 está para 20 assim como 12 está para 16”. De modo geral, podemos escrever:

Se duas razões são iguais, elas formam uma proporção.

Assim, se a razão entre os números a e b é igual à razão entre os números c e d, dizemos que a razão é uma proporção.

Assim, temos que a leitura da proporção é: a está para b assim como c está para d.

O primeiro e o último termos citados na leitura são os extremos da proporção (a e d). Os outros dois termos são os meios da proporção (b e c).

Para facilitar alguns cálculos que envolvem proporção em situações-problema, é preciso aprender a propriedade da proporção.

Aprendendo a propriedade fundamental da proporção

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Veja simbolicamente:

--->

Ainda existem outras propriedades das proporções. Vamos conhecê-las?

• Adição entre seus termos:

• Subtração entre seus termos:

No exemplo dado no início deste material, verificamos que uma empresa possui setores X, Y e Z contendo quantidades distintas de homens e mulheres. Nas razões especiais, estudamos a relação entre comprimento, tempo e área. Estas quantidades representam grandezas.

Fechamento

Nesta aula você aprendeu que razão é o quociente de a:b, com b diferente pode ser indicada por ou qualquer outra forma equivalente Você estudou também que, se duas razões são iguais, elas foram uma proporção. Assim, se a razão entre os números a e b for igual à razão entre os números c e d, dizemos que é uma proporção.

Proporção foi o segundo assunto que abordamos neste tema, afirmando que em toda proporção direta o produto dos meios é igual ao produto dos extremos – propriedade fundamental das proporções.

Nesta aula, você teve a oportunidade de:

• Compreender os conceitos de razão e proporção matematicamente;

• Resolver razão e proporção em situações-problema.

Referências

DANTE, L. R. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.

IEZZI, G. Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.

SOUZA, P. de S. Matemática Financeira no Ensino Básico no Município de Montanha. Dissertação de Mestrado. Universidade Federal do Espírito Santo, São Mateus, 2011.

12 - Razão e Proporção – Grandezas diretamente e inversamente proporcionais

Introdução

Nessa aula, estudaremos as grandezas diretamente e inversamente proporcionais. Vamos também aprender a identificá-las e como aplicá-las e resolvê-las em problemas.

Entendendo grandezas diretamente e inversamente proporcionais

Grandezas diretamente proporcionais

Observe a seguinte situação:

•Marcos, conversando com sua mãe, perguntou o seguinte:

“Quando a gente compra café, o preço depende da quantidade comprada?”

Repare no quadro a seguir o que acontece com o preço do café em relação à quantidade comprada:

                     Figura 1 - Tabela 1 – tabela de preço x quantidade de café

Fonte: Marques (2014)

Se comprarmos 1 quilo de café, pagamos 4 reais; se comprarmos metade da quantidade, ½ quilo, pagamos 2 reais, a metade do primeiro preço. E se comprarmos o dobro de café, 2 quilos, o preço também dobra (2 x 4), ficando 8 reais. Assim, podemos concluir que peso e preço são, então, grandezas que variam de modo proporcional. É fácil perceber que quanto maior a quantidade de café comprada maior é o preço pago por ele.

Grandezas que apresentam esse tipo de comportamento são diretamente proporcionais. Desta forma, podemos concluir:

Quando o valor de uma grandeza dobra, triplica ou fica metade, o valor de outra grandeza também dobra, triplica ou fica a metade, e assim por diante. Dizemos, então, que as duas grandezas envolvidas nessa situação são diretamente proporcionais ou apenas que são proporcionais.

SAIBA MAIS

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• Duas grandezas são diretamente proporcionais quando o aumento (ou diminuição) de uma corresponde ao aumento (ou diminuição) da outra na mesma razão;

• Quando duas grandezas A e B são diretamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na mesma razão.

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No exemplo dado, conforme afirmamos, as grandezas são diretamente proporcionais, assim as razões entre preço e quantidade de café formam a seguinte proporção: . Simplificando cada uma dessas razões, temos: , e Perceba que todas obtiveram como resultado da simplificação. Logo, a razão de proporcionalidade =

Mas e quando as grandezas variam de modo inverso?

Grandezas inversamente proporcionais

Para estudar as grandezas, observe a seguinte situação:

• Inês gosta muito de ler. Se ela consegue ler 8 páginas de determinado livro por hora, ela lerá este livro em 12 horas. Entretanto, ela resolveu ser mais rápida na leitura e conseguiu ler 16 páginas por hora levando 6 horas para terminar de ler o mesmo livro.

Perceba que ao aumentar a quantidade de páginas lidas em uma hora, o tempo que Inês levou para ler o livro diminuiu. Por quê? Neste caso, quando a grandeza (número de páginas) aumenta o dobro (8 páginas para 16 páginas) a outra (tempo) diminui pela metade (12 horas para 6 horas).

Vamos complicar um pouco mais?

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