MÉTODOS QUANTITATIVOS MATEMÁTICOS 4

CONTINUAÇÃO

• Mara, Raphael e Luiza fizerem um mesmo percurso de três formas diferentes: de bicicleta, de calhambeque e de carro veloz. Mara, de bicicleta, fez esse percurso com uma velocidade média de 15 km/h e gastou 120 minutos (2h). Em seu Calhambeque, Raphael fez o mesmo percurso com uma velocidade média de 30 km/h e gastou 60 minutos (1h). Já a Luiza, em seu carro novo, andou a uma velocidade média de 90 km/h e gastou 20 minutos.

Observe que quem gastou mais tempo foi Mara, em seu veículo de velocidade menor. Além disso, pode-se perceber que a velocidade e o tempo não são grandezas diretamente proporcionais, pois a velocidade dobrou (15 para 30) e o tempo não dobrou (120 para 60).

Agora, vamos analisar o quadro a seguir, com os valores dessa situação envolvendo duas grandezas: velocidade (em km/h) e tempo (em min).

            Figura 2 - Tabela 2 – Tabela velocidade x tempo de um mesmo percurso

Note que na primeira coluna da tabela, quando a velocidade dobra (15 para 30) o tempo, representado na segunda coluna, se reduz pela metade (120 para 60). Depois, a velocidade de 30 km/h passa para 90 km/h, ou seja, a velocidade triplicou. E o tempo? Nesse caso o tempo reduziu a terça parte (60 para 20). Assim, dobrando a velocidade, o tempo reduz-se à metade. Multiplicando a velocidade por 3, o tempo fica dividido por 3.

Multiplicando a velocidade por 6, o tempo fica dividido por 6.

Grandezas que se relacionam desse modo são inversamente proporcionais. Essa é uma situação de proporcionalidade inversa. Dizemos que velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais.

Desta forma, podemos concluir que:

• Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento (ou diminuição) de uma corresponde a uma diminuição (ou aumento) da outra, na razão inversa;

• Quando duas grandezas A e B são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na razão inversa, ou seja, existe uma constante k tal que: .

Na situação apresentada no início desta seção (leitura do livro), para encontrar o coeficiente de

proporcionalidade, devemos multiplicar os valores das grandezas que se correspondem, ou seja, o produto entre 8 e 12, 16 e 6 vai ser o mesmo. Confira: 8 x 12 = 96; 16 x 6 = 96. Logo, k = 96.

Vamos utilizar o mesmo raciocínio no exemplo do percurso percorrido por Mara, Raphael e Luiza para encontrar o coeficiente de proporcionalidade. Assim, basta multiplicar os valores das grandezas correspondentes. O produto vai ser sempre o mesmo. Veja: 15 x 120 = 1800; 30 x 60 = 1800 e 90 x 20 = 1800. Logo, k = 1800.

Dividir é uma tarefa quase sempre não muito agradável para a maioria das pessoas. Contudo, no próximo tópico, você aprenderá uma divisão muito interessante que pode ser aplicada em diversas situações.

Dividindo números proporcionalmente

Agora, vamos estudar a divisão proporcional de números. Veja a seguinte situação.

• Inês e Monica receberam uma herança no valor de R$4.000.000,00 de uma tia milionária, que estabeleceu que a divisão fosse feita de forma diretamente proporcional às idades das sobrinhas na época de seu falecimento. Sabendo que Inês e Monica tinham, respectivamente, 19 e 21 anos, determine a quantia que cada uma recebeu de herança.

Para resolver o problema apresentado, precisamos entender como dividir números em partes proporcionais.

Vamos iniciar escrevendo uma proporção em que as partes procuradas, x e y, devem ser diretamente proporcionais à idade de cada sobrinha, ou seja, x e y devem ser diretamente proporcionais a 19 e 21. Deste modo, começamos dividindo a herança de R$4.000.000,00 em partes diretamente proporcionais a 19 e 21.

Agora vamos escrever a proporção: e encontrar os valores de x e y. Veja:

• , aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos x = 1.900.000

• , aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos y = 2.100.000

Portanto, Inês recebeu R$1.900.000,00 de herança e Monica recebeu R$2.100.000,00 de herança.

FIQUE ATENTO

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As quantias investidas são diretamente proporcionais às partes no lucro ou no prejuízo.

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Em seguida, analisaremos outra situação para entendermos melhor o assunto. Veja.

• Três irmãos, Raphael, Renan e Magda, resolveram fazer uma sociedade abrindo uma empresa de calçados. Cada um entrou com os respectivos capitais: R$35.000, R$10.000,00 e R$30.000,00. Após um ano de sociedade, esta empresa obteve um lucro de R$15.000,00. Calcule o valor que cada irmão recebeu de lucro.

Vamos começar dividindo o lucro de R$15.000,00 em partes diretamente proporcionais a R$35.000,00, R$10.000,00 e R$30.000,00. Para facilitar, vamos usar a forma simplificada de escrever esses valores. Veja: 15, 35, 10 e 30 mil.

Agora podemos escrever a proporção: e encontrar os valores de x, y e z. Veja:

• , aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos x = 7

• , aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos y = 2

• , aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos z = 6

Portanto, Raphael ficou com 7 mil reais do lucro, Renan ficou com 2 mil reais do lucro e Magda ficou com 6 mil reais do lucro.

Problemas como os apresentados anteriormente fazem parte do nosso cotidiano e muitas vezes temos dúvidas ou simplesmente não sabemos como resolvê-los. A Matemática nos ajuda em quase tudo na vida. Por isso é tão importante estudar os conceitos apresentados para que você seja capaz de utilizar os conhecimentos adquiridos nas mais variadas situações. Desde as mais simples, como dividir proporcionalmente certas quantidades de prêmios em escolas, empresas, festas, como as mais sofisticadas, como lucro ou prejuízo em sociedades ou divisão de bens.

Fechamento

Nesta aula estudamos as grandeza. Aprendemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando o valor de uma grandeza dobra, triplica ou fica a metade e o valor de outra grandeza também dobra, triplica ou fica a metade, e assim por diante. E são inversamente proporcionais quando o aumento (ou diminuição) de uma corresponde uma diminuição (ou aumento) da outra, na razão inversa.

Nesta aula, você teve a oportunidade de:

• Resolver questões de grandezas diretamente proporcionais em situações-problema.

• Resolver questões de grandezas inversamente proporcionais em situações-problema.

Referências

DANTE, L. R. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.

IEZZI, G. Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.

SOUZA, P. de S. Matemática Financeira no Ensino Básico no Município de Montanha. Dissertação de Mestrado. Universidade Federal do Espírito Santo, São Mateus, 2011.

13 - Regra de três simples

Introdução

Na Matemática, utilizamos algumas técnicas ou processos que facilitam a resolução de problemas. Nessa aula vamos aprender a resolver problemas que envolvem proporcionalidade entre grandezas utilizando o recurso chamado regra de três.

Entendendo regra de três simples

Para resolver um problema que envolve proporcionalidade utilizando regra de três, vamos começar analisando a seguinte situação:

••Em três minutos, uma torneira despeja 4 litros de água em um tanque. Se o tanque leva 5 horas para ficar cheio, qual é a capacidade desse tanque?

Vamos resolver a questão descrita de duas formas.

1ª) Montamos uma proporção e descobrimos o valor desconhecido, chamado de x, utilizando a propriedade fundamental da proporção. Veja que as grandezas envolvidas são tempo (minuto) e capacidade (litro).

FIQUE ATENTO

_____________________________________________________________________________

É preciso colocar as grandezas na mesma unidade.

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Assim, vamos transformar 5 horas em minutos. Como 1 hora = 60 minutos, temos que 5 horas = 300 minutos.

Quanto mais tempo, mais volume de água despejada no tanque, logo, as grandezas tempo e capacidade são grandezas diretamente proporcionais, e as razões e são razões equivalentes. Assim, podemos escrever a seguinte proporção:

Tempo (min) Capacidade (l)

Aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos:

Logo, 400 é a solução da proporção apresentada anteriormente e a solução da situação-problema. Portanto, a capacidade do tanque é de 400 litros.

2ª) Em nossa segunda resolução, podemos construir uma tabela em que as grandezas de mesma espécie são dispostas em colunas e as grandezas de espécies diferentes são mantidas na mesma linha. Depois, é só montar a proporção e resolver a equação encontrada.

                                Figura 1 - Tabela 1 – Relação entre tempo e capacidade

3x = 4.300   3x = 1200    x = 1200 : 3   x = 400

Repare que encontramos a mesma proporção apresentada anteriormente. O resultado é o mesmo, certo? x = 400, ou seja, a capacidade do tanque é de 400 litros.

Como as relações entre grandezas podem ser diretamente ou inversamente proporcionais, vamos estudar como aplicar a regra de três nesses dois casos. Confira!

Aplicando regra de três simples em situações que envolvam grandezas diretamente proporcionais

• Uma empreiteira utiliza canos de ferro com 6 metros de comprimento e peso igual a 10kg. Sabendo que a empreiteira precisa aumentar o comprimento desses canos para um trabalho específico, vamos ajudá-la a calcular qual o peso que esse mesmo tipo de cano de ferro deveria ter se tivesse 9 metros de comprimento.

Veja que esta é uma situação de proporcionalidade direta, já que, dobrando o comprimento do cano, o peso dobra, triplicando o comprimento, o peso triplica e assim por diante.

Agora vamos utilizar o método da construção de uma tabela e, a partir dela, escrever uma proporção que permite o cálculo do valor procurado.

                            Figura 2 - Tabela 2 – Relação entre comprimento e peso

Para montar a proporção, analisamos a relação entre as grandezas e colocamos uma seta ao lado de cada coluna.

Como as grandezas são diretamente proporcionais, as setas ficam no mesmo sentido, mostrando como a proporção deve ser montada. Veja: (no sentido da seta). Assim, aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos a equação: . Desse modo, para canos de ferro do mesmo tipo, com 9 metros de comprimento, o peso será de 15kg.

FIQUE ATENTO

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Ao resolver problemas que utilizam regra de três simples, usamos setas no mesmo sentido quando as grandezas forem diretamente proporcionais para informar como a proporção deve ser apresentada.

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A seguir, estudaremos casos em que utilizamos a regra de três simples na resolução de problemas que envolvam grandezas inversamente proporcionais.

Aplicando regra de três simples em situações que envolvam grandezas inversamente proporcionais

Veja o exemplo a seguir:

• Renan precisa, para sua festa, de 7 litros de refrigerante. Se comprar latas de refrigerante de 350 ml, ele vai precisar de 20 latas para sua festa. Quantas latas Renan deve comprar se escolher latas de 500 ml?

Observe a tabela que traduz a situação descrita.

        Figura 3 - Tabela 3 – Relação entre capacidade e número de latas de refrigerante

As grandezas envolvidas, capacidade (ml) e quantidade de latas são inversamente proporcionais, já que, aumentando a capacidade de cada lata, diminuímos a quantidade de latas de refrigerante que é preciso comprar.

Para poder montar essa proporção, devemos nos lembrar de analisar o sentido das setas, que, nesse caso, ficam em sentidos opostos. Assim, temos a seguinte proporção: . Lembra como resolvemos? Basta usar a propriedade fundamental da proporção, não é mesmo? Dessa forma, encontramos a equação:

Resolvendo então, temos:

Portanto, se Renan escolher latas de 500 ml, deverá comprar 14 latas de refrigerante.

Internet

Se comprar latinhas de refrigerante de 350ml Renato vai precisar de 20 latinhas para sua festa. Quantas latinhas ele deve comprar se escolher latinhas de 500ml e quiser manter o mesmo número de litros

350 × 20 = 7000
Então ele necessita de 7 litros ( 7000 ml ).
7000 ÷ 500 = 14
Se deseja manter a quantidade precisará de 14 latinhas de 500ml.

Que tal treinar um pouco mais resolvendo os exercícios a seguir?

1) Um grupo de funcionários, trabalhando 8 horas por dia, concluiu uma determinada tarefa em 20 dias. Qual o tempo que esse grupo de funcionários levará se a jornada de trabalho passar para 5 horas diárias?

Internet

uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o numero de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?

Grandezas inversamente proporcionais: ( Regra de Três Simples)
8/5 = x/20
5x=160
x=160/5
x= 32  dias

Nota-se que se diminuir o tempo, irá aumentar os dias, trata-se de uma regra de três inversamente proporcional.

horas          dias

 8                20.

 5                x

-                  +  

5x=20.8

x=160/5

x=32 dias

2) Marília leva 48 minutos com seu carro, a uma velocidade de 80 km/h, para ir da cidade X para a cidade Y. Quanto tempo ela levaria para traçar o mesmo percurso, se mantivesse uma velocidade de 60 km/h?

Internet

Para fazer um certo percurso à velocidade de 80 km/h, um automóvel leva 20 min. Quanto tempo levará para fazer o mesmo percurso à velocidade de 100 km/h

É só fazer uma regra de três simples:

80km/h ---------- 20 min

100km/h --------- x

Note que conforme a velocidade aumenta, o tempo diminui. Porque trata-se de uma relação de velocidade e tempo. Portanto, são inversamente proporcionais.

Então podemos multiplicar 80 por 20 e 100 por x. Observe:

100x = 80×20

100x = 1600

x = 1600 / 100

x = 16 minutos.

Resposta: 16 minutos

3) Uma costureira utiliza 24 metros de tecido para fazer 16 calças. Quantos metros ela gastaria se fosse costurar 10 calças?

Internet

Para fazer 16 calças gastamos 24 metros de tecido quando gastamos pra fazer 10 calças ?

É só fazer uma regra de três.

16 está para 24 assim como
10 está para x.
(multiplica cruzado)
---------------
16x = 10 x 24
16x = 240
x = 240/16
x = 15 metros de tecido

Se uma costureira faz 16 calças com 24 metros de tecido quantos metros ela usa para fazer 20 calças?

24m para 16 calças, ela usa 1,5 para cada calça, aí é só multiplicar 1,5×20=30, ela usa 30 m de tecido pra fazer 20 calças! Espero ter ajudado!!

podemos resolver assim:

dividimos quanto ela gasta pelo número de calças que ela fez ou seja 24÷16=1,5. sabemos então que ela gasta 1,5m de tecido por calça para saber de 20 calças é só multiplicar 1,5 por 20 que da 30. então ela gasta 30m

4) Determine quanto tempo uma torneira leva para encher um reservatório com capacidade máxima de 18 litros, se ela despeja em 8 minutos 25 litros de água?

Uma torneira despeja 25 litros de agua em 5 min. Quanto tempo levará para encher um tanque de 360 litros?

360litros/25litros=14,4
14,4*5=72minutos.

25 litros    -----------  5 min
360 litros  ----------- x min

25x = 1800
x = 1800/25
x = 72

Resposta: 72 minutos.

Regra de três , uma torneira despeja 20 litros de água em 8 minutos . quanto tempo esta torneira levará para encher um reservatório de 15 litros ??

20/8=15/x
20x=120
x=120/20
x=6 minutos

20 L ----------- 8 minutos
15 L ----------- x minutos

20 x = 15 * 8

20 x = 120

x = 

x = 6 minutos

Fechamento

Neste aula estudamos que, para calcular usando a regra de três simples, podemos montar uma proporção ou elaborar uma tabela e analisar as grandezas. Em ambos os casos, é preciso montar a proporção, aplicando sua propriedade fundamental, para encontrar uma equação e resolvê-la. Vimos também que n as situações em que as grandezas são diretamente proporcionais, basta montar uma tabela, escrever setas ao lado de cada coluna no mesmo sentido e montar a proporção, mantendo o sentido dessas setas. Depois, é só resolver a proporção encontrada. E, nas situações em que as grandezas são inversamente proporcionais, basta montar uma tabela, escrever setas ao lado de cada coluna no sentido oposto e montar a proporção, mantendo o sentido dessas setas.

Depois, é só resolver a proporção encontrada.

Nesta aula, você teve a oportunidade de:

• Resolver exercícios que envolvam proporções diretamente e inversamente proporcionais

Referências

CENTURIÒN, M., JAKUBOVIC, J.; LELLIS, M. Matemática na medida certa. 3. ed. São Paulo: Scipione, 2003.

DANTE, L. R. Tudo é Matemática. São Paulo: Editora Ática, 2009.

MORI, I.; ONAGA, D. S. Matemática: idéias e desafios. 14. ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2007.

SPINELLI, W.; SOUZA, M. H. Matemática. 1. ed. São Paulo: Editora Ática, 2001.

14 - Regra de três composta

Introdução

A regra de três pode ser simples ou composta. Quando há a presença de duas ou mais grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, utilizamos a regra de três composta. Esse é o tema desta aula.

Entendendo regra de três composta

Os problemas em que utilizamos a regra de três composta na sua solução devem envolver mais de duas grandezas dos mais variados tipos, desde que tomadas duas a duas e sejam diretamente ou inversamente proporcionais. Vamos analisar o problema a seguir para compreender melhor.

• Na empresa de Pedro, decidiu-se fazer uma reforma. Alguns setores serão pintados e, para isso, sua equipe precisa calcular a quantidade de latas de tinta que deverão ser compradas. Sabendo que, para pintar o setor de recursos humanos, que possui uma parede com 12 metros de comprimento e 3 metros de altura, serão gastas 4 latas de tinta, quantas latas deverão ser compradas para pintar o setor de vendas, em que a parede mede 18 metros de comprimento com 5 metros de altura?

Primeiro, vamos montar uma tabela da mesma forma da regra de três simples: colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondam.

 Figura 1 - Tabela 1 – Relação entre a quantidade de latas de tinta, comprimento e altura

Agora, vamos analisar se a grandeza do termo desconhecido (x) é diretamente ou inversamente proporcional às demais grandezas, considerando que a grandeza não envolvida é constante. Primeiro, colocamos setas para cima ou para baixo. A primeira seta, para baixo, fica na coluna que tem o valor desconhecido x. Veja:

                              Figura 2 - Tabela 2 – Análise das grandezas

1) As grandezas quantidade de tinta e comprimento da parede são diretamente proporcionais, uma vez que, quanto maior for o comprimento da parede, mais tinta será gasta para pintá-la. Logo, a seta será para baixo também; 2) As grandezas quantidade de tinta e altura da parede são diretamente proporcionais, uma vez que, quanto maior for a altura da parede, mais tinta será gasta para pintá-la. Seta para baixo; 3) Observe que as grandezas analisadas (comprimento e altura) são diretamente proporcionais à grandeza quantidade de tinta (grandeza com o termo desconhecido).

Para montar a proporção a partir da tabela dada, devemos escrever a razão que contém o termo desconhecido (x) e igualar com o produto das outras duas razões de acordo com o sentido das setas. Veja:

Assim, podemos aplicar a propriedade fundamental da proporção. Observe:

Portanto, deverão ser compradas 10 latas de tintas.

Agora vamos resolver outro exemplo:

• Em uma determinada obra, 2 pedreiros levam 9 dias para levantar uma parede de 2 metros de altura. Calcule o tempo que seria necessário para levantar uma parede com 4 metros de altura se tivéssemos 3 pedreiros trabalhando.

       Figura 3 - Tabela 3 – Relação entre tempo e quantidade de pedreiros

Analisando o comportamento das grandezas:

Se diminuirmos a quantidade de pedreiros, o tempo gasto para construir essa parede aumenta. Logo, as grandezas pedreiros e tempo são inversamente proporcionais. Se aumentarmos o tempo gasto, a altura da parede também aumenta, logo, tempo e altura são diretamente proporcionais.

Assim:

Aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos:

Portanto, 3 pedreiros levarão 12 dias para levantar uma parede com 4 metros.

FIQUE ATENTO

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Ao resolver problemas que utilizam regra de três composta, analisamos as grandezas sempre tomando duas a duas. Depois, utilizamos o mesmo recurso da regra de três simples. Se as grandezas forem diretamente proporcionais, as setas ficam no mesmo sentido. Se as grandezas forem inversamente proporcionais, as setas ficam em sentidos opostos, mostrando, assim, como as proporções devem ser apresentadas.

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A regra de três é muito utilizada em diversas situações, como puderam constatar. É mais um recurso que a Matemática disponibiliza na resolução de situações-problema. Cabe a você, aluno, escolher qual deles irá usar no dia a dia.

Resolva os exercícios e verifique se compreendeu o conteúdo estudado.

1) Em uma determinada obra, o caminhão de Antônio carregava areia e estava com sua capacidade máxima. Se, em 9 horas, 15 caminhões iguais ao de Antônio descarregam 180m³ de areia, quantos caminhões serão necessários para descarregar 120m³ em 4 horas?

Internet

Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m³?

Caminhão / Horas / m³ de areia

      20           8         160

       x            5         125

Comparando:

MENOS horas, MAIS caminhão --->inversas---> 5/8

MENOS areia, MENOS caminhão-->diretas----> 160/125=32/25

20/x = 5/8 . 32/25

20/x = 160/200 (simplificando)

20/x = 4/5 

4x = 100 ---> x= 25 caminhões

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m³?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Horas	Caminhões	Volume
8	20	160
5	x	125

Identificação dos tipos de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que, aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto, a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação, temos:

Logo, serão necessários 25 caminhões.

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2) Em uma fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?

Solução: montando a tabela:

Homens	Carrinhos	Dias
8	20	5
4	x	16

Observe que, aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).

Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.

Montando a proporção e resolvendo a equação, temos:

Logo, serão montados 32 carrinhos.

---

3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostrado abaixo:

Montando a proporção e resolvendo a equação, temos:

Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.

---

Exercícios complementares

Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:

1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas?

3t  1pc  10h
10t  2pc  xh

10/x = 1/2 * 10/3
1*10*x = 10*2*3, corta o 10 nos dois lados, fica:
x = 2*3
x = 6 horas

                                  
Resposta: 6 horas.

 Torneiras                          Piscinas                 Horas

      3                                       1                          10

    10                                       2                           x

================================================

Comparando as torneiras com as piscinas.

Mais torneiras menos horas (Inversamente proporcional)

Mais piscinas mais horas (Diretamente proporcional)

===============================================

10      1      10

----  . ---- = ----

 3       2       x

========================

10     10

---- = ----

 6       x

===============

10x = 60

   x = 60/10

   x = 6 horas

Exercício envolvendo regra de três.

 3 Torneiras ⇨  1 Piscina ⇨ 10 Horas

10 Torneiras ⇨ 2 Piscinas ⇨ x Horas

Analisando as grandezas :

Se 3 torneiras enchem em 10 horas , 10 torneiras encherão em menos tempo , pois quanto mais torneiras tiver , menos tempo gastará para encher, portanto as grandezas são inversamente proporcionais.

Se 1 piscina enche em 10 horas , 2 piscinas logicamente precisará de mais tempo para serem enchidas  , portanto as grandezas são diretamente proporcionais.

10/x = 10/3 * 1/2

10/x = 10/6

10 * x = 10 * 6

10x = 60

x = 60/10

x = 6

Portanto , 10 torneiras encherão 2 piscinas em 6 horas.

2) uma equipe composta de 15 homens extrai em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?

15h 30d 3,6t

20h  xd  5,6t

30/x = 3,6/5,6 * 20/15

3,6*20*x = 30*5,6*15

72x = 2520

x = 2520/72

x = 35 dias

2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?   Resposta: 35 dias.

HOMENS |  DIAS |  TONELADAS DE CARVÃO

   15         |  30     |      3,6

    20        |  x       |      5,6

Se eu aumento o número de dias, eu aumento as toneladas de carvão. (mesmo sentido da fração).

se eu aumento o número de dias, eu diminuo a quantidade de homens trabalhando.(inverte o sentido  da fração) .

Exercício envolvendo regra de três.

15 Homens ⇨  30 Dias ⇨ 3,6 Toneladas

20 Homens ⇨  x  Dias ⇨ 5,6 Tonelada

Analisando as grandezas :

Se 15 homens extraem em 30 dias , 20 homens extrairão em menos dias , pois quanto maior for o número de homens ,menor será o número de dias, portanto as grandezas são inversamente proporcionais.

Se em 30 dias é extraído 3,6 toneladas , para extrair 5,6 toneladas precisará de mais dias , pois quanto mais carvão for extraído , mais dias precisará , portanto as grandezas são diretamente proporcionai

30/x = 20/15 * 3,6/5,6

30/x = 72/84

72 * x = 84 * 30

72x = 2520

x = 252

Portanto , 20 homens conseguirão extrair 5,6 toneladas em 35 dias.

1- precisa-se saber quantas toneladas 20 homens conseguem extrair em 30 dias pela regra de 3:

15 homens = 3,6 toneladas

20 homens = x toneladas

15x = 20 . 3,6

15x = 72

 x = 72/15

 x = 4,8

 2- Agora vamos ver em quantos dias eles conseguem extrair 5,6 toneladas de carvão:

 30 dias = 4,8 toneladas

x    dias = 5,6 toneladas

4,8x = 30 . 5,6

4,8x = 168

x = 168/4,8

x = 35

RESOLUÇÃO: 20 homens conseguem extrair em 35 dias 5,6 toneladas de carvão

Resolução:

Regra de três composta:

Homens x dias  →  ton carvão

15 . 30  →  3,6

20 . X   →  5,6

3,6 . 20. X = 15 . 30 . 5,6

X = 2520 / 72

X = 35

Resposta: Para extrair 5,6 toneladas de carvão com 20 homens serão necessários 35 dias.

3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro        de                            225m?                                                                                                                                                  
Resposta: 15 dias.

3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?

20 operários -- 8h/d -- 18 dias -- 300 metros 

16 operários    -- 9h/d -- * dias --- 225 metros... 

Relacione as colunas: 

1ª Quanto mais operários menos dias serão necessários ===> grandezas INVERSAMENTE proporcionais.

2ª Quanto mais horas por dia menos dias serão necessários ===> grandezas INVERSAMENTE proporcionais.... 

3ª Quanto mais metros serão construídos  mais  dias serão necessários , grandezas DIRETAMENTE proporcionais... 

Fica assim então:

16op -- 9h/d -- 18 dias -- 300m 

20op -- 8h/d -- x dias ---- 225m 

x/18 = 20/16* 8/9 * 225/300

x = 20 * 8 * 225 * 18 / 16 * 9 * 300 

x = 648.000/43.200 

x = 15 dias

eles demorariam 15 dias

operários         horas           dias           m

20                       8                   18            300

16                        9                     x             225

x=18.225.8.20 \ 300.9.16

x=64000 \  43200

x=15

Exercício envolvendo regra de três.

20 Operários ⇨ 8 Horas ⇨ 18 Dias ⇨ 300 Metros

 16 Operários ⇨ 9 Horas ⇨ x Dias ⇨ 225 Metros

Analisando as grandezas :

Se 300 metros de muro é feito em 18 dias , para se fazer 225 metros , levará menos tempo, portanto as grandezas são diretamente proporcionais.

Se trabalhando 8 horas por dia , o muro é feito em 18 dias , trabalhando 9 horas por dia o muro será construído mais rápido , portanto as grandezas são inversamente proporcionais.

Se 20 operários fazem o muro em 18 dias , 16 operários precisarão de mais tempo para fazer , portanto as grandezas são inversamente proporcionais.

18/x = 300/225 * 9/8 * 16/20

18/x = 2700/1800 * 16/20

18/x = 43200/36000

43200 * x = 18 * 36000

43200x = 648000

x = 648000/43200

x = 15

Portanto , 16 operários , trabalhando 9 horas por dia , constroem um muro de 225 metros em 15 dias.

4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de  60    km/h?                                                                                                                                  
Resposta: 10 horas por dia.

0 dias -    8 h      -  50 km/h
20 dias -     x        -  60 km/h
   (I)                            (I)

8/x = 20/30 * 60/50
8/x = 12/15
12x = 120
x = 120/12
x = 10 horas por dia.

(vamos adotar que esse um mês equivale a trinta dias) 

Dias       horas      velocidade média 

 30            8                      50 km/h

 20            x                      60 km/h

Inicialmente precisamos repassar a coluna com a incógnita para o começo, os demais valores serão invertidos porque eles são inversamente proporcionais, ou seja, os dias diminuirão e consequentemente as horas vão aumentar, pois levará mais tempo para fazer o mesmo serviço.  A mesma regra com a velocidade, ela aumentou e as horas vão diminuir. 

8/ x= 20/30 X 60/50 

8/x= 1200/1500 

1200x= 12.000

x= 12.000/1200

x= 10 horas 

Exercício envolvendo regra de três .

Sabemos que 1 mês é 30 dias .

30 Dias ⇨ 8 Horas/Dia ⇨ 50Km/Hora

20 Dias ⇨ x Horas/Dia ⇨ 60Km/Hora

Analisando as grandezas :

Se viajando 8 horas por dia ele entrega em 30 dias , para entregar em 20 dias ele terá que viajar por mais horas por dia , portanto as grandezas são inversamente proporcionais.

Se ele percorrendo a 50 km/h  consegue viajar 8 horas por dia , se ele percorrer a 60km/h irá precisar viajar por menos tempo, portanto as grandezas são inversamente proporcionais.

8/x = 20/30 * 60/50

8/x = 1200/1500

1200 * x = 1500 * 8

1200x = 14400

x = 12000/1200

x = 10

Portanto a uma velocidade média de 60 km/h ele viajará 10 horas por dia durante 20 dias.

5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos?                                                                     
Resposta: 2025 metros.

tamanho           largura            tempo

 5400m              90cm              50min

    x                    120                 25min

*se a largura aumenta o tamanho diminui, logo é tamanho e largura são inversamente proporcional.

5400/x = 90/120    

(em caso de inversamente a multiplicação é numerador com numerador e denominador com denominador, ficando )

120x = 5400 . 90

     x = 3. 1350

     x = 4050 ( esse valor é em 50min de produção, como é só 25 min, divide-se por 2 ficando 2025)

Seriam produzidos 2025 metros de tecidos com 120 cm de largura em 25 minutos.

Explicação passo-a-passo:

produção (m) | largura | tempo

5400               |  90cm   |  50 min

   X                   | 120cm   |  25min

Agora verificar a proporcionalidade das grandezas em relação à coluna que tem o valor desconhecido (X):

A largura da fita é inversamente proporcional à quantidade produzida, pois se eu aumentar a largura, a quantidade produzida diminui. Então eu coloco 120 em cima do 90.

O tempo é diretamente proporcional pois se diminuir o tempo, a quantidade produzida também diminuirá. Nesse caso, a grandeza permanece na mesma ordem. 50/25.

5400  = 120. 50

   X         90.25

5400 = 6000    

   X        2250

agora é só utilizar regra de 3.

6000X = 12.150.000

X = 12.150.000/6000

X = 2.025

tamanho           largura            tempo

 5400m              90cm              50min

    x                    120                 25min

*se a largura aumenta o tamanho diminui, logo é tamanho e largura são inversamente proporcional.

5400/x = 90/120    

(em caso de inversamente a multiplicação é numerador com numerador e denominador com denominador, ficando )

120x = 5400 . 90

     x = 3. 1350

     x = 4050 ( esse valor é em 50min de produção, como é só 25 min, divide-se por 2 ficando 2025)

Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m³?

Exercício envolvendo regra de três.

8 Horas ⇨ 20 Caminhões ⇨ 160 metros cúbicos

5 Horas ⇨  x  Caminhões ⇨ 125 metros cúbicos

Analisando as grandezas :

Se 20 caminhões fazem em 8 horas, para se fazer em 5 horas, precisará de mais caminhões, pois se quer fazer em menos tempo, terá que ter mais caminhões trabalhando, portanto as grandezas são inversamente proporcionais.

Se 20 caminhões descarregam 160 metros cúbicos de areia, para descarregar 125 metros cúbicos, precisará de menos caminhões, pois quanto menor for a quantidade de areia, menor será a quantidade de caminhões necessários, portanto as grandezas são diretamente proporcionais.

20/x = 5/8 * 160/125

20/x = 800/1000

800 * x = 20 * 1000

800x = 20000

x = 20000/800

x = 25

Portanto , será necessário 25 caminhões , para descarregar 125 metros cúbicos de areia em 5 horas.

Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m³?

        Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Horas	Caminhões	Volume
8	20	160
5	x	125

        Identificação dos tipos de relação:        Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

 A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.

Observe que:

Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

2) Marcos possui uma fábrica de skates. Sabendo-se que 10 empregados montam 30 skates em 5 dias, determine quantos skates podem ser montados em 15 dias por 5 homens.

Internet

Em uma fábrica de skate sobraram 275 rodas de uma produção realizada no mês anterior .Quantos skates igual ao da imagem podem ser montados por essa quantidade de rodas?

Tem uma imagem de um skate de 4 rodas

275 : 4 RODAS  = 68 SKATES
E SOBRAM  3 RODAS  *** RESPOSTA

3) Em uma fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?

Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montaram 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?

REGRA DE TRÊS SIMPLES

homens carrinhos   dias

   8             20            5

   4              x            16

 VERIFICAR  se  (DP) e (IP)

DP Diretamente Proporcional

AUMENTA um AUMENTA outro

DIMINUI um DIMINUI outro

IP = Indiretamente Proporcional

DIMINUI um AUMENTA outro

AUMENTA um DIMINUI outro

entre

homens e carrinhos

    8               20

    4                x  (DIMINUI homem DIMINUI carrinho) fique assim(DP)

entre 

carrinhos  e dias

     20             5

      x              16 AUMENTOU dias AUMENTA carrinho (fique assim) DP

NADA MUDA

homens carrinhos   dias

   8             20            5

   4              x            16

8     5      20

--x---- = ------

4    16      x

8x5        20

------- = ------

4x16      x

40       20

---- = ------  ( SÓ curzar)

64        x

40(x) = 20(64)

40x =1.280

x = 1.280/40

x =  32  ( carrinhos)

Exercício envolvendo regra de três.

8 Homens ⇨ 20 Carrinhos ⇨ 5 Dias

4 Homens ⇨  x  Carrinhos ⇨ 16 Dias

Analisando as grandezas :

Se 8 homens montam 20 carrinhos, 4 homens montarão menos carrinhos, pois quanto menor for o número de homens, menor será a quantidade de carrinhos montados, portanto as grandezas são diretamente proporcionais.

Se 20 carrinhos são montados em 5 dias, em 16 dias serão montados mais carrinhos, pois quanto maior for a quantidade de dias, maior será a quantidade de carrinhos, portanto as grandezas são diretamente proporcionais.

20/x = 8/4 * 5/16

20/x = 40/64

40 * x = 64 * 20

40x = 1280

x = 1280/40

x = 32

Portanto , serão montados 32 carrinhos por 4 homens em 16 dias.

Primeiramente vamos calcular para vermos quanto apenas um homem produz por dia.

8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias .

então:

20/5(carrinho dividido pela quantidade de dias levados para ficarem prontos) = 4 carinhos montados por dia.

4/8 (carrinhos dividido pela quantidade de pessoas)= 0,5 carinho montado por dia por uma unica pessoa.

então podemos chegar a conclusão de que 1 homem monta 1 carinho a cada dois dias. 

quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias ?

Vamos lá: 

1 homem monta 2 carinhos a cada 2 dias então, nesses 16 dias um homem montará 8 carinhos, pois:

16/2(quantidade de dias dividido pelo tempo para se produzir um carrinho)= 8 

sendo 8 carinhos por pessoa e um total de 4 pessoas.

8*4(quantidade de carrinhos produzido por pessoa nos 16 dias multiplicado pela quantidade de pessoas)= 32 carrinhos montados em 16 dias.

4) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

Fechamento

Nesta aula você aprendeu que a regra de três composta pode ser usada para resolver problemas que envolvam mais de duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, desde que tomadas duas a duas. Para montar a proporção, nesse caso, é preciso escrever a razão que contém o termo desconhecido (x) e igualar com o produto das outras duas razões de acordo com o sentido das setas.

Nesta aula, você teve a oportunidade de:

• resolver problemas que envolvam regra de três composta em situações de proporcionalidade direta e inversa.

Referências

CENTURIÒN, M., JAKUBOVIC, J.; LELLIS, M. Matemática na medida certa. 3. ed. São Paulo: Scipione, 2003.

DANTE, L. R. Tudo é Matemática. São Paulo: Editora Ática, 2009.

MORI, I.; ONAGA, D. S. Matemática: ideias e desafios. 14. ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2007.

SPINELLI, W.; SOUZA, M. H. Matemática. 1. ed. São Paulo: Editora Ática, 2001.

15 - Revendo os conteúdos estudados – razão e proporção e porcentagem

Introdução

Neste material, veremos situações-problema que envolvem alguns conceitos matemáticos já estudados, como: razão e proporção e porcentagem aplicada em diversos contextos. Ao rever esses conteúdos, você tem a possibilidade de verificar se está compreendendo e se realmente aprendeu o que estudou.

.

Aplicando razão e proporção em situações-problema

Para as situações a seguir, você deve rever os conceitos de razão e proporção, lembrando como se comportam as grandezas diretamente e inversamente proporcionais. Também, é muito importante estudar a propriedade fundamental da proporção. Ao resolver as atividades propostas, automaticamente você vai lembrando os conceitos, as fórmulas e as estratégias necessárias na sua resolução, não é mesmo? Então, veja:

•A empresa Vale Tudo precisou demitir três empregados, Péricles, Mauro e Leonardo. O total da verba rescisória que a empresa precisou dispor foi de R$ 36.000,00 repartida em partes diretamente

proporcionais ao número de meses trabalhados por cada empregado. Se cada funcionário trabalhou, respectivamente, 50, 70 e 60 meses, quanto cada um recebeu?

Resposta comentada

As partes recebidas por cada funcionário são chamadas de A, B e C. Devemos escrever uma proporção com as seguintes razões: . Aplicando a propriedade da soma e encontrando os valores de A, B e C, temos:

Portanto, Péricles recebeu R$ 10.000,00, Mauro recebeu R$ 14.000,00 e Leonardo recebeu R$ 12.000,00.

• A empresa Lucrativa distribui, anualmente, uma parte do seu lucro entre seus gerentes. Este ano

resolveu alterar a forma como esse lucro era repartido e publicou o seguinte: a PL (participação no lucro será repartida em partes inversamente proporcionais ao número de faltas que cada gerente obteve nos meses de maio, junho e julho. Essa empresa possui 5 gerentes A, B, C, D e E. Sabendo que a parte do lucro que seria repartida é de R$ 1.520.000,00, e que cada gerente faltou, respectivamente, 1, 2, 2, 3 e 5 dias, calcule quanto cada empregado recebeu de PL neste ano.

Resposta comentada

Como o lucro será repartido em partes inversamente proporcionais ao número de faltas, para resolver este problema, precisamos escrever uma proporção em que as partes procuradas, x, y, z, w e t devem ser diretamente proporcionais ao inverso da quantidade de faltas que cada gerente teve, ou seja, x, y, z, w e t devem ser diretamente proporcionais a .

Para montar a proporção, devemos escrever frações equivalentes (com mesmo denominador) às frações.

Observe que o mmc (1, 2, 3, 5) = 30. Assim, as frações equivalentes a são: . Escrevemos, então, a seguinte proporção: .

Agora vamos aplicar a propriedade da soma para encontrar o coeficiente de proporcionalidade e, assim, os valores procurados, x, y, z, w e t. Veja:

Encontrando x, y, z, w e t:

Portanto, o gerente A recebeu de PL R$ 600.000,00, o gerente B recebeu de PL R$ 300.000,00, o gerente C recebeu de PL R$ 300.000,00, o gerente D recebeu de PL R$ 200.000,00 e o gerente E recebeu de PL R$ 120.000,00.

Agora, alguns exercícios para você treinar um pouco.

1) Três amigos, Antonio, Marcio e Gilberto, fazem um bolão para jogar na Mega-Sena. Antonio entra com R$45,00, Marcio com R$ 90,00 e Gilberto com R$ 180,00. Se ganharem, o prêmio acumulado de 22 milhões e 50 mil reais será dividido em partes proporcionais às quantias jogadas. Vamos ajudar esses amigos a descobrirem quanto cada um receberia se fossem sorteados?

45,00+90,00+180,00 = 315,00    22.050.000.000,00: 315,00=70.000.000,00

70.000.000,00 x 45,00= 3.150.000.000,00   70.000.000,00 x 90,00= 6.300.000.000,00

70.000.000,00 x 180,00= 12.600.000.000,00

2) Um pai e um filho montaram uma sociedade. Cada uma investiu, inicialmente, as seguintes quantias: o filho investiu R$ 25.000,00 e o pai investiu R$ 45.000,00. Para ajudar o filho, ficou acordado que o lucro seria dividido de forma inversamente proporcional aos investimentos iniciais de cada um. Sabendo que no primeiro trimestre o lucro foi de R$ 1.050.000,00, determine qual o valor do lucro que caberá a cada um após esse período.

Internet

Um pai resolveu dividir R$ 700,00 entre seus três filhos. A quantia recebida por cada um deveria ser diretamente proporcional as suas idades. Sabendo que o mais novo tem 8 anos, o do meio tem 12 anos e o mais velho tem 15 anos, é CORRETO afirmar que o mais velho recebeu: a) R$ 200,00. b) R$ 240,00. c) R$ 280,00. d) R$ 300,00. e) R$ 360,00.

Para resolvermos a questão, inicialmente vamos somar as idades dos filhos, para sabermos em quantas partes os R$ 700,00 deverão ser divididos:

8 + 12 + 15 = 35

Agora, vamos dividir os R$ 700,00 por 35 partes:

R$ 700,00 ÷ 35 = R$ 20,00 para cada parte unitária

Assim, os valores que cabem a cada um, serão:

- Ao mais novo: R$ 20,00 × 8 = R$ 160,00

- Ao do meio: R$ 20,00 × 12 = R$ 240,00

- Ao mais velho: R$ 20,00 × 15 = R$ 300,00

R.: A alternativa correta é a letra d) R$ 300,00

Um pai deseja dividir R$ 800,00 com seus dois filhos de 10 anos e de 15 anos, em quantias

diretamente proporcionais às suas idades. Quanto recebem, respectivamente, o filho mais novo e o filho mais velho ?

A) R$ 100,00 e R$ 700,00. B) R$ 210,00 e R$ 590,00. C) R$ 320,00 e R$ 480,00. D) R$ 430,00 e R$ 370,00. E) R$ 540,00 e R$ 260,00

logo de cara podemos desconsiderar as duas ultimas alternativas já que ambas o filho mais novo recebe mais dinheiro sendo que o mais velho deveria receber mais e também a letra A pois a proporção é claramente 8. 

Para resolver essa questão devemos entender que esse é um exercício de proporcionalidade então o mais fácil é colocar em uma fração: idade do mais novo(10)\idade do mais velho(15) simplificando por 5 =>2\3 então a as quantias devem representar essa fração e somadas der 800 chamando de X o irmão mais novo e Y o mais velho temos  X+Y=800  e X\Y=2\3 =>3x=2y(multiplicando cruzado) desenvolvendo esse sistema da forma que você achar mais pratica você encontra: RESPOSTA LETRA C

você também poderia fazer por logica dividindo o primeiro número de cada alternativa por 3 e multiplicando por 2.

Esse sistema pode ser resolvido da seguinte maneira(multiplicando a primeira por dois e substituindo os valores da segunda 2X+3X=1600 =>5X=1600 X=320 => 800-320=Y => Y=480

Somei a idade dos dois filhos 10+15=25 e peguei os 800 e dividi por 25 seria pegar o total do dinheiro e dividir pela idade já que era p ser proporcional a idade dos garotos o resultado dessa divisão é 32 ou seja cada ano é 32 reais.

Sendo assim, 32x10=320 e 32x15=480 :)

Acompanhe, a seguir, situações-problemas que envolvem o conceito de porcentagem.

Aplicando o conceito de porcentagem em situações-problema

Nesta seção, faremos uma revisão, por meio das atividades apresentadas, sobre diversas situações em que aparece a porcentagem. Um dos pontos mais importantes da porcentagem é lembrar que todo número escrito na forma de razão centesimal é uma porcentagem (numerador igual a 100). Além disso, também iremos rever que um número escrito na forma de porcentagem pode ser escrito na forma de fração, fração irredutível, número

decimal e taxa percentual.

 • Para montar uma confecção de fantasias infantis, uma cooperativa de costureiras fez um investimento inicial de R$ 120.000,00. Cada fantasia será vendida por R$ 30,00, com margem de lucro de 20% (sobre o preço de custo). Se a venda mensal é de 2.000 fantasias, calcule a quantidade de meses necessários para que a corporativa recupere o investimento inicial.

Resposta comentada

Vamos calcular o custo da fantasia, sabendo que 30 é o preço vendido. Assim,

Já sabemos que o custo da fantasia é de R$ 25,00. Como são vendidas 2.000 fantasias por mês, as costureiras têm um custo mensal de . De forma análoga, calculamos a receita mensal dessa corporativa que é de . Assim, o lucro mensal é de R$ 10.000 (60.000 – 50.000). Agora, dividimos R$ 120.000,00 (investimento inicial) pelo lucro mensal R$ 10.000,00, obtendo, assim, . Essa divisão foi feita para encontramos a quantidade de meses necessários para recuperar o investimento inicial. Portanto, são precisos 12 meses para que a corporativa de costureiras recupere o investimento inicial.

• Em um concurso público, Glória acertou 28 questões, que correspondem a 40% do total de questões da prova. Quantas questões a prova continha?

Resposta comentada

Chamando de A a quantidade de questões que a prova continha, temos que: 40% de A = 28. Assim:

Portanto, a prova continha 70 questões.

Acompanhe, a seguir, situações-problemas que envolvem aumentos e descontos sucessivos e o conceito de juros.

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