MÉTODOS QUANTITATIVOS ESTATÍSTICOS 2

CONTINUAÇÃO

CURTOSE

Curtose é o grau de achatamento da distribuição ou o quanto uma curva de frequência será achatada em relação a uma curva normal de referência.

Para o cálculo do grau de curtose de uma distribuição utiliza-se o coeficiente de curtose (ou coeficiente percentílico de curtose), definido como:

Em que Q3 e Q1 são o terceiro e primeiro quartil P90 e P10 são o décimo e nonagésimo percentis.

Quanto à curtose, a distribuição pode ser:

A. Mesocúrtica – normal. Nem achatada, nem alongada. (C = 0,263)

Figura 1.8 - Curtose - Mesocúrtica

Fonte: Elaborada pelos autores.

B. Platicúrtica – achatada. (C > 0,263)

Figura 1.9 - Curtose - Platicúrtica

Fonte: Elaborada pelos autores.

C. Leptocúrtica – alongada. (C < 0,263

Figura 1.10 - Curtose - Leptocúrtica

Fonte: Elaborada pelos autores.

Nessa primeira unidade foi abordada a estatística descritiva, que é aquela que tem por finalidade descrever e sumarizar um conjunto de dados relativos a uma população (universo) ou a uma amostra.

Iniciamos a unidade com definições das variáveis de estudo e, em seguida, estudamos as técnicas de amostragem de dados, onde aprendemos as seguintes técnicas de amostragem: simples, estratificada e sistemática. Em seguida, passamos a construir tabelas de distribuição de frequência, com objetivo de tabular os dados coletados.

Em um segundo momento desta unidade, aprendemos as técnicas de medidas de posição – média, moda, mediana e medidas de separatrizes. Essas medidas de posição são importantes, pois descrevem a posição do conjunto de dados e ainda possibilitam determinar se um valor está entre o maior e o menor valor de uma série estatística, ou ainda se está localizado no centro do conjunto.

Finalizamos a unidade com as medidas de dispersão (ou variabilidade), onde estudados: amplitude, variância, desvio-padrão, coeficiente de variação e as medidas de assimetria e curtose. As medidas de dispersão foram importantes no nosso estudo, pois serviram para avaliar o quanto os dados estavam semelhantes ou o quanto os dados estavam distantes do valor central.

SAIBA MAIS

O documentário O Prazer da Estatística – The Joy of Statistics – leva os espectadores a uma viagem por meio do maravilhoso mundo da estatística para explorar o notável poder que tem de mudar a nossa compreensão do mundo. Este documentário é apresentado pelo Professor Hans Rosling, cuja visão aberta, de expansão da mente e engraçadas palestras on-line têm feito dele uma lenda internacional na internet. Rosling é um homem que se deleita no glorioso mundo das estatísticas, e aqui ele explora sua história, como elas funcionam matematicamente e como elas podem ser usadas atualmente no computador para ver o mundo como ele realmente é, e não apenas como o imaginamos ser.

O documentário encontra-se disponível no YOUTUBE, no link a seguir em:  http://www.youtube.com/watch?v=xLr68J2yDJ8 .  Acesso em: 18/02/2018.

ATIVIDADES

1) Em uma amostragem sistemática, de tamanho 50, de uma população de 2000 elementos, o primeiro elemento selecionado é o 16. Os dois elementos seguintes a serem escolhidos são:

a. 32 e 48

b. 50 e 66

c. 50 e 100

d. 56 e 96

e. 56 e 106

2) (CESGRANRIO) Uma distribuição de frequência incompleta é apresentada na tabela a seguir.

Os valores de x e y são, respectivamente, iguais a:

a. 130 e 0%.

b. 130 e 10%.

c. 150 e 35%.

d. 200 e 35%.

e. 200 e 50%.

3) (CESGRANRIO) O supervisor de uma fábrica anotou o tempo de utilização de uma máquina durante 5 dias. Os dados estão na tabela a seguir.

Em média, quantas horas diárias essa máquina foi utilizada nesses 5 dias?

a. 5

b. 6

c. 7

d. 8

e. 9

4) (CESGRANRIO) O registro mensal de mercadorias com peso maior do que 0,5 kg despachadas por uma transportadora, nos últimos 8 meses, foi: 7, 33, 15, 21, 11, 35, 7 e 7. A mediana associada aos dados anteriores é:

a. 7

b. 13

c. 15

d. 16

e. 17

5) (CESGRANRIO) Considere o seguinte conjunto: {15; 17; 21; 25; 25; 29; 33; 35}. A média, a mediana e a moda desse conjunto de dados são, respectivamente:

a. 1, 2 e 3.

b. 5, 7 e 9.

c. 7, 9 e 5.

d. 25, 25 e 25.

e. 25, 27 e 29.

INDICAÇÃO DE LEITURA

Nome do livro: Estatística Fácil

Editora: Saraiva

Autor: Antônio Arnot Crespo

Ano: 2009 – 19ª edição

ISBN: 978-85-02-081106-2

Comentário: Este livro nos apresenta o conteúdo da estatística de forma fácil e com muitos exemplos de aplicações, com abundância de situações práticas. Nele estão contidos temas como: estatística descritiva, tabelas, distribuição de frequências, gráficos, probabilidades e suas distribuições e finaliza os estudos com a correlação e regressão linear. No seu final, apresenta uma revisão de matemática que poderá auxiliá-lo(a) na resolução de exercícios.

ANEXO

Tabela de Números Aleatórios

Figura 1.11 - Tabela de números aleatórios

              Fonte: Crespo, 2009, p. 217.

Probabilidades

INTRODUÇÃO

Athanasios Papoulis, um engenheiro e matemático grego, o qual escreveu o livro Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, que é usado nas principais

escolas de engenharia do mundo, disse:

As teorias científicas lidam com conceitos, não com a realidade. Embora elas sejam formuladas para corresponder à realidade, esta correspondência é aproximada e a justificativa para todas as conclusões teóricas é baseada em alguma forma de raciocínio indutivo (1991, p. 02).

Desde o período dos primeiros estudos matemáticos de probabilidades até a metade do  século XX, surgiram várias aplicações da Teoria das Probabilidades, aplicações que chamamos de clássicas, tais como: cálculo associados aos seguros de vida (cálculos atuariais); cálculos referentes aos estudos de incidência de doenças infecciosas e o efeito da vacinação, como o caso recente da gripe H1N1 (estudos demográficos); teoria de jogos como loteria, carteados etc. Todas essas teorias estão baseadas em probabilidades.

Há registros históricos de censos, para fins de alistamento militar e de coleta de impostos, realizados há mais de 4.000 anos, como é o caso do censo do imperador Yao na China.

Em todo esse tempo, a estatística era usada meramente para o trabalho de exibição e síntese dos dados referentes colhidos pelo censo, ou seja, tratava-se da Estatística Descritiva, a qual não envolvia nenhum trabalho probabilístico, pois todos os objetos do universo envolvidos (a população) eram apenas observados e medidos.

A primeira pessoa a pensar em medir/observar uma amostra e, a partir da análise probabilística, estender os resultados da amostra para todo o universo, foi Adolphe Quételet no ano de 1850. A partir dele, rapidamente surgiu a ideia de dar uma consistência mais rigorosa para o método científico, a partir de uma fundamentação probabilista para as etapas da coleta e análise indutiva de dados científicos e essa ideia é usada até hoje para tomada de decisões.

Nesta unidade, abordaremos os conceitos básicos de probabilidade e os casos de distribuição binomial e normal.

PROBABILIDADE

A teoria das probabilidades nos permite construir modelos matemáticos que explicam um grande número de fenômenos coletivos ou individuais e fornecem informações para tomada de decisões.

Para melhor entender essa unidade, vamos relembrar alguns conceitos básicos:

A. Experimento: É qualquer processo que permite a um pesquisador fazer observação. Exemplos: o preço das ações um uma bolsa de valores, o número de funcionários de uma empresa, o preço das taxas de juro no cheque especial, lançamento de um dado etc.

B. Experimento Aleatório: São fenômenos que, mesmo quando repetidos várias vezes, sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. O resultado final sempre depende do acaso.

C. Evento: É qualquer conjunto de resultados de um experimento. O evento pode ser simples ou composto. Um evento simples é aquele em que um resultado não pode ser decomposto em componentes mais simples. Já o evento composto é aquele que pode ser decomposto em dois ou mais eventos simples. Um evento estatístico é um conjunto, para o qual definimos as seguintes operações:

D. Espaço Amostral: Consiste de todos os eventos simples possíveis de um experimento, ou seja, o espaço amostral consiste em todos os resultados de um experimento que não pode mais ser decomposto. Exemplo: no lançamento de um dado, o espaço amostral é formado por seis eventos, a saber, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Se considerarmos S como espaço amostral e E como evento: assim, qualquer que seja

E, se E ⊂ S (E está contido em S), então E é um evento de S. Daí:

Se E = S, E é chamado de evento certo.

Se E ⊂ S e E é um conjunto unitário, E é chamado de evento elementar.

Se E = ∅, E é chamado de evento impossível.

Chamamos de probabilidade de um evento E (E ⊂ S) o número real P(E) tal que:

Em que n (E) é o número de elementos do evento E e n(S) é o número de elementos do espaço amostral.

Exemplo 1: Ao lançarmos um dado, qual a probabilidade de obter um número par?

Solução: Para a situação do lançamento de dado temos que o espaço amostral é S = { 1,2,3,4,5,6 } , o qual possui 6 elementos. O evento, que é a ocorrência de número par, é o conjunto E = { 2,4,6 }, que possui 3 elementos. Assim:

Exemplo 2 (CESGRANRIO): Em uma caixa são colocados vários cartões, alguns amarelos, alguns verdes e os restantes pretos. Sabe-se que 50% dos cartões são pretos, e que, para cada três cartões verdes, há cinco cartões pretos. Retirando-se, ao acaso, um desses cartões, a probabilidade de que este seja amarelo é de:

A. 10%

B. 15%

C. 20%

D. 25%

E. 40%

Solução: Digamos que sejam colocados 100 cartões na caixa, logo pretos, que 50% do total, ou 50 cartões, são pretos. Como a relação de pretos e verdes é que para cada 3 verdes há 5 pretos, então 50 pretos corresponderão a 30 verdes e, por conseguinte, amarelos serão 20. Daí,

Exemplo 3 (CESGRANRIO): Dois dados comuns, honestos, foram lançados simultaneamente.

Sabe-se que a diferença entre o maior resultado e o menor é igual a um. Qual é a probabilidade de que a soma dos resultados seja igual a sete?

A. 1/3

B. ¼

C. 1/5

D. 1/6

E. 1/7

Solução: No lançamento de dados, os possíveis resultados obtidos são {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}. Vamos assinalar os resultados cuja diferença seja um. Assim, teremos 5 resultados favoráveis à diferença um. Daí, a probabilidade de que a soma dos resultados seja igual a sete é:

Exemplo 4 (CESGRANRIO): Foi observado que uma loja de departamentos recebe, por hora, cerca de 250 clientes. Destes:

I. 120 dirigem-se ao setor de vestuário.

II. 90 ao setor de cosméticos.

III. 80 ao setor cinevídeo.

IV. 50 dirigem-se aos setores de vestuário e de cosméticos.

V. 30 aos setores de cosméticos e de cinevídeo.

VI. 30 aos setores de vestuário e cinevídeo.

Observou-se, ainda, que 50 clientes se dirigem a outros setores que não vestuário ou cosméticos ou cinevídeo. Qual a probabilidade de um cliente entrar nessa loja de departamentos e se dirigir aos setores de vestuário, de cosméticos e de cinevídeo?

A. 0,08

B. 0,20

C. 0,36

D. 0,48

E. 0,80

Solução: Primeiramente, montamos o Diagrama de Venn, como ilustrado a seguir. Assim, e em seguida, determinamos o valor de x.

Figura 2.1 - Diagrama de Venn 1

Fonte: Elaborada pelos autores.

Daí, (40 + x) + (20 + x) + (10 +x) + (30 - x) + 50 - x) +30 - x) + x = 200

180 + x = 200

x = 20

Assim, o diagrama de Venn fica como mostrado a seguir:

Figura 2.2 - Diagrama de Venn 2 Fonte: Elaborada pelos autores.

Se P(A) é a probabilidade de um cliente entrar nessa loja de departamentos e se dirigir aos setores de vestuário, de cosméticos e de cinevídeo, então segue que:

Vejamos, agora, como proceder ao cálculo da probabilidade para o caso em que os eventos são independentes. Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização (ou não realização) de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa. Por exemplo, quando lançamos dois dados não viciados, o resultado obtido por um independe do resultado obtido no outro. No caso de eventos independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização de cada evento.

Exemplo 5: Dois dados comuns, honestos, foram lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de se obter o número 2 no primeiro dado e o número 5 no segundo dado?

Solução: Note que se trata de eventos independentes. Assim, a probabilidade de obtermos o número 2 na primeira jogada é e a probabilidade de se obter o número 5 no segundo dado é igual a . Logo, a probabilidade de obtermos, simultaneamente, 2 na primeira jogada e 5 na segunda jogada é: 

Exemplo 6 (UFF - RJ): Em um jogo de bingo são sorteadas, sem reposição, bolas numeradas de 1 a 75 e um participante concorre com a cartela reproduzida a seguir. Qual é a probabilidade de que os três primeiros números sorteados estejam nessa cartela?

Figura 2.3 - Exemplo de uma cartela de Bingo

 Fonte: Elaborada pelos autores.

Solução: Observe que se trata de eventos independentes. Assim, P (E) =

Exemplo 7: De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade da carta do primeiro baralho ser um rei e a do segundo ser o 5 de paus? 

Solução: Como esses dois acontecimentos são independentes e simultâneos, temos que a probabilidade de obtermos um rei do primeiro baralho é e a probabilidade de se obter o 5 de paus no segundo baralho é igual a . Logo, a probabilidade de obtermos um rei do primeiro baralho e um 5 de paus do segundo baralho é: 

Vejamos, agora, como proceder ao cálculo da probabilidade para o caso em que os eventos são mutuamente exclusivos. Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização (ou não realização) de um dos eventos excluiu a realização do outro e vice-versa. Por exemplo, quando lançamos uma moeda, o evento tirar cara exclui o evento tirar coroa. No caso de eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro evento se realize é igual à soma das probabilidades de realização de cada evento.

Exemplo 8: Em um lançamento de um dado não viciado, qual a probabilidade de se obter um número não inferior a 5?

Solução: A probabilidade de se obter um número não inferior a 5 é a probabilidade de se obter 5 ou 6. A probabilidade de se obter 5 é probabilidade de se obter 6. Assim, a probabilidade de se obter 5 ou 6 é  

Distribuição de probabilidade

Uma variável aleatória (normalmente representada por X) é uma variável que assume um único valor numérico, determinado pelo acaso, para cada resultado de um experimento, ou seja, é aquela cujos valores são determinados por processos acidentais, ao acaso, que não estão sob o controle do observador.

Vamos considerar o caso do lançamento simultâneo de duas moedas não viciadas. Para cada uma podemos obter CARA ou COROA. Assim, o espaço amostral é S = {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)}. Digamos que X represente o número de coroas que aparecem no espaço amostral. Assim, escrevemos a Tabela 1.

Tabela 2.1 - Número de “coroas” que aparece no espaço amostral do lançamento simultâneo de duas moedas não viciadas Fonte: Elaborada pelos autores.

Uma distribuição de probabilidade é uma descrição que dá a probabilidade para cada valor da variável aleatória. Ela é frequentemente expressa na forma de um gráfico, de uma tabela ou de uma equação. Assim, podemos reescrever a Tabela 1, acrescentando a cada valor que aparece COROA a um valor de probabilidade. Agora, temos a Tabela 2. Assim:

Tabela 2.2 - Distribuição de probabilidade

Fonte: Elaborada pelos autores.

Ao definir a distribuição de probabilidade, estabelecemos uma correspondência unívoca entre os valores da variável aleatória X e os valores da variável P(X), e essa correspondência define uma função em que os valores possíveis para a variável aleatória definem o domínio da função e os valores de P(x) à imagem. Essa função é denominada função probabilidade da variável aleatória X e é representada por: 

Distribuição binomial A distribuição de probabilidade binomial nos permite lidar com circunstâncias nas quais os resultados pertencem a duas categorias: favorável/desfavorável, certo/errado, aceitável/ defeituoso, sucesso/fracasso, sobreviveu/morreu etc. Dizemos que uma distribuição de probabilidade binomial resulta de um experimento que satisfaz as seguintes condições:

I.              os experimentos têm um número fixo de tentativas;

II.            as tentativas devem ser independentes;

III.          cada tentativa deve ter todos os resultados classificados em duas categorias (em

         geral, chamadas de sucesso ou fracasso);

IV.     no transcorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a probabilidade do insucesso q manter-se-ão constantes.

Em uma distribuição de probabilidade binomial, a probabilidade pode ser calculada usando a equação da probabilidade binomial:

Para x = 0, 1, 2, 3, ..., n. Na equação anterior, n é o número de tentativas; x é o número de sucessos entre n tentativas; p a probabilidade de sucesso em qualquer tentativa; q é a probabilidade de fracasso em qualquer tentativa (q = 1 – p).

Exemplo 9: Uma moeda não viciada é lançada 10 vezes seguidas e independentes. Determine a probabilidade de serem obtidas 6 coroas nessas 10 provas.

Solução: Temos que n = 10, x = 6, p = 0,5 (pois a probabilidade de COROA ocorrer é ½) e q = 0,5 (pois a probabilidade de CARA ocorrer é ½). Pela lei binomial, escrevemos:

Exemplo 10: Um teste é composto de 7 questões do tipo classificar a sentença como verdadeira ou falsa. Determine a probabilidade de um candidato que responda todas ao acaso acertar pelo menos 5.

Solução: Devemos calcular a probabilidade de se acertar 5, 6 ou 7 questões. A probabilidade de acertar é p = 0,5 e a probabilidade de errar é 0,5. Temos ainda que n = 7 e x = 5. Assim:

Distribuição normal

Uma variável aleatória contínua apresenta distribuição com gráfico simétrico e em forma de sino, como mostra a Figura 4, e que pode ser descrito pela equação:

Figura 2.4 - Distribuição normal Fonte: Adaptada de Crespo (2009).

I.           A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real.

II.    A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média, que recebe o nome de curva normal ou de Gauss.

III.      A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que essa área corresponde à probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor real.

IV.  A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, - indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo.

V.       Como a curva é simétrica em torno da média, a probabilidade de ocorrer valor maior que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a 0,5 ou 50%. Cada metade da curva representa 50% de probabilidade.

A distribuição normal padrão é uma distribuição de probabilidade normal média µ = 0 e desvio-padrão σ=1 e área sob a curva de densidade igual a 1, como apresentado na Figura 5.

2.5 - Distribuição normal padrão      Fonte: Adaptada de Crespo (2009).

Quando temos em mãos uma variável aleatória com distribuição normal, nosso principal interesse é obter a probabilidade de essa variável aleatória assumir um valor em um determinado intervalo. Vejamos como proceder, por meio de um exemplo.

Exemplo 11: A concentração de um poluente em água liberada por uma fábrica tem distribuição normal com média 8 ppm e desvio-padrão 1,25 ppm. Qual a probabilidade de que, em um dado dia, a concentração do poluente esteja entre 8 e 10 ppm?

Solução: É fácil notar que essa probabilidade, indicada por P(8 < X < 10), corresponde à área hachurada na figura a seguir:

Figura 2.6 - Distribuição normal - área entre 8 e 10       

Fonte: Elaborada pelos autores.

Para o cálculo da probabilidade, primeiro vamos calcular o parâmetro Z. Assim, vamos assumir que Z tem a distribuição normal reduzida, com média 0 e desvio-padrão 1, ou seja, P(8 < X < 10) = P(0 < X < 2). Temos que Z é definido como:

Figura 2.7 - Tabela de Distribuição Normal Reduzida      

 Fonte: Crespo, 2009, p. 218.

Assim, P(8 < X < 10) = P(0 < X < 2) = 0,4452. Logo, a probabilidade de que, em um dado dia, a concentração do poluente esteja entre 8 e 10 ppm é de 0,4452 ou 44,52

Exemplo 12: A concentração de um poluente em água liberada por uma fábrica tem distribuição normal com média 8 ppm e desvio-padrão 1,25 ppm. Qual a probabilidade de que, em um dado dia, a concentração do poluente exceda o limite regulatório de 10 ppm?

Solução: É fácil notar que essa probabilidade, indicada por P(X > 10), corresponde à área hachurada na figura a seguir:

Figura 2.8 - Distribuição normal - área valores maiores do que 10      

Fonte: Elaborada pelos autores.

Logo, a probabilidade de que, em um dado dia, a concentração do poluente esteja acima de 10 ppm é de 0,0548 ou 5,48%.

Para o cálculo da probabilidade vamos, primeiramente, calcular o valor do escore z (ou seja, Z tem a distribuição normal reduzida, com média 0 e desvio-padrão 1) definido como:

E, em seguida, usar a Tabela de Distribuição Normal Reduzida do material em anexo. Assim:

Esta unidade foi toda dedicada ao estudo da probabilidade, que além de ser empregada em jogos de azar, também teve usos mais remotos por civilizações antigas, como a fenícia, para proteger sua atividade comercial marítima. Essa teoria começou a ser escrita durante a Idade Média, para descrever os jogos de azar, e é até hoje muito empregada em outras ciências, como administração, biologia, medicina e engenharia. A teoria da probabilidade proporciona um modo de medir a incerteza e de mostrar aos indivíduos como matematizar, como aplicar a matemática para resolver problemas reais. Começamos a unidade definindo probabilidade e alguns conceitos básicos. Em seguida, avançamos para as distribuições de probabilidade: binomial e normal, ambas muito usadas em situações do nosso dia a dia.

SAIBA MAIS

A revista SUPERINTERESSANTE publicou, em agosto de 2012, uma matéria dedicada à sorte. Os autores da reportagem, Alexandre de Santi e Cristine Kist, afirmam que “Tudo é uma questão de probabilidade”. Leia essa reportagem, também disponível em: . Acesso em: 15 fev. 2018. E consulte no site da Caixa Econômica Federal (disponível em: . Acesso em: 15 fev 2018) as probabilidades de você ganhar na Mega Sena.

REFLITA

 “A normalidade é tão somente uma questão de estatística”. Aldous Huxley – Escritor inglês

ATIVIDADES

1) Um consultor está estudando dois diferentes tipos de imóveis quanto a quantidades disponíveis à venda, por região, em uma determinada cidade. Os dados são mostrados no quadro a seguir:

 Fonte: Elaborado pelos autores - dados fictícios.

Indique Norte por N; Sul por S; Leste por L; Oeste por O; Apartamento por A e Casa por C. Determine as seguintes probabilidades

P(N) =

P(S) =

 P(L) =

P(O) =

P(A) =

P(C) =

P(N ∩ A) =

P(S ∩ C) =

P(L ∩ A) =

P(O ∩ C) =

 P(N U A) =

P(S U C) =

P(L U A) =

P(O U C) =

2) Em um lote de 15 peças, sendo 5 defeituosas, retira-se uma peça e inspeciona-se. Qual a probabilidade:

 a. Da peça ser defeituosa.

 5/15 = 0,333

 b. Da peça não ser defeituosa.

10/15 = 0,666

3) Suponha que a média da taxa de falhas de dados é transmitida em lotes. Sabe-se que essa característica segue uma distribuição normal com média de 2 e desvio padrão igual a 0,5. Calcule as seguintes probabilidades:

a. De tomarmos um lote ao acaso e este ter uma taxa de falhas entre 2,0 e 2,5.

b. Da taxa de falhas ser maior que 2,1.

c. Da taxa de falhas ser menor que 2,2.

4) Em homens, a quantidade de hemoglobina por 100 ml de sangue é uma variável aleatória com distribuição normal de média µ=16g e desvio padrão �=1g. Sendo assim, qual a probabilidade de um homem apresentar mais de 18g de hemoglobina por 100 ml de sangue?

5) A probabilidade de um atirador acertar o alvo em um único disparo é de 0,3. Determine qual a probabilidade de que, em 4 disparos, o alvo seja atingido 3 vezes?

INDICAÇÃO DE LEITURA

Nome do livro: Introdução à Estatística – Aplicações em Ciências Exatas

Editora: LTC

Autor: Viviane Leite Dias de Mattos; Andréa Cristina Konrath; Ana Maria Volkmer de Azambuja

Ano: 2017 – 1.ed.

ISBN: 978-85-216-3309-9

Este livro foi elaborado com o intuito de apresentar alguns conceitos básicos sobre o tema, de maneira simples e amigável, mas sem se afastar do rigor matemático. Apresenta-nos técnicas de estatística descritiva, faz uma análise exploratória, aborda tópicos de probabilidades e distribuição de probabilidades, com exemplos e cases do cotidiano. O último capítulo apresenta um software livre de estatística e refaz alguns dos exercícios estudados ao longo dos capítulos anteriores.

ANEXO

Tabela de distribuição Normal Reduzida

Tabela 2.1: Tabela de distribuição Normal Reduzida       Fonte: Crespo, 2009, p. 218.

Correlação e Regressão

INTRODUÇÃO

Nesta unidade introduziremos um método para a determinação da existência ou não de uma correlação, ou associação, entre duas variáveis para o caso dessa correlação ser linear. Quando se trabalha com duas ou mais variáveis, elas poderão estar ou não relacionadas. Se essas variáveis estiverem relacionadas, iremos estabelecer uma equação matemática que estabeleça o grau dessa dependência. Para tal, identificaremos uma função polinomial do primeiro grau que melhor se ajusta aos dados e a partir disso poderemos empregar esta equação para predizer o valor de uma variável, dado o valor da outra.

CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR

Dizemos que duas variáveis estão ligadas por uma relação estatística quando existe correlação entre elas, ou seja, existe correlação entre duas variáveis quando os valores de uma variável estão relacionados, de alguma maneira, com os valores de outra variável.

Vejamos alguns exemplos: a idade e altura das crianças; o tempo de prática de esportes e ritmo cardíaco; o tempo de estudo e a nota na prova; a taxa de desemprego e a taxa de criminalidade; a expectativa de vida e a taxa de analfabetismo; a taxa de juro e a inflação.

As variáveis altura e peso de uma criança recém-nascida, por exemplo, apresentam-se, em geral, correlacionadas positivamente, pois assim que a criança “ganha altura”, ela também “ganha peso”. Por outro lado, no Brasil, as variáveis renda familiar e o número de elementos da família costumam se apresentar correlacionados negativamente, pois as famílias de baixa renda, em geral, tendem a ter mais filhos do que as de alta renda. Quando se trabalha com duas variáveis, diz-se correlação e regressão simples.

Quando se trabalha com mais de duas variáveis, fala-se de correlação e regressão múltipla.

 A Figura 1 ilustra algumas correlações. Vejamos:

Figura 1 - Tipos de correlação      Fonte: Adaptada de Crespo (2009)

Uma correlação linear simples é uma relação entre duas variáveis quantitativas, tais que os dados são representados por pares ordenados, (X, Y), em que X é a variável independente (explicativa) e Y é a variável dependente (resposta).

Antes de realizar qualquer análise estatística formal sobre regressão, devemos usar um diagrama de dispersão para explorar os dados coletados visualmente. Coletam-se dados exibindo os valores correspondentes das variáveis. Assim, faz-se o gráfico com os dados coletados em um sistema de coordenadas retangulares. O conjunto resultante é chamado diagrama de dispersão, que é uma maneira de visualizarmos se duas variáveis apresentam-se correlacionadas. Veja a Figura 1.

Para ficar claro, vejamos a seguinte situação problema: o administrador da rede de Lojas Canção está interessado em descobrir se existe relação entre os gastos com propaganda das lojas, no horário nobre da TV aberta, e as vendas dessas lojas. Para tal propósito, ele conduz um estudo para determinar se existe uma relação linear entre o dinheiro gasto em propaganda e as vendas. Os dados coletados pelo administrador estão dispostos na tabela a seguir.

Tabela 1 - Gastos com propagandas e vendas da loja

Fonte: Elaborada pelos autores.

Representando, em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, os pares ordenados (Xi , Yi ), obtemos o diagrama de dispersão, o qual nos mostra a existência de correlação entre as variáveis estudadas.

Figura 2 - Diagrama de dispersão        

Fonte: Elaborada pelos autores.

Desprende-se da Figura 2 que existe correlação positiva entre as variáveis “gastos” com propaganda e “vendas”, ou seja, o aumento com gastos com propagandas ocasiona aumento nas vendas das lojas.

Podemos determinar a intensidade com que esses dados estão correlacionados, calculando o coefi ciente de correlação de Pearson que é dado por:

Em que n é o número de observações. Os valores de r estão no intervalo. Assim:

I.              Se a correlação entre as variáveis é perfeita e positiva, então r = 1.

II.            Se a correlação entre as variáveis é perfeita e negativa, então r = - 1.

III.           Se não existe correlação entre as variáveis, então r = 0. Nesse caso, obviamente, a correlação não é linear.

IV.          Se a correlação é de inexistente a muito fraca e nada podemos concluir.

V.           Se a correlação é muito fraca à média e podemos considerar o valor de r nesse intervalo como indício de uma correlação entre as variáveis sem muito efeito.

VI.          Se a correlação é de média a muito forte e as variáveis mantêm dependência significativa.

Vamos calcular r para o caso do Quadro 1. Vejamos a seguir:

Quadro 1 - Cálculo da correlação linear       

 Fonte: Elaborado pelos autores

Com o valor de r calculado, pode-se afirmar que, de fato, há forte correlação positiva entre as variáveis “gastos”e vendas. Agora, é interesse determinar uma equação em que a e b são números reais. Assim, supondo X que é a variável independente e Y que é a variável dependente, vamos determinar o ajustamento de uma equação de reta, que é a relação entre esses dados. Os valores de a e de b são dados por:

Assim, temos a reta de regressão para o exemplo estudado como: Y = 0,013x - 1,25. Para traçar a reta no plano formado pelos eixos X e Y, basta atribuir, pelo menos, dois valores para X e calcular os correspondentes valores de Y, pois, por dois pontos passa uma, e apenas uma reta.

REFLITA

Observe como a regressão linear está presente em análises que fazemos no nosso cotidiano. Fonte: Os autores.

Mas, qual o significado dessa equação? Com relação às oito filiais estudadas, podemos predizer as vendas de uma filial (Y) a partir de um dado gasto com propaganda (X), fazendo uso da equação . Por exemplo, para um gasto com propaganda de X = R$ 2000, temos uma estimativa para as vendas de (em R$ 1000). Observe que quando não se gasta com propaganda (X=0), prevemos uma queda nas vendas de US$1,25 (US$1000).

Vimos que, se verificarmos a existência da correlação entre duas variáveis, X e Y, podemos determinar uma equação linear, que expressa Y em função de X e que essa equação nos permite o cálculo de Y, conhecido o X. Temos que ter em mente que um valor previsto para Y não será necessariamente um resultado exato, pois além do valor da variável X, existem outras variáveis que não foram incluídas no estudo e essas podem afetar o resultado final. O coeficiente de determinação (r² ) é o quadrado do coeficiente de correlação, ou seja, [Coeficiente de determinação = (coeficiente de correlação)² ] é uma medida descritiva da proporção da variação de Y que pode ser explicada por X, segundo o modelo especificado. No exemplo em que estudamos a relação linear dinheiro gasto em propaganda e as vendas das lojas Canção, obtemos um coeficiente de correlação de r = 0,9899. Então, r2 = 0,9799 ou 97,99% e a interpretação desse coeficiente de determinação é que dentre as filiais estudadas, 97,99% da variação nas vendas dessas filiais são explicadas pela variação nos gastos com propaganda. Os 2,01% (1 - 0,9799 ou 100-97,99) restantes são inexplicáveis e se devem ao acaso ou a outras variáveis.

Começamos nossos estudos com uma variável de interesse e estudamos na Unidade I as medidas de tendência central, de dispersão, de assimetria e curtose. Nessa unidade, com duas ou mais variáveis, além destas medidas individuais, também é de interesse conhecer se elas têm algum relacionamento entre si, e se valores altos (baixos) de uma das variáveis implicam em valores altos (ou baixos) da outra variável. Na Unidade III estudamos o relacionamento entre duas variáveis por meio de regressão linear simples. Vimos que a regressão e a correlação tratam apenas do relacionamento do tipo linear entre duas variáveis e que a análise de correlação entre essas variáveis fornece-nos um número que resume o grau de relacionamento linear entre as duas variáveis em estudo. Já a análise de regressão fornece uma equação a qual descreve o comportamento de uma das variáveis em função do comportamento da outra variável.

SAIBA MAIS

Existem diversos estudos tentando encontrar ao menos uma correlação entre algumas variáveis. Pessoas inteligentes comem muito chocolate Comem chocolate, ficam inteligentes e ganham prêmios. Parece bobagem, mas existe uma relação entre o consumo de chocolate e os países onde vivem os vencedores do Prêmio Nobel. E quem fez essa comparação realmente não tinha mais nada para fazer. O cardiologista Franz Messerli estava deitado em um quarto de hotel quando parou para pensar sobre um estudo que mostrava como o flavonoide do cacau pode aprimorar nossas habilidades cognitivas. Aí ele começou a analisar se os países de onde mais saíam vencedores do Prêmio Nobel consumiam muito chocolate. E concluiu: quanto maior o consumo de chocolate per capita (kg/habitantes) de um país, maior o número de gênios premiados com o Nobel, a cada 10 milhões de pessoas.

Os suíços, por exemplo, que somam quase 8 milhões de pessoas, já levaram 29 premiações e comem chocolate para caramba – cada habitante come quase 10 quilos do doce por ano. A Suécia e Alemanha também. Seguindo a média encontrada pela pesquisa, para ganhar mais um Nobel, qualquer país precisa aumentar em 400 gramas o consumo anual de chocolate. Bobeira? Total. Até o pesquisador sabe: ninguém vai ganhar um Nobel depois de se entupir de chocolate. Mas se esse pessoal inteligente curtia uma barra de chocolate, por que não seguir o exemplo? Fonte: CASTRO, C. Pessoas inteligentes comem muito chocolate. Super Interessante. 21 dez. 2016. Disponível em: . Acesso em: 14 fev. 2018.

SAIBA MAIS

 “Ganhar um Oscar aumenta a expectativa de vida!” É o que afirma Hanet et al. da Universidade de Princeton. O artigo está disponível em: . Acesso em: 18 fev. 2018. Neste nosso estudo vimos a importância da correlação e regressão linear.

Estudamos a força da relação de duas variáveis (x e y) por meio da correlação linear.

Vimos que, para estudar a correlação linear, seu principal objetivo é avaliar a existência ou não de relação entres essas variáveis, quantificando a força dessa relação por meio da correlação, ou explicando a forma dessa relação por meio da regressão. As correlações podem ser Positivas, quando o aumento de uma variável corresponde ao aumento da outra; Negativas, quando o aumento de uma variável corresponde à diminuição da outra; Lineares, quando é possível ajustar uma reta, que podem ser fortes (quanto mais próximas da reta) ou fracas (quanto menos próximas da reta), e ainda Não Lineares, quando não é possível ajustar uma reta. Após estabelecida uma relação linear e uma boa correlação entre as variáveis, deve-se, agora, determinar uma fórmula matemática para se fazer predições de uma das variáveis por meio da outra, e a essa técnica damos o nome de Análise de Regressão.

INDICAÇÃO DE LEITURA

Nome do livro: Estatística Aplicada

Editora: Pearson

Autor: Ron Larson, Betsy Farber

ISBN: 9788543004778

Esse livro traz itens essenciais à estatística tais como probabilidades, correlação e regressão linear e teste de hipóteses, além de contar com resolução de exercícios.

INDICAÇÃO DE LEITURA

Nome do livro: Estatística Teoria e Aplicações

Editora: LTC

Autor: David M. Levine, David F. Stephan, Kathryn A. Szabat

Ano: 2016 – 7 ed.

ISBN: 978-85-216-3067-8

Este livro apresenta a utilização da teoria estatística com aplicação do Microsoft Excel. É uma obra essencial para aqueles que buscam a pesquisa e a análise, pois mostra ferramentas, conceitos e dados práticos em sua abordagem. Traz inúmeros exercícios, resolvidos por formas algébricas e pelo Excel.

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