Blog Educacional/LANA

1- Conjuntos - elementos e classificações

Números

A evolução da Matemática acompanha o progresso da humanidade. No começo, o homem só utilizava os números naturais, N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}, mas, com o passar do tempo, foi percebendo que algumas situações não podiam ser representadas apenas com esses números, como, por exemplo, dívidas, temperaturas muito baixas, prejuízos financeiros. Sendo assim, apareceram os números inteiros Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Mais problemas foram surgindo, muitos deles relacionados a construções e, com eles, a ideia de divisão por dois números inteiros, formando as frações e decimais, chegando então aos números racionais (Q). E assim foi por um longo período de tempo. Até que descobriram que existiam medidas incomensuráveis, como a diagonal de um quadrado, por exemplo. Surgiu, assim, a necessidade de ampliar os conjuntos já conhecidos.

Conjuntos numéricos

Chamamos de conjunto toda coleção ou reunião de elementos que possuem características comuns. Podem ser objetos, letras, números, figuras. O conjunto que apresenta somente números como elementos chamamos de conjuntos numéricos. De forma geral, segundo Silva e Abad (2014), utilizamos letras minúsculas para representar os elementos de um conjunto e letra maiúscula para representar o conjunto. Veja no exemplo a seguir:

A = {a, b, c, d}, em que A é o conjunto, a, b, c, d são seus elementos. Para representar conjunto, podermos utilizar tanto a linguagem matemática quanto diagramas. Nesse exemplo, vamos utilizar a linguagem matemática. Acompanhe:

Temos ainda algumas relações entre elemento e conjunto. Observe: a é um elemento que pertence ao conjunto A. Na linguagem matemática, a A. O símbolo representa pertence, e o símbolo representa não pertence (relações entre elemento e conjunto).

O primeiro conjunto que surgiu foi o conjunto dos números naturais (N), representado por:

N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,…}

Com a necessidade de utilizar números negativos, o conjunto dos números naturais foi ampliado, surgindo, assim, o conjunto dos números inteiros (Z), que é representado por:

Z={…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}

E as frações? Estas representam divisões que pertencem ao conjunto dos números racionais (Q), desde que a divisão representada por a/b, tenha a como número inteiro e b inteiro e diferente de zero. Na linguagem matemática, temos:

SAIBA MAIS

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O sinal * indica que o elemento zero de determinado conjunto está excluído.

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São considerados números racionais: os números naturais, inteiros, decimais exatos, dízimas periódicas.

FIQUE ATENTO

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Dízimas periódicas são números decimais não exatos que apresentam um ou mais algarismos que se repetem indefinidamente. Esses algarismos que se repetem formam o período da dízima. Exemplos: 0,7777...; 45,232323...; 0,358888...; 1,2616161...}

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Ainda encontramos um conjunto numérico em que seus elementos são números que não podem ser escritos na forma de fração, chamado de conjunto dos números irracionais (I). Como exemplos, temos as dízimas não periódicas (3,65789012...), o número π (lê-se: pi, que é aproximadamente 3,141516...) e a √2 (1,4142135…).

Por fim, ao conjunto formado pela união de todos os conjuntos (naturais, inteiros, racionais, irracionais) chamamos de conjunto dos números reais (R). Uma das formas de representatividade do conjunto dos números reais é a união entre o conjunto dos números racionais (Q) com o conjunto dos números irracionais (I):

Veja, na figura a seguir, o diagrama que representa essa relação.

Figura 1 - Representação do conjunto dos números reais

Fonte: Elaborada pela autora (2014)

Com esse diagrama, verificamos outra relação existente em conjuntos, que acontece entre os próprios conjuntos e não entre elementos e conjuntos. Atenção! Utilizaremos o seguinte símbolo: (está contido). Assim, temos a seguinte relação definida pelo diagrama representado na figura anterior:

NZQR

FIQUE ATENTO

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Perceba que todo número natural também é considerado número inteiro, todo número inteiro também é considerado número racional, e todo número racional é considerado número real, portanto, N está contido em Z que está contido em Q que está contido em R.

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Esta relação NZQR nos leva ao conceito de subconjunto. Acompanhe!

Vamos utilizar o diagrama representado na figura vista anteriormente, representação do conjunto dos números reais, para entender o que é subconjunto. Ao dizer que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros, dizemos que N é subconjunto de Z, uma vez que todos os elementos de N também são elementos de Z.

FIQUE ATENTO

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Se todos os elementos do conjunto M pertencerem ao conjunto N, dizemos que M é subconjunto de N, ou M é parte de N.

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Fechamento

Até aqui vimos a definição de números e conjuntos numéricos. Vimos também dizimas periódicas e classificações desses conjuntos. Em nossa próxima aula veremos as linguagens dos conjuntos e como podemos fazer operações entre eles.

Nesta aula, você teve a oportunidade de:

•Compreender o que é conjunto e identificar seus elementos

•Identificar e classificar conjuntos numéricos

Referências

DANTE, L. R.Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013

IEZZI, G.Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.

MORI, I.; ONAGA, D. S.Matemática: idéias e desafios. 14. ed. São Paulo: Editora Saraiva,

2007.

SILVA, E. Q.;ABAD, L. F. S.Coleção Pré-Vestibular Extensivo.São Paulo: Sistema de Ensino

Abril Educação S.A., 2014.

2 - Conjuntos: linguagem e operações

Linguagem dos conjuntos

Para conversamos sobre conjuntos, precisamos primeiro compreender a sua linguagem.

Observe a seguinte situação:

• Uma Instituição de Ensino realizou uma pesquisa entre seus docentes para verificar quantos professores utilizam os aplicativos Facebook, Twitter e Skype. O resultado apresentado foi o seguinte: 90 docentes usam Facebook, 70 usam Skype, 60 usam Twitter, 50 usam Facebook e Skype, 41 usam Facebook e Twitter, 25 usam Skype e Twitter, 12 usam Facebook, Skype e Twitter e 34 não usam nenhum dos três aplicativos. O diretor dessa instituição precisou organizar as informações dadas e lançou um desafio aos alunos do curso de Gestão. Determinem: a) quantos professores responderam à pesquisa, b) quantos professores têm apenas Facebook.

Complicado? Nem um pouco, mas, para resolver esse problema, precisamos conhecer algumas relações entre conjuntos e suas operações que facilitam sua solução.

Operações entre conjuntos – União, intersecção, diferença

Ao citar o termo operação, logo nos lembramos das operações básicas com as quais estamos acostumados a lidar. No estudo de conjuntos, essas operações apresentam-se de formas diferentes, recebem nomes diferentes e utilizam símbolos diferentes. São elas: união entre conjuntos, interseção entre conjuntos e diferença entre conjuntos. Vamos analisar cada uma delas utilizando exemplos. Acompanhe!

I - Seja o conjunto A = {2,4,6,8,10} e o conjunto B = {2,6,9,10,11,12}. Quando juntamos todos os elementos do conjunto A com todos os elementos do conjunto B, sem repetir, estamos realizando a união entre os conjuntos. Para isso, utilizamos o símbolo. Veja como:

A B={2,4,6,8,9,10,11,12}

FIQUE ATENTO

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Assim, o conjunto união entre dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou B. Na linguagem matemática, temos: A B={x|xA ou xB}

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II - Utilizando o mesmo exemplo dado, para fazer a interseção entre o conjunto A e o conjunto B, escrevemos o conjunto formado pelos elementos que são comuns aos dois conjuntos, utilizando o símbolo . Veja:

A B={2,6,10}

FIQUE ATENTO

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Assim, o conjunto interseção entre dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e B. Na linguagem matemática, temos: A B={x|xA e xB}

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SAIBA MAIS

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O conectivo OU está relacionado à união (U) e o conectivo E está relacionado à interseção ()

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III - Na diferença entre conjuntos, o resultado é representado por um novo conjunto, chamado de conjunto diferença. Utilizamos a seguinte representação: A – B, em que o conjunto diferença (A – B) é formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. Veja no exemplo.

A-B={4,8}

Na diferença, a ordem precisa ser respeitada. Se fosse feito B – A, teríamos o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto B e não pertencem ao conjunto A.

B-A={9,11,12}

Ainda temos uma relação importante entre elementos de conjuntos, utilizada em suas operações para calcular o número de elementos, que pode ser representada da seguinte forma:

•No caso de situações que envolvem dois conjuntos A e B, temos: Dados os conjuntos A e B, chamamos de n(A), o número de elementos de A; n(B), o número de elementos de B; n(A B), o número de elementos do conjunto A B; n(A B), o número de elementos do conjunto A B. Assim, n(A B)= n(A)+ n(B)-n(A B)

•No caso de três conjuntos A, B e C, temos: n(A BC)= n(A)+ n(B)+n(C)-n(A B)-n(B C)-n(A C)+n(ABC)

Para compreender melhor os conceitos estudados até aqui, vamos resolver a situação-problema apresentada no início deste tópico. Sendo assim, utilizaremos duas estratégias para facilitar e ajudar na resolução. Acompanhe!

1ª estratégia:

Utilizar o recurso chamado de Diagrama de Venn. Nesse diagrama, são utilizados círculos para representar cada conjunto e suas relações. Observe que, na situação apresentada, temos três conjuntos – conjunto dos usuários de Facebook (F), conjunto dos usuários de Twitter (T) e conjunto dos usuários de Skype (S). Três conjuntos, três círculos. Como há situações de união e interseção, os círculos precisam ser desenhados da seguinte maneira:

Figura 1 - Imagem 1 -Diagrama de Venn

Fonte: Elaborado pela autora (2014)

Figura 2 - Figura 2 - Diagrama de Venn

Fonte: Elaborado pela autora (2014)

Figura 3 - Figura 3 - Diagrama de Venn

Fonte: Elaborado pela autora (2014)

Figura 4 - Figura 4 - Diagrama de Venn

Fonte: Elaborado pela autora (2014)

Os resultados são:

a) 150 professores foram entrevistados (11+7+6+38+29+13+12+34).

b) 11 professores utilizam apenas Facebook.

2ª estratégia

Analisar e interpretar as informações dadas e substituir na relação:

n(A BC)= n(A)+ n(B)+n(C)-n(A B)-n(B C)-n(A C)+n(ABC)

Vamos chamar de F (conjunto dos usuários do Facebook); S (conjunto dos usuários do Skype) e T

(conjunto dos usuários do Twitter). Assim, temos:

n(F)=90; n(S)=70; n(T)=60;

n(FS)=50; n(FT)=41; n(TS)=25;

n(FST)=12

34 não utilizam nenhum dos três.

Respondendo as alternativas:

a) Número total de professores que responderam à entrevista:

n(FST)= n(F)+ n(S)+n(T)-n(FS)-n(FT)-n(TS)+n(FST)

Substituindo os valores:

n(FST)= 90+ 70+60-50-41-25+12 = 116

Agora, só falta somar com 34 (número de professores que não responderam) que encontraremos o valor procurado nessa alternativa. Logo, temos: 116 + 34 = 150 professores.

b) Número de professores que usam apenas Facebook. Chamaremos de x.

Devemos calcular o número de elementos do conjunto de usuários de Facebook n(F), subtraindo n(FS)\,n(FT) e n(FST).

Para encontrar o valor dos usuários que utilizam apenas Facebook e Skype, é preciso subtrair o valor dado n(FS)=50 do valor dado pela interseção dos três conjuntos n(FST)=12.

Assim: 50 – 12 = 38.

De forma análoga, calcula-se o valor dos usuários que utilizam apenas Facebook e Twitter.

Veja: n(FT)=41, menos o valor de n(FST)=12. Assim: 41 – 12 = 29.

Agora é só substituir os valores em x:

x=n(F)-n(FS)- n(FT)-(FST)=90-38-29-12=11

Logo, 11 professores utilizam apenas Facebook.

Agora é sua vez, procure resolver os problemas a seguir utilizando a estratégia que achar mais fácil.

1. Na empresa Soko Mono, o setor de RH resolveu oferecer curso de inglês ou espanhol aos seus 220 funcionários. O gerente desse setor precisava saber quantos funcionários não se inscreveram em nenhum dos dois cursos. Com isso, fez um levantamento e constatou que, dos 220 funcionários, 100 fizeram inscrição em inglês, 80 fizeram inscrição em espanhol e 30 se inscreveram em inglês e espanhol. Ajude o gerente a descobrir quantos funcionários não fizeram inscrição.

Explicação passo-a-passo:

Supondo que os funcionários que se inscreveram em ambos estão juntos com a quantidade de pessoas que se inscreveram em apenas um, 40 funcionários não se inscreveram em nenhum curso.

Cálculo:

100+80=180

220-180=40

Internet

A Ordem das Operações Matemáticas existe para decidir em qual ordem as operações devem ser executadas. Logo, a resposta para seguinte operação é:
√36+8²+ 2 x (10-6) ÷ 2-2³

Explicação passo-a-passo:

√36+8²+2.(10-6)÷2-2³=

6+64+2.4÷2-8=

6+64+4-8=

Uma empresa de marketing realizou uma pesquisa com 800 clientes de um supermercado para verificar suas preferências em relação às marcas A, B e C de certo produto. Constatou-se que, dos clientes pesquisados: 45% compram a marca A; 75% compram a marca B; 62,5% compram a marca C; 35% compram as marcas A e B; 18,75% compram as marcas A e C; 50% compram as marcas B e C; e 12,5% compram as três marcas. Qual o número de clientes pesquisados que não compram estas marcas, ou seja, preferem outra marca diferente das três citadas ou não compram esse produto?

a) 50 b) 70 c) 25 d) 80 e) 45

A 45% de 800 = 360

B 75% de 800 = 600

C 62.5% de 800 = 500

AB 35% de 800 = 280

AC 18.75% de 800 = 150

BC 50% de 800 = 400

ABC 12.5% de 800 = 100

agora

AB' = AB - ABC = 180

AC' = AC - ABC = 50

BC' = BC - ABC = 300

A' = A - AB' - AC' - ABC = 360 - 180 - 50 - 100 = 30

B' = B - AB' - BC' - ABC = 600 - 180 - 300 - 100 = 20

C' = C - AC' - BC' - ABC = 500 - 50 - 300 - 100 = 50

agora

A' + B' + C' + AB' + AC' + BC' + ABC + x = 800

30 + 20 + 50 + 180 + 50 + 300 + 100 + x = 800

x + 730 = 800

x = 800 - 730 = 70

o número de clientes pesquisados que não compram estas marcas, ou seja, preferem outra marca diferente das três citadas ou não compram esse produto é 70

Letra B

Uma empresa de marketing realizou uma pesquisa com 800 clientes de um supermercado para verificar suas preferências em relação às marcas A, B e C de determinado produto. Verificou-se que, dos clientes investigados: 45% compram marca A: 75% compram marca B: 62,5% compram marca C; 35% compram as marcas A e B; 18,75% compram as marcas A e C; 50% compram as marcas B e C, 12,5% compram as três marcas. Qual o número de clientes pesquisados não compram essas marcas ou preferem outras?

70 pessoas

A: 3.75 POR CENTO

B: 2.5 POR CENTO

C: 6.25 POR CENTO

A e B: 22.5

A e C: 6.25

B e C: 37.5

A,B e C: 12.5

Apos a prova do Enem 70 pessoas acharam a prova de linguagem código e suas tecnologias fácil
45 acharam somente a prova de matemática e suas tecnologias fácil
38 acharam ambas as provas de conhecimento fáceis
26 não acharam nenhuma das provas dessas áreas de conhecimento fáceis
A)quantas pessoas acharam fácil apenas a prova de linguagens, códigos e suas tecnologias ?
B)quantas pessoas acharam fácil a prova de matemática ?
C)quantas pessoas foram ouvidas ?
D)quantas acharam fáceis pelo menos uma dessas provas
E)quantas acharam fáceis somente uma dessas provas

Fiz o exercício e aqui esta minhas respostas, basta saber se estão corretas?

A)32 B)83 C)141 D)77 E)77

A) 70 - 38 = 32

B) 45 + 38 = 83

C) 32 + 45 + 38 + 26 = 141

D) 32 + 45 + 38 = 115 (Lembre-se, que a expressão "pelo menos" inclui também quem acharam fácil ambas as provas)

E) 32 + 45 = 77 (Já aqui não inclui, pois a expressão "somente" filtra para apenas quem acha uma prova fácil)

Apos a prova do Enem 70 pessoas acharam a prova de linguagens códigos e suas tecnologias fácil 45 acharam somente a provo de matemática e suas tecnologias fácil 38 acharam ambas as provas das áreas de conhecimento fáceis e 26 não acharam nenhuma das provas dessas áreas de conhecimento fáceis quantas pessoas acharam fácil apenas a prova de linguagens códigos de suas tecnologias

Linguagens Códigos e suas Tecnologias => LCT

Matemática e suas Tecnologias => MT

LCT e MT => 38 acharam fáceis.

LCT => 70 - 38 = 32 acharam fácil

MT => 45 - 38 = 7 acharam fácil

26 não acharam nenhuma das duas fáceis

32 pessoas acharam somente a LCT fácil.

Segue o Diagrama de Venn em anexo completando a resposta.

70- linguagem código e suas tecnologias

45- SOMENTE matemática

38- matemática e linguagem

26- nenhuma

70-38=32- SOMENTE linguagem

somente linguagem + somente matemática= acharam somente uma das provas fácil

32+45=77----> acharam somente uma das provas fácil

Em uma indústria, há dois tipos de maquina para produzir parafusos. Uma das maquinas produz 54 parafusos por minuto e a outra, 45 parafusos por minuto PERGUNTA A) Quantos parafusos são produzidos por hora com duas maquinas trabalhando? PERGUNTA B) Se a primeira maquina começar a produzir as 8h e a segunda as 8h30min,quantos parafusos serão produzidos pelas duas ate as 10h? PERGUNTA C) Se os parafusos produzidos são embalados em caixas com 180 unidades cada uma, quantas caixas serão necessárias para embalar a produção de 5 horas das duas maquinas? POR FAVOR,OBRIGADO DESDE JA

a) 1h=60m então 54*60= 3,240 e a segunda maquina 60*45= 2,700

então a soma das duas é = 5,940

b)8h---10h = 2h = 120min*54 = 6,400

8:30--10h = 1:30=90min*45 = 4,050

a soma é = 10,450

C) 180 unidades por caixa então:

5horas = 300 min *54 = 16,200/180= 90 caixas

300*45=13,500/180= 75caixas

a soma é = 165 caixas

a) 54 * 60 min = 3240

45 * 60 min = 2700

3240 + 2700 = 5940 parafusos

b) 1 maquina 8h - 10h = 2h ou 120min

120 * 54 = 6480

2 maquina 8h30min - 10h = 1h30min ou 90min

90 * 45 = 4050

c) 5h = 300min

1 maquina > 54 * 300 = 16200

2 maquina > 45 * 300 = 13500

16200 + 13500 = 29700

29700/180uni = 165 caixas

E é isso de nada.

Numa tecelagem, duas máquinas produzem inicialmente 60 metros de tecido em 3 horas. Se o número de máquinas for dobrado e as horas de trabalho forem triplicadas, então o total de metros de tecido produzidos por essa tecelagem será:

Eles irão fabricar 120m de tecido em 9horas de trabalho

Em uma indústria ha dois tipos de máquina para produzir parafusos uma das maquinas produz 54 parafusos por minuto e a outra 45 parafusos por minuto

a) quantos parafusos são produzidos por hora com as duas maquina trabalhado?

hora = 60 minutos
54+45=99 parafusos p/minuto
99 * 60 = 5940 parafusos por hora

Em uma indústria há dois tipos de maquina para produzir parafusos. Uma das maquinas produz 54 por minuto e a outra, 45 por minuto.
a) Quantos parafusos são produzidos por hora com as duas máquinas trabalhando?
b) Se a primeira máquina começar a produzir ás 8h e a segunda ás 8h30min, quantos parafusos serão produzidos pelas duas até as 10h?
c) Se os parafusos produzidos são embalados com caixas com 180 unidades em cada uma, quantas caixas serão necessárias para embalar a produção de 5h das suas máquinas?

a . 50+45 = 99/min x 60min = 5940 parafusos

b . 120x54 = 6480 (primeira maquina)

90x45 = 4050 (segunda maquina), logo 6480+4050 = 10530 parafusos

c . ambas juntas produzem 99/min x 300 min =29700 parafusos , são embalados 180 deles por caixas então... 29700/180 = 165 caixas

Em uma indústria, há dois tipos de máquinas para produzir parafusos. Uma das máquinas produz 54 parafusos por minuto e a outra,45 parafusos por minuto.

A) Se a primeira máquina começar a produzir às 8h e a segunda às 8h30min,quantos parafusos serão produzidos pelas duas até as 10h?

B) Se os parafusos produzidos são embalados em caixas com 180 unidades cada uma, quantas caixas serão necessárias para embalar a produção de 5 horas da duas máquinas?

A) a primeira maquina produzirá 6 480 parafusos e a segunda fará 4 050

B) serão necessárias 90 caixas

Em uma das Indústrias há dois tipos de máquina para produzir parafusos uma das máquinas produz 54 parafusos por minuto e a outra 45 parafusos por minuto se os parafusos produzidos serão embalados em caixas com 180 unidades em cada uma. Quantas caixas serão necessárias para embalar produção de 5 horas das duas máquinas 165 caixas.
(45x60=2.700
2700x5=13.500)
(54x60=3.240
3.240x5=16.200)
(16.200+13.500=29.700
29.700÷180=165)

Em uma indústria, há dois tipos de máquina para produzir parafusos. uma das máquinas produz 54 parafusos por minuto e a outra, 45 parafusos por minuto.

a) Quantos parafusos são produzidos por hora com as duas máquinas trabalhando?
R:

b) Se a primeira máquina começar a produzir ás 8h30min, quantos parafusos serão produzidos pelas duas até as 10h?
R:

c) Se os parafusos produzidos são embalados em caixas com 180 unidades cada uma, quantas caixas serão necessárias para embalar a produção de 5 horas das duas máquinas?
R:

a) 5940
60 minutos=1 hora.
54×60
mais
45×60

b) 8910
54+45× 90
de 90 minutos= 1 hora e meia

c) 165 caixas
5940 de 1 hora de máquinas× 5

5940×5= 29700÷180= 165

Em uma indústria ha dois tipos de maquina para produzir parafusos uma das maquinas produz 54 parafusos por minuto e a outra 45 parafusos por minuto

c) se os parafusos produzidos são embalados em caixas com 180 unidades em cada uma, quantas caixas serão necessárias para embalar a produção de 5horas das duas maquinas?

Vamos a resolução: 5 horas x 60 minutos = 300 minutos x 54 parafusos = 16.200 parafusos são produzidos em cinco horas .

A segunda máquina : 5 horas x 60 minutos = 300 minutos x 45 parafusos = 13.500

16 .200 + 13 . 500= 29.700 : 180 = 165

Em uma das Indústrias há dois tipos de máquina para produzir parafusos em uma das máquinas todos os 44 parafusos por minuto e a outra 45 por minuto se os parafusos produzidos são embalados em caixas com 180 unidades em cada uma Quantas caixas serão necessárias para embalar Popular a produção de 5 das duas máquinas

148 caixas, mas ira sobrar 3 parafusos.
(44x60=2640
2640x5=13.200)
(45x60=2700
2700x5=13.500)
(13.500+13.200=26.700)
(26.700÷180=148,33...)

Em uma indústria, ha dois tipos de maquina para produzir parafusos. Uma das maquinas produz 54 parafusos por minuto e a outra, 45 parafusos por minuto PERGUNTA A) Quantos parafusos são produzidos por hora com duas maquinas trabalhando? PERGUNTA B) Se a primeira maquina começar a produzir as 8h e a segunda as 8h30min,quantos parafusos serão produzidos pelas duas ate as 10h? PERGUNTA C) Se os parafusos produzidos são embalados em caixas com 180 unidades cada uma, quantas caixas serão necessárias para embalar a produção de 5 horas das duas maquinas? POR FAVOR,OBRIGADO DESDE JA

letra A=5940
letra B= primeira 6480 segunda 4050
letra C=são necessárias 165 caixas

vc vai fazer 45x60+54x60= 5940

B= 54x120+45x90=4050 C= 5x60x45+5x60x54 dividido por 180=165

Em uma indústria ha dois tipos de maquina para produzir parafusos uma das maquinas produz 54 parafusos por minuto e a outra 45 parafusos por minuto

b)se a primeira maquina começar a produzir as 8 h e a segunda as 8h 30 min quantos parafusos serão produzidos pelas duas ate as 10h

x= minuto

A=54x e B=45x. se a primeira começa as 8h vai faltar duas hora para as dez, e a segunda vai faltar 1:30 então:

A=54•120min= 6.480
B=45•90min= 4.050

Num total de 10.530 parafusos

Em uma indústria ha 2 tipos de maquina para produzir parafusos uma das máquinas produz 54 parafusos por minuto e a outra 45 parafusos por minuto quantos parafusos são produzidos por hora com as duas maquinas trabalhando

54 Parafusos X 60 Minutos = 3.240 Parafusos
45 Parafusos X 60 Minutos = 2.700 Parafusos
3.240 + 2.700 = 5.940 Parafusos por hora

54x60 = 3240
45x60= 2700
as duas juntas produzem 5940

Em uma indústria ha 2 tipos de maquinas para produzir parafusos. uma das maquinas produz 54 parafusos por minuto e a outra 45 parafusos por minutos se a primeira maquina começar a produzir as 8h e a segunda 8h 30 min, quantos parafusos serão produzidos as 10h?

1ª = 54 × 60 = 3240 peças por hora

2ª = 45 × 60 = 2700 peças por hora

8 horas para 10 horas = 2 horas

3240 × 2 = 6480

8 horas e 30 minutos para 10 horas = 1 hora e 30 minutos

2700 × 1,5 = 4050

6480 + 4050 = 10.530

Resposta: 10.530

2. Uma loja que vende diferentes marcas de celulares contratou uma empresa de marketing para realizar uma pesquisa acerca de suas preferências em relação a duas marcas de celulares: X, Y. Sabendo que 160 preferem a marca X, 95 preferem a marca Y, 50 preferem as duas e 80 não responderam, determine a quantidade de clientes que foram entrevistados.

3. Um grupo de pessoas prestou concurso para determinado cargo público. Desse grupo, 70 pessoas acharam a prova A fácil; 45 acharam somente a prova B fácil; 38 acharam ambas as provas fáceis; e 26 não acharam nenhuma das provas fáceis. Com base nessas informações, quantas pessoas faziam parte desse grupo?

4. Uma indústria fabrica dois tipos de tecidos: A e B. Das 630 máquinas que essa indústria possui, 350 produzem o tecido A; 210 produzem o tecido B e 90 máquinas produzem os dois tipos de tecidos. Determine: a) quantas máquinas produzem apenas o tecido A? b) quantas máquinas produzem apenas o tecido B? c) quantas máquinas produzem o tecido A ou B? d) quantas máquinas não produzem nenhum dos dois tipos de tecidos?

Fechamento

Nessa aula estudamos os elementos do conjuntos e também as operações entre eles. Relembrando: união entre conjuntos (); interseção entre conjuntos (); diferença entre conjuntos.

Também vimos dois recursos na solução de problemas que envolvem união, interseção e diferença entre conjuntos e outras fórmulas.

Nesta aula, você teve a oportunidade de:

•Entender as operações entre conjuntos;

• Compreender o Diagrama de Venn;

Referências

DANTE, L. R. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.

IEZZI, G. Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.

MORI, I.; ONAGA, D. S. Matemática: idéias e desafios. 14. ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2007.

SILVA, E. Q.;ABAD, L. F. S. Coleção Pré-Vestibular Extensivo. São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A., 2014.

3 - Função: conceito, lei de formação e representação geométrica

Introdução

Função é um dos conceitos mais importante da Matemática. Ela pode ser percebida quando observamos situações como “o tempo gasto por uma carro para completar um determinado percurso é dado em fundão da sua velocidade”, ou “o número de metros de tecido gastos para fazer uma roupa depende do tamanho da roupa”, ou ainda “a área de uma sala depende de suas dimensões, ou seja, é dada em função destas dimensões: largura e comprimento”. Nessa aula veremos a ideia geral de função.

Função e seus conceitos

Mara, mãe de Felipe, costumava buscá-lo na escola toda quinta-feira. Neste dia, ele geralmente saía mais pensativo do que nos outros dias, pois sua última aula era de Matemática. Toda quinta-feira, Mara costumava passar em um posto de gasolina para abastecer seu carro e nesta não foi diferente. Sendo assim, completou o tanque e gastou R$ 96,00.Felipe prestou atenção em tudo e atento como estava olhava bem fixo para os números que giravam no marcador da bomba de combustível. De repente, teve um estalo e toda a sua aula de Matemática passou a fazer sentido. Ali estava um exemplo de função! Felipe foi associando os números e mentalmente montou o seguinte quadro:

Figura 1 - Quadro 1 - Preço a pagar em função do número de litros

Fonte: Elaborado pela autora (2014)

Na verdade, Felipe queria mostrar o seguinte:

Em um veículo, dentre vários fatores, o consumo de combustível depende da sua velocidade. Neste caso, o preço a pagar é dado em função da quantidade de litros adquirida, ou seja, o preço a pagar depende do número de litros comprados. Assim, podemos escrever uma fórmula que representa esta relação. Chamando de P, o preço a pagar, e de x, o número de litros comprados, temos: P = 2,40 x

No exemplo dado, temos duas variáveis: o preço a pagar P e o número de litros comprados x. Como o preço a pagar (P) depende da quantidade de litros comprados (x), P á a variável dependente. E, como a quantidade de litros comprados (x) é de livre escolha, x é chamado de variável independente.

Perceba que Felipe estava analisando uma grandeza (preço do litro da gasolina) em função de outra grandeza (quantidade de litros de gasolina). Assim, a correspondência entre a quantidade de litros de gasolina adquirida e o preço a pagar é um exemplo de função, já que o preço a pagar varia em função da quantidade de litros adquirida.

Para cada quantidade de litros há um e somente um preço determinado a pagar.

Assim, a fórmula P = 2,40x é chamada de lei da função ou lei de formação da função ou fórmula matemática da função.

FIQUE ATENTO

_________________________________________________________________________

Deste modo, em toda função temos: para cada valor de uma grandeza analisada (y) há um e somente um valor correspondente a outra grandeza (x).

_________________________________________________________________________

FIQUE ATENTO

_____________________________________________________________________

Portanto, em Matemática, se x e y são duas variáveis tais que para cada valor atribuído a x existe, em correspondência, um único valor para y, dizemos que y é uma função em x.

Logo, temos: y = f(x) - Lê-se: y é igual a f de x

___________________________________________________________________________

O conjunto D de valores que podem ser atribuídos a x é chamado domínio da função. A variável x é chamada variável independente. O valor y, correspondente a determinado valor atribuído a x, é chamado imagem de x pela função e é representado por f(x). A variável y é chamada variável dependente, porque y assume valores que dependem dos correspondentes valores de x.

O conjunto Im(f) formado pelos valores que y assume, em correspondência aos valores de x, é chamado conjunto imagem da função.

Veja o esquema a seguir que ilustra estes conceitos:

Figura 2 - Figura 1 -Domínio e Conjunto Imagem de uma função f

Utilizando o exemplo dado como modelo, vamos construir dois conjuntos, A e B, de forma que A é igual aos valores atribuídos a determinada quantidade de litros comprados: A = {1,3,40}, B é igual a valores em reais: B = {2,40; 7,20; 11, 30; 15; 96} e a função P = 2,40x. Assim, temos:

Figura 3 - Figura 2 -Relação entre os conjuntos A e B

De acordo com Dante (2013, p. 47), “para caracterizar uma função é necessário conhecer três componentes: o domínio (A), o contradomínio (B) e uma regra que associa cada elemento de A a um único elemento y = f(x) de B (conjunto imagem).”. Nesse exemplo, o domínio é A = {1, 3, 40}, o contradomínio é B = {2,40; 7,20; 11,30; 15; 96}, a regra é dada por P = 2,40x, tendo como conjunto imagem Im(f) = {2,40; 7,20; 96}.

Os dados do quadro anterior também podem ser representados, geometricamente, por meio de um gráfico, ajudando a perceber como uma grandeza varia dependendo da outra.

Observe:

Figura 4 - Gráfico 2 - Função que representa o preço a pagar (em reais) por determinada quantidade de combustível (em litros).

1) (DANTE, 2014, p. 44). Escreva a fórmula matemática que expressa a lei de cada uma das funções a seguir: Um fabricante produz objetos a um custo de R$12,00 a unidade, vendendo-os por R$20,00 a unidade. Portanto, o lucro y do fabricante é dado em função do número x de unidades produzidas e vendidas. A Organização Mundial de Saúde (OMS) recomenda que cada cidade tenha no mínimo 14 m^2 (14 m/2) de área verde por habitante. A área verde mínima y que deve ter uma cidade é dada em função do número x de habitantes.

a) Dados Formula Resolucao

Venda(V)=20x y = Venda - Custo y = 20x - 12x

Custo (C) = 12x y = 8x

b) y = 14x

a) O lucro é a diferença entre a receita e o custo (y = R - C). Se a venda é de 20 reais para cada unidade x e o custo é de 12 reais por unidade x, então, temos que:

y = 20x - 12x

y = 8x

b) Se para cada habitante deve haver uma área verde de 14 m², então para 2 habitantes deve haver 14*2 = 28 m², para 3 habitantes deve haver 14*3 = 42 m² e assim por diante, então a função que descreve a área verde mínima para x habitantes é de:

y = 14x

Internet

Um fabricante produz objetos a um custo de R$12,00 a unidade, vendendo-os por R$20,00 a unidade, portanto, o lucro y do fabricante é dado em função do número x de unidades produzidas e vendidas, qual a formula matemática dessa função?

Se x é o número de unidades produzidas e y é igual ao lucro do fabricante.

Então temos que a fórmula matemática dessa função será:

y = 8x

Pois 20 - 12 é igual a 8. Ou seja o lucro do fabricante será de 8 reais em cima de cada objeto vendido. Pois se ele gasta 12 reais para produzir e vende por 20 reais, então ele tem o lucro de 8 reais em cada unidade do objeto vendido.

Resposta:

Y = 8X <= função pedida

Explicação passo-a-passo:

=> Note que o Lucro é dado por:

Lucro = (Preço de Venda - Preço de Custo) . Quantidade

...Sendo "X" a quantidade de produtos vendidos ..Logo a nossa função será

(considerando L = Y)

Y = (20 - 12) . x

..ou

Y = 20X - 12X

...ou ainda

Y = 8X <= função pedida

Escreva a formula matemática que expressa a lei de cada uma das funções a seguir :

a)Uma fabricante produz objetos a um custo de R$12,00 a unidade , vendendo-os por R$20,00 a unidade .Portanto , o lucro y do fabricante é dado em função do numero x de unidades produzidas e vendidas.

b)Organização Mundial de Saúde (OMS) recomenda que cada cidade tenha no minimo 14 m/2 de área verde por habitante . A área verde minima y que deve ter uma cidade e dada em função do numero x de habitantes.

a)Vamos subtrair para descobrir o lucro por peça vendida:

A cada peça vendida, tem-se 8R$ de lucro, portanto, se 2 peças forem vendidas, teremos 16R$, e assim por diante.

A função pode ser descrita assim:

b)Se para cada habitante deve-se ter 14m² de área verde, basta multiplicarmos 14 pelo número de habitantes(que na função seria x):

Um fabricante, produz objetos a um custo de R $12,00 a unidade, vendendo-os por R$20,00 a unidade. Por tanto o lucro do fabricante é dado em função do número de unidades produzidas e vendidas. Qual será a fórmula matemática que expresse a lei dessa função?

Veja, amigo, que a resolução é bem simples.

Se o custo de cada objeto "x" produzido é de R$ 12,00 , então a função custo deste fabricante será dado por:

C(x) = 12x

E se cada unidade "x" deste objeto é vendido por R$ 20,00 , então a função receita desse fabricante será dada por:

R(x) = 20x .

Agora vamos ver como encontraremos a função lucro. Para isso, basta fazer R(x) - C(x). Então a função lucro será encontrada da seguinte forma:

L(x) = R(x) - C(x) ----- substituindo-se R(x) e C(x) por suas representações, teremos que a função lucro será:

L(x) = 20x - 12x

L(x) = 8x <--- Esta é a resposta. Esta é a lei de formação da função lucro do fabricante do objeto em questão.

b)Organização Mundial de Saúde (OMS) recomenda que cada cidade tenha no minimo 14 m/2 de área verde por habitante . A área verde minima y que deve ter uma cidade e dada em função do numero x de habitantes.

a) y = 40 (Taxa Fixa) + 20x (valor variável - dependente do número de horas)
b) y = Venda - Custo = 20x - 12x = 8x
c) y = 14x (Área necessária varia de acordo com o número de habitantes)

Escrever uma formula matemática que expresse a lei de cada função.
a. Uma firma que concerta televisores cobra uma taxa fixa de R$50,00 de visita mais a taxa R$20,00 por hora de mão de obra. O preço de Y que se deve cobrar pelo concerto é dado em função do número X de horas trabalho(mão de obra).

b. Um fabricante produz objetos a um custo de R$12,00 e vende-se a R$20,00 (cada unidade).O lucro L do fabricante é dado em função do número de X produzidas e vendidas.

a. Uma firma que concerta televisores cobra uma taxa fixa de R$50,00 de visita mais a taxa R$20,00 por hora de mão de obra. O preço de Y que se deve cobrar pelo concerto é dado em função do número X de horas trabalho( mão de obra).

y = 50 + 20x

b.Um fabricante produz objetos a um custo de R$12,00 e vende-se a R$20,00 (cada unidade).O lucro L do fabricante é dado em função do número de X produzidas e vendidas.

L = (20 - 12) x

L = 8x

Editado lucro é a diferença

2) Escreva a formula matemática que expresse a lei de cada uma das funções abaixo:?

A) uma firma que conserta televisores cobra uma taxa fixa de R$ 40,00 de visita mas R$20,00 por hora de mão de obra. então o preço Y que se deve pagar pelo conserto de um televisor é dado em função do numero X de horas de trabalho .

B) Um fabrica produz objetos a um custo de R$12,00 a unidade, vendendo-os por R$20,00 a unidade. Portando, o lucro Y do fabricante é dado em função do numero X de unidades produzidas e vendidas.

C) A organização mundial da saude recomenta que cada cidade tenha no minimo 14m2 de area verde por habitante. A area verde minima Y que deve ter uma cidade é dada em função do numero X de habitantes.

Melhor resposta: a) y = 40 (Taxa Fixa) + 20x (valor variável - dependente do número de horas)
b) y = Venda - Custo = 20x - 12x = 8x
c) y = 14x (Área necessária varia de acordo com o número de habitantes)

2) Considere uma função de A em B em que A = {1, 5, 8}, B = {4, 20, 32} e f(x) é o quádruplo de x para todo x A . Construa o diagrama de flechas desta função; Determine o Domínio, a Imagem e o Contradomínio desta função, ou seja, D(x), Im (x) e CD(x).

Fechamento

Neste tema vimos os conceitos básicos da função e a sua lei de formação. Também conheceu três componentes da função: domínio, contradomínio e conjunto imagem.

Nesta aula, você teve a oportunidade de:

•Entender o que é função.

Referências

BRASIL Escola. Plano Cartesiano. [2015]. Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/plano-cartesiano.htm>. Acesso em 21 de outubro de 2014.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2014.

IEZZI, Gelson. Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.

SILVA, Eduardo Quintas da; ABAD, Luis Felipe Silva. Coleção Pré-Vestibular Extensivo. de Ensino Abril Educação S.A., 2014.

4 - Funções: construção de gráficos e classificações

Introdução

O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática. A função pode ser associada a tabelas, fórmulas e gráficos. Essas representações podem ser feitas por meio da lei de formação e de gráficos. Nessa aula veremos essas demonstrações e como elas podem e devem ser usadas, assim como exemplos teóricos e práticos. Também nesse conteúdo iremos abordar os tipos de funções sobrejetiva, injetiva e bijetiva.

Representação geométrica de uma função

Para construir o gráfico de uma função, precisamos conhecer sua lei de formação y=f(x). Depois, seguiremos as seguintes etapas:

•construir uma tabela na qual aparecem os valores de x (variável independente) e os valores de y, calculados a partir da lei y=f(x);

•representar cada par ordenado (x,y) da tabela, por um ponto do plano cartesiano;

SAIBA MAIS

______________________________________________________________________________

Plano cartesiano é definido por duas retas perpendiculares (chamadas de eixos), em que a reta horizontal é denominada eixo das abscissas (x) e a vertical, denominada eixo das ordenadas (y). Onde as duas retas (ou eixos) se encontram

é chamado de origem. Podemos traçar pontos (x,y) no plano que chamamos de par ordenado, em que x representa a abscissa e y a ordenada. Perceba, na figura a seguir, que estas retas (eixos) formam quatro quadrantes.

______________________________________________________________________________

Figura 1 - Figura 1 -Plano cartesiano e representação de par ordenado no plano

Fonte: Adaptada de Brasil Escola (2015)

•ligar os pontos traçados na etapa 2 por meio de uma curva, que é o próprio gráfico da função y=f(x).

Vamos utilizar um exemplo para aprender cada etapa na construção de um gráfico.

Acompanhe!

Seja a função y = x + 3 com domínio em R.

1ª etapa – Construir uma tabela estabelecendo valores para x. Depois, substituir esses valores na lei y = x + 3, para encontrar os valores correspondentes de y, como apresentado na tabela a seguir:

Figura 2 - Tabela 1 - Valores de x e y na função y = x + 3

2ª etapa e 3ª etapa– A partir da tabela anterior, temos os seguintes pares ordenados: (–2,1); (–1,2); (0,3); (1,4); (2,5). Agora é preciso representá-los no plano cartesiano e depois unir os pontos traçados, que neste exemplo, formam uma reta. Veja:

Figura 3 - Figura 2 - Gráfico da função y = x + 3

Quando analisamos o gráfico de uma função, observamos algumas propriedades, ou seja, como a função se comporta.

- Uma função é positiva quando f(x)>0, negativa quando f(x)<0, e quando se anula f(x)=0;

FIQUE ATENTO

_____________________________________________________________________________

São chamados de zero (s) ou raiz (es) de uma função f, os valores de x que anulam a função f.

______________________________________________________________________________

- Uma função é crescente, se x1< x2, então f(x1 )<f(x2 );

- Uma função é decrescente, se x1> x2, então f(x1 )>f(x2 ).

No exemplo dado, a função f definida por y = x + 3 é crescente, pois quanto maior for o valor de x, maior será o valor do correspondente y = x + 3.

Que tal treinar um pouco?

Pegue uma régua e papel quadriculado para ajudar e construa os gráficos das funções dos exercícios 1a e 1b apresentados no final de 1.1. Depois analise o comportamento de cada uma, informando se é função crescente ou decrescente.

Funções sobrejetiva, injetiva e bijetiva

Nesta seção vamos conhecer três tipos de funções: sobrejetiva, injetiva e bijetiva. Iniciamos definindo uma função f com domínio A e contradomínio B e x1 e x2 dois elementos de A.

Uma função f é sobrejetiva se e somente se: Im(f)=B, sendo Im(f) o conjunto imagem da função f. Ou seja, uma função f é dita sobrejetiva quando todo elemento de seu contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio.

Confira nos exemplos a seguir. Dadas duas funções f e g, definidas pelos conjuntos A e B, temos:

Figura 4 - Figura 3 - Diagramas de flechas S

Perceba que no diagrama da função f, todos os elementos do contradomínio B recebem, pelo menos, uma flecha, o que indica que a função é sobrejetiva (Im(f) = {1,3,5} = B). Agora, verifique que na função g, existe um elemento de B (3) que não recebe flecha, ou seja, não é imagem de nenhum elemento de A. Assim, a função g não é sobrejetiva (Im(f) = {1,5} B).

Uma função f é injetiva se e somente se x1 x2 f(x1 )f(x2 ). Assim, uma função é dita injetiva quando valores diferentes do domínio estiverem associados a imagens diferentes no contradomínio, ou seja, um elemento de B não pode ser imagem de mais de um elemento de A

. Acompanhe os seguintes exemplos:

Figura 5 - Figura 4 - Diagramas de flechas I

Repare, no exemplo dado na figura 8, função f, que para cada valor do conjunto A, corresponde a valores diferentes em B, o que define uma função injetiva. Já na função g, dois valores de A (0 e 2) se associam a um mesmo valor de B (1), não sendo g, uma função injetiva.

Uma função f de A em B é dita bijetiva se, e somente se, ela for sobrejetiva e injetiva. Para que isto ocorra, é necessário e suficiente que todo y B seja imagem de exatamente um x A. Veja o esquema as seguir que ilustra este caso:

Figura 6 - Figura 5 - Diagramas de flechas II

No diagrama de flechas da figura anterior, a imagem de f, que é o conjunto {1,3,5}, coincide com o contradomínio B, o que caracteriza uma função sobrejetiva. Além disso, elementos diferentes do domínio A estão associados a imagens distintas em B, fazendo com que f seja uma função injetiva. Assim, f é uma função bijetiva. Verifique que todo elemento do contradomínio é imagem de exatamente um elemento do domínio da função f.

Para verificar se compreendeu os conceitos estudados neste tema, faça a atividade a seguir:

• A tabela a seguir relaciona o tempo t (em horas) e a distância d (em quilômetros) percorrida nesse tempo, por um carro que mantém velocidade constante de 100 km/h numa rodovia.

Figura 7 - Quadro 2 – Relação entre tempo e distância

De acordo com a situação exposta, faça o que se pede:

a) Complete a tabela.

b) Que grandeza foi calculada em função da outra?

c) A cada instante de tempo corresponde uma única distância percorrida? Explique.

d) Qual é a variável dependente? Por quê?

e) Escreva a lei de formação dessa função.

f) Classifique esta função em injetiva, sobrejetiva ou bijetiva.

Em uma rodovia, um carro mantém velocidade constante de 100 km/h.

a)copie e complete esta tabela, que relaciona o tempo t (em horas) e a distancia d (em quilômetros) percorrido nesse tempo.
b)que grandeza foi calculada em função da outra?
c)a cada instante de tempo corresponde uma única distância percorrida?
d)qual é a variável dependente?
e)escreva em seu caderno a lei dessa função ou a equação que fornece d em função de t.

a) Tempo (t) em horas || 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3

Distância (d) em km |50|100|150|200|250|300

b) A distância em função do tempo.

c)Sim, a não ser que o carro pare durante o percurso.

d) A distância depende do tempo.

e) D=100 × T

Um carro numa rodovia mantém velocidade constante de 90km/h

1)veja a tabela a seguir,ela relaciona o tempo T(em horas) e distância D(em quilômetros). complete as lacunas

Fechamento

Nesta aula vimos como se dá a construção de gráficos e como traça-los a partir de uma tabela. Vimos também os tipos de função e estudamos suas nomenclaturas e características.

Nesta aula, você teve a oportunidade de:

• Entender gráficos de função;

• Compreender o que são funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas.

Referências

BRASIL Escola. Plano Cartesiano. [2015]. Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/plano-cartesiano.htm>. Acesso em 21 de outubro de 2014.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2014.

IEZZI, Gelson. Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.

SILVA, Eduardo Quintas da; ABAD, Luis Felipe Silva. Coleção Pré-Vestibular Extensivo. São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A., 2014.

5 - Funções – afins e modulares

Introdução

Antes de partirmos para o conteúdo dessa aula, vamos pensar na seguinte situação:

Vanessa está atrasada para o trabalho e decide ir de táxi, mas ela está com pouco dinheiro, pois está acostumada a ir de ônibus. Sabendo que numa corrida de táxi é cobrada uma taxa fixa de R$ 5,00 mais R$ 1,50 por quilômetro rodado, ajude Vanessa a calcular qual o valor que pagará por uma corrida até o seu trabalho que fica a 15 km partindo de onde ela está. No exemplo, o preço a pagar (x) depende da distância percorrida (y). Logo, a lei de formação dessa função é a seguinte: y =1,50x + 5. Portanto, nessa vamos estudar a função definida por situações semelhantes à apresentada: função afim e a função modular, além de resolver algumas situações-problema que envolvem estes conceitos.

Função afim

De acordo com o exemplo dado na introdução deste material, vimos que a função definida por y=1,50x+5 é uma função que chamamos de função afim.

Deste modo, dados dois números reais a e b,com a0, chama-se função afim ou função do 1o grau àquela dada por f(x)= ax+b. O coeficiente a é chamado de coeficiente angular, enquanto b é chamado de coeficiente linear.

Retomando o problema apresentado, vamos construir uma tabela a partir da função y=1, 50x+5 para depois a representarmos geometricamente por meio de um gráfico. Veja:

Figura 1 - Tabela 1 - Relação entre distância percorrida (km) x valor a ser pago (R$)

A seguir, observe o gráfico que representa essa função:

Figura 2 - Gráfico 1 - Gráfico da função y = 1,50x + 5

Assim, podemos concluir que:

O valor desta raiz representa a abscissa do ponto de interseção da reta que representa a função com o eixo Ox.

No exemplo dado em que y = 1,50x + 5, vamos encontrar para qual valor de x esta função é nula. Assim, para calcular a raiz da função y = 1,50x + 5, utilizamos x=-b/a e substituímos a = 1,50

e b = 5. Logo, temos:

O ponto (-3,3;0) é o ponto de interseção da reta no eixo Ox, como pode ser visualizado no gráfico traçado para essa função.

Como vimos que o coeficiente a é chamado de coeficiente angular, e b é chamado de coeficiente linear da função afim, vamos entender um pouco mais sobre isto. Acompanhe!

O número a chama-se taxa de variação da função f, mas também é conhecido como declividade ou coeficiente angular da reta em relação ao eixo horizontal Ox.

Já o número b chama-se valor inicial da função f ou coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = b. Assim, o coeficiente linear (b) é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy. No exemplo, você pode observar no gráfico da figura anterior esse ponto de interseção com o eixo Oy, que no caso é (0,5).

Agora, que tal ajudar Vanessa com a questão da corrida de táxi? Verificando na tabela 1, constatamos que o valor que ela pagará por uma corrida até o seu trabalho, que fica a 15 km de

onde estava, é de R$27,50. Entretanto, no fim do dia ela resolveu, também, voltar para casa de táxi, pagando no trecho percorrido R$33,50. Qual será a distância do trabalho de Vanessa até sua casa?

Bem, se Vanessa pagou R$33,50, temos que y = 33,50 ou f(x) = 33,50 e, assim, devemos encontrar a distância percorrida, que é o valor de x, utilizando a fórmula y = 1,50x + 5. Logo:

Portanto, a distância da casa da Vanessa até o seu trabalho é de 19 quilômetros.

Para verificar se compreendeu este conceito, resolva os exercícios a seguir:

1 - Assinale a seguir as funções afim e identifique os coeficientes angular e linear a e b.

a) y = 25x + 4,5 b) y = x2 + 3 c) y = 5x + 1/5 d) y = 2x/7 + 43

2 - Dada a função afim y = 2x - 5, determine a raiz desta função e trace seu gráfico.

Função modular

Para estudar a função modular, iniciaremos conceituando o que é módulo e como calcular o módulo de um número:

Módulo é a distância entre um número até o zero e é representado pelo símbolo | |.

O módulo de 9 é representado por |9| = 9, pois a distância do número 9 até o zero, tem 9 unidades. Com o número – 9 é o mesmo. O módulo de – 9 é representado por |– 9|, que indica também, 9 unidades até o zero. Portanto, |– 9| = 9.

Observe a representação destes módulos na reta numerada.

Figura 3 - Figura 1 - Representando distância

Acompanhe um exemplo!

Seja a função f(x)=|x-2|-1, construa o seu gráfico.

Utilizando a definição de módulo, vamos primeiro escrever f(x) usando sentenças sem módulo.

Assim, para:

• x2 x-2 0 f(x)=|x-2|-1=x-2-1=x-3

• x<2 x-2 <0 f(x)=|x-2|-1=-(x-2)-1=-x+1

Logo,

Agora, devemos construir uma tabela para cada função e assim obter o gráfico de f(x).x2 x<2

Figura 4 - Tabela 2 - Função y = x-3

Figura 5 - Tabela 3 - Função y = -x+1

Traçando o gráfico da função f(x)=|x-2|-1, temos:

Figura 6 - Gráfico 2 - Função f(x)=|x-2|-1

Confira se está aprendendo, resolvendo a seguinte atividade:

Para cada função modular a seguir, escreva f(x) usando sentenças sem módulo e trace seu gráfico.

• f(x)=|3-x|+4

• f(x)=|2x-8|

Situações-problema envolvendo função afim

• Paulo é segurança de uma casa noturna e recebe um salário fixo de R$840,00. Para aumentar sua renda, ele resolveu fazer plantões noturnos em uma boate, recebendo R$90,00 por noite de trabalho. Sabendo que no mês passado Paulo fez 4 plantões, calcule qual foi o salário que Paulo recebeu após fazer esses plantões.

Resposta comentada:

Para sabermos o salário que o segurança receberá após 5 plantões, vamos escrever a lei de formação da função que representa esta situação. Como o valor a ser pago depende do número de horas trabalhadas, podemos concluir que a grandeza salário (y) e tempo (x) definem a lei de formação: y =90x + 840.

Substituindo a quantidade de plantões feitos (5) em x, temos:

y=90x+840 y=904+840 y=1200

Portanto, Paulo recebeu R$1.200,00.

• Uma empresa que conserta impressoras cobra uma taxa fixa de R$30,00 pela visita e mais R$15,00 por hora de mão de obra. Marcos precisou contratar os serviços desta empresa e gastou R$105,00. Quanto tempo essa empresa ficou na casa de Marcos?

Resposta comentada:

Para sabermos o tempo que a empresa gastou para consertar a impressora de Marcos vamos escrever a lei de formação da função, que representa esta situação. Como o valor a ser cobrado depende do número de horas trabalhadas, temos duas grandezas: valor cobrado e tempo - variáveis dependente e independente, respectivamente. Denotando por x a variável independente (tempo) e por y a variável dependente x (valor a ser cobrado) podemos chegar à seguinte lei de formação: y = 15x + 30.

Substituindo o valor de 105 em y, temos:

105 = 150x + 30 15x = 105 - 30 15x = 75 x = 75/15 x = 5

Portanto, um funcionário desta empresa ficou 5 horas na casa de Marcos.

Agora chegou a sua vez! Resolva as atividades que estão listadas a seguir:

1 - Uma determinada indústria que produz parafusos os vende por R$ 1,20 cada um. Um lote deste mesmo parafuso apresenta um custo total formado por uma taxa fixa de R$ 50,00 mais o custo de produção por R$ 0,45 por parafuso. Com isto:

a) Escreva a lei de formação da função que representa o custo total y de um lote em função do número x de parafusos.

b) Calcule o custo da produção de um lote com 1500 parafusos.

c) Qual o valor, em reais, que um comerciante ganharia com a venda de um lote de 1500 parafusos? d) Para que um determinado comerciante não tenha nem lucro nem prejuízo, calcule a quantidade de parafusos para a venda de um lote.

e) Caso o fabricante venda um lote com 300 parafusos, ele terá lucro ou prejuízo? De quanto seria?

Internet

Um fabricante vende parafusos por RS 0,80 cada um. O custo total de um lote de parafusos é formado por uma taxa fixa de RS 40,00 mais custo de produção de RS 0,30 por parafuso.

A) Que sentença dá o custo total y de um lote em função de número x de parafusos?
B) Qual é o custo da produção de um lote de 1000 parafusos?
C Quanto o comerciante arrecada na venda de um lote 1000 parafusos?
D) Qual o número de parafusos de um lote para que, na venda, o fabricante não tenha lucro nem prejuízo?
E) Se vender um lote de 200 parafusos, o comerciante terá lucro ou prejuízo? De quanto?
Assunto:Função

A -

y = 40 + 0,3x

B -

y = 40 + (0,3 *1000)

y = 40 + 300

y = R$ 340,00

C -

Preço de venda: R$ 0,80

0,8 * 1000 = R$ 800,00

D -

Função receita: R(x) = 0,8x

Função custo: C(x) = 40 + 0,3x

Nem lucro nem prejuízo: R(x) = C(x). Assim:

R(x) = C(x)

0,8x = 40 + 0,3x

0,5x = 40

x = 80 unidades

E -

Terá lucro, pois a quantidade mínima para não ter prejuízo são 80 unidades; logo, a venda de 200 parafusos o fará obter lucro.

R(x) = 0,8 * 200

R(x) = R$ 160,00

C(x) = 40 + (0,3 *200)

C(x) = 40 + 60

C(x) = R$ 100,00

Ou seja, o fabricante gastou 100 reais para fabricar 200 parafusos e obteve receita de 160 reais. Lucro de 160 - 100 = R$ 60,00.

Um fabricante vende parafusos por 0,80 cada um. O custo total de lote de parafusos é formado por uma taxa fixa de 40,00 mais o custo de produção de 0,30 por parafuso. Qual é o número de parafusos de um lote para que, na venda, o fabricante não tenha lucro nem prejuízo?

O custo para fabricar o parafuso:

C(x) = 0,3x + 40

Sendo x o número de parafusos.

A arrecadação com as vendas de cada parafuso:

R(x) = 0,8x

Para saber qual o valor de x que a arrecadação e o custo (sem lucro e sem prejuízo), basta igualar R(x) com C(x):

R(x) = C(x)

0,8x = 0,3x + 40

0,8x - 0,3x = 40

0,5x = 40

x = 40/0,5

x = 80 parafusos

1a Questão (Ref.: 201404273521)

Foi realizado um levantamento com os alunos do seu curso, revelando que 19% estudam inglês; 27% estudam espanhol; 8% estudam inglês e espanhol. Qual o percentual dos que não estudam nem inglês e nem espanhol?

55% 60% 46% 70% 62% X

2a Questão (Ref.: 201404274806)

Dados os conjuntos A = {2,4,6,8} e B = {1,3,5,9}, é correto afirmar que:

AUB={1,2,3,4,5,6,8,9}

3a Questão (Ref.: 201404273937)

Sendo A={x ∈ N│x<6} e B={x ∈ Z|-3<X< U A Determine>

{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}X {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} {-2, -1, 1, 2, 3, 4, 5} {-2, -1, 1, 2, 3, 4} {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}

1a Questão (Ref.: 201404116826)

A quantidade de pessoas do sexo masculino que frequentam certo SPA atualmente equivale a 1/5 da quantidade de pessoas do sexo feminino. Se a diária para cada mulher é de R$ 120,00, correspondente a 60% da diária paga por cada homem, qual a arrecadação diária desse SPA, paga pelas mulheres e pelos 20 homens?

R$ 12.000,00 R$ 8.000,00 R$ 16.000,00X R$ 4.000,00 R$ 7.200,00

2a Questão (Ref.: 201404221870)

(FUVEST) A diferença entre o cubo da soma de dois números inteiros e a soma de seus cubos pode ser:

7 6 X 4 8 5

3a Questão (Ref.: 201404114554)

Danilo, dono de um restaurante, perguntou a 90 clientes: Entre Lasanha, Pizza e Macarronada, de qual(is) você gosta?. O resultado da pesquisa: 35 gostam de Lasanha; 45 gostam de Pizza; 38 gostam de Macarronada. 11 gostam de Lasanha e Pizza 12 gostam de Pizza e Macarronada 13 gostam de Lasanha e Macarronada 8 gostam das três: Lasanha, macarronada e Pizza A quantidade de clientes que gostam somente de macarronada é igual a:

23 25 27 20 21 X

Qual é a fração que representa o número 8,25:

8250/100 825/10 825/1000 165/20 X 16/2

2a Questão (Ref.: 201404282013)

Qual é a solução da equação 4(x - 2) + 1 = 2x + 3 ?

0 5/3 2 5 X ½

Num determinado dia comprei 1kg de café e 1kg de açúcar por R$10 e num outro dia comprei 2kg de café e 3kg de açúcar por R$22. Sabendo-se que nesses dias os preços do café e do açúcar não alteraram:

O preço do kg do café é R$3 e o preço do kg do açúcar R$7

O preço do kg do café é R$2 e o preço do kg do açúcar R$8

O preço do kg do café é R$7 e o preço do kg do açúcar R$3

O preço do kg do café é R$6 e o preço do kg do açúcar R$4

O preço do kg do café é R$8 e o preço do kg do açúcar R$2 X

4a Questão (Ref.: 201404116150)

Se a soma de dois números é igual a 1 e a sua diferença é igual a -2, Então, podemos dizer que o produto

desses dois números é igual a:

3/4 1/4 -0,75 X 1,25 2,5

5a Questão (Ref.: 201404222774)

Em uma panificadora são produzidos 90 pães de 15 gramas cada um. Caso queira produzir pães de 10 gramas, quantos iremos obter?

Serão produzidos 135 pães de 10 gramas X

Serão produzidos 125 pães de 10 gramas

Serão produzidos 115 pães de 10 gramas

Serão produzidos 120 pães de 10 gramas

Serão produzidos 130 pães de 10 gramas

Francisco resolveu comprar um pacote de viagem que custava R$ 4 200,00, já incluídos R$ 120,00 correspondentes a taxas de embarque em aeroportos. Na agência de viagens, foi informado de que, se fizesse o pagamento à vista, teria um desconto de 10%, exceto no valor referente às taxas de embarque, sobre o qual não haveria nenhum desconto. Decidiu, pois, pagar o pacote de viagem à vista. Então, é CORRETO afirmar que Francisco pagou por esse pacote de viagem.

R$ 3 972,00

R$ 3 780,00

R$ 3 672,00

R$ 3 792,00 X

R$ 3 900,00

1a Questão (Ref.: 201404225665)

Um professor ganha o seu salário, dando aulas particulares. Ele cobra para ir à casa dos seus alunos a quantia fixa de R$80,00, a fim de cobrir suas despesas (gasolina, estacionamentos, lanches e outros), mais R$120,00 por cada hora/aula dada. Se este professor foi à casa de 20 alunos distintos e ministrou um total de 40 horas/aulas no mês, o seu salário foi de:

R$ 7400,00

R$ 6480,00

R$ 5400,00

R$ 4880,00

R$ 6400,00 X

2a Questão (Ref.: 201404055882)

Uma empreiteira está devendo 1,2 milhão de reais a um banco. Para pagar essa dívida, fez um acordo: de imediato pagaria R$ 300 mil e, um mês depois, 20% do saldo devedor. Após esses dois pagamentos, qual será o valor da dívida?

R$ 7,2 MILHÕES

R$ 1,5 MILHÃO

R$ 750 MIL

R$ 900 MIL

R$ 720 MIL X

3a Questão (Ref.: 201404052394)

Há muitos anos, numa região periférica da cidade, foi instalada uma pequena fábrica. Com o passar dos meses, surgiram residências ao seu redor. Hoje, passados 20 anos, a pequena fábrica transformou-se em uma grande indústria e o vilarejo em uma pequena cidade. Desta cidade, 15% dos habitantes trabalham na indústria, os demais 17.204 habitantes têm outras atividades, mas que, de alguma forma, têm ligações com a indústria.

Recentemente foi feito um levantamento do número de pessoas que habitam a cidade hoje, qual foi o número de habitantes encontrados e qual o número de pessoas que trabalham na indústria?

A cidade tem 14.623 habitantes e destes 2.193 trabalham na indústria

A cidade tem 25.806 habitantes e destes 3.870 trabalham na indústria

A cidade tem 20.240 habitantes e destes 2.580 trabalham na indústria

A cidade tem 20.240 habitantes e destes 3.036 trabalham na indústria X

A cidade tem 17.204 habitantes e destes 2.580 trabalham na indústria

4a Questão (Ref.: 201404087475)

Um sapato que custa R$ 300,00, sofreu dois descontos sucessivos de 10% e 15%. Hoje, o sapato custa:

R$ 229,50 X

R$ 225,00

R$ 245,50

R$ 275,00

R$ 220,50

5a Questão (Ref.: 201404083520)

Comprei um equipamento para minha empresa por R$ 5.000,00. Este equipamento foi vendido dias depois pelo valor de R$ 6.500,00. Qual a porcentagem de lucro obtida nesta venda em relação ao custo do equipamento?

15% 35% 30% X 20% 25%

6a Questão (Ref.: 201404085936)

Um revendedor que não possuía conhecimentos de matemática comprou uma impressora por R$ 2 000,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um freguês pediu um desconto, e o revendedor deu um desconto de 40% sobre o novo preço, pensando que, assim, teria um lucro de 10%. Na verdade, esse revendedor:

teve prejuízo de 200 reais. X

teve prejuízo de 100 reais.

não teve lucro nem prejuízo.

teve lucro de 200 reais.

teve lucro de 20%.

1a Questão (Ref.: 201404261301)

A função da reta que passa pelo ponto A ( 2, -4 ) e ter coeficiente angular igual a 3 é:

y = 3x - 10 X

y = 3x + 10

y = 3x - 2

y = 10x - 3

y = 3x + 2

2a Questão (Ref.: 201404117970)

Em uma fábrica, o custo para produzir determinado produto consiste em uma quantia fixa de 200 u.m. (unidade monetária) somada ao custo de produção, que é de 50 u.m. por unidade produzida. Se chamarmos de y o custo total de produção e de x o número de unidades produzidas, podemos representar a relação entre x e y por: y = 50x + 200. Considerando que o custo total for de 1.000 u.m., o número de unidades produzidas é:

16 X 1600 160 24 50200

2a Questão (Ref.: 201404272317)

A receita mensal em reais de uma fábrica é expressa por R= 10000 p - 1000 p^2, onde p é o preço de venda de cada unidade e p<10. A partir daí, qual o valor de p cobrado para se obter uma receita igual a R$25000,00?

R$4,00 R$5,00 X R$6,50 R$6,00 R$5,50

6a Questão (Ref.: 201404272465)

Sabendo que a função lucro de determinado produto é dado por L(x) = -50x2+1200x-30, determine a quantidade de produto a ser vendida de forma que o lucro seja máximo.

25 24 12 X 20 10 9°a

1a Questão (Ref.: 201404271698)

Em uma empresa, o custo de fabricação (C) em função da quantidade produzida (q) é dado pela seguinte função quadrática:

Qual a tendência de variação do custo com a quantidade quando a produção (q) é de 50 unidades?

510 X 0 13.100 850 260

2 - Rose é representante de vendas e recebe um salário mensal fixo de R$ 1300,00 mais uma parte que depende da comissão de 12% sobre o total de vendas que faz ao longo do mês. Sabendo que y representa o salário mensal e x o total de vendas, determine:

a) A lei de formação da função representada por y em função de x.

b) O salário que Rose receberá no mês de julho, caso tenha feito uma venda no valor de R$ 25.000,00.

Internet

Gustavo é representante comercial. Ele recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma fixa, no valor R$ 1.200,00, e uma variável, que corresponde a uma comissão de 7% (0,07) sobre o total de vendas que ele faz durante o mês. X
Considere S o salário mensal e X o total da vendas do mês.

A) Qual é a variável dependente?
B) Qual é a lei da função ou fórmula que associa S a X?
C) se o total de vendas no mês de setembro foi de R$ 10.000,00,quanto Gustavo recebeu nesse mês?
D) O salário de Gustavo varia de forma diretamente proporcional ao total de vendas que ele faz durante o mês?

A) A variável é x, pois depende do quanto ele vender

B) S=1.200 + x*0,07

C) S= 1.200 + 10.000 * 0,07
S= 1.200 + 700
S= 1.900

D) Não. Pois ele tem uma parte do salario que é fixa.

Amanda é representante comercial. Ela recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma fixa, no valor de R$ 850,00, e uma variável, que corresponde a uma comissão de 3% sobre o total de vendas que ela faz durante o mês. Considere “S” o salário mensal e “x” o total das vendas do mês. Qual é a lei da função ou fórmula que associa “S” a “x” ?

A função salário e dada pela soma do valor fixo mas a comissão

S = 850 + 0,03x LEI DA FUNÇÃO

Fechamento

Neste conteúdo estudamos o que é função afim, que é representada por f(x)= ax+b, suas propriedades e gráfico. Em seguida, vimos a função modular e suas características. Por fim, aplicamos os conceitos estudados em situações-problema.

Nesta aula, você teve a oportunidade de:

• Identificar funções afins e modulares;

• Compreender os seus gráficos;

• Resolver problemas desses tipos de funções.

Referências

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.

IEZZI, Gelso. Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.

MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: ideias e desafios. 14. ed. São Paulo: Saraiva, 2007.

ABAD, Luis Felipe Silva. Coleção Pré-Vestibular Extensivo. São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A., 2014.

6 - Funções – quadrática e exponencial

Introdução

Neste material, iremos estudar as parábolas. Esta curva define uma função chamada função quadrática. Além disso, vamos estudar também a função exponencial.

Função quadrática

Para iniciar nosso estudo sobre função quadrática, veja o seguinte problema:

• Na festa de confraternização de uma empresa, havia x pessoas. Cada pessoa cumprimentou todas as outras uma única vez. Chamando de y o número total de saudações, determine a função que representa a situação apresentada. (IEZZI, 2011, p. 60).

Observe que a expressão y em função de x que representa o problema é:

Este é um exemplo de função quadrática ou função do 2ºgrau.

O gráfico de toda função quadrática é representado por uma curva chamada parábola, cujas características estudaremos a seguir.

A parábola pode apresentar a concavidade para baixo ou para cima, dependendo do sinal do coeficiente a. Veja:

Figura 1 - Figura 1 -Concavidade

Ao fazer x = 0, temos o ponto de interseção com o eixo Oy. Veja: f(x)=ax^2+bx+c. Como f(x)=y,temos: y= ax^2+bx+c. Logo, substituindo x = 0, teremos: y= a〖×0〗^2+b×0+c. Assim, y=c.

Ao fazer f(x) = 0, temos o ponto de interseção com o eixo Ox. Logo, ax^2+bx+c=0. Neste caso (f(x) = 0), temos o zero da função, ou seja, as raízes que representam a solução da equação do 2o grau ax^2+bx+c=0.

Com isto, dependendo do sinal que Δ assume, temos uma quantidade de raízes definidas da seguinte forma:

• Se Δ <0, não existem raízes reais. Logo, o gráfico não corta o eixo Ox.

Figura 2 - Figura 2 - Gráfico não corta eixo Ox.

• Se Δ =0, existem 2 raízes reais e idênticas. Logo, o gráfico tangencia o eixo Ox em um único ponto.

Figura 3 - Figura 3 -Gráfico corta eixo Ox em um único ponto

• Se Δ >0, existem 2 raízes reais e distintas. Logo, o gráfico corta o eixo Ox em dois pontos distintos.

Figura 4 - Figura 4 -Gráfico corta o eixo Ox em dois pontos distintos.

Também podemos calcular o valor máximo e mínimo em uma função quadrática. Basta determinarmos o vértice (V) da parábola (V (x_v,y_v), ponto em que a parábola atinge seu valor máximo ou mínimo).

Ilustrando na parábola, temos:

Figura 5 - Figura 5 -Máximo e Mínimo da Parábola

Podemos encontrar a aplicação destes conceitos nas mais diversas áreas do conhecimento, como: Física, Biologia, Matemática Financeira e Administração, quando tratamos de lançamento de projéteis, em processos de fotossíntese, lucros, prejuízos, entre outros.

Retomando o problema apresentado no início do tópico, vamos calcular quantos cumprimentos são dados, se tivermos 70 pessoas na confraternização. Veja que a função que expressa esta situação é:

Substituindo x = 70, teremos:

Portanto, 70 pessoas farão 2415 saudações.

Confira outra situação em que usamos a função quadrática.

- Marcos e Felipe adoram jogar futebol. Participando do campeonato patrocinado pela empresa em que trabalham, Marcos e Felipe empataram na artilharia deste campeonato com 3 gols cada um. Sabendo que um dos gols feito por Marcos foi julgado o mais técnico, e que a trajetória desta bola, após o chute, foi descrita por uma parábola definida pela função: y= -x^2+6x, (sendo y a altura, em metros, e x o tempo, em segundos), calcule o instante em que a bola, no chute a gol julgado o mais técnico, atinge sua altura máxima e também qual altura máxima esta bola atingiu.

Resposta comentada

Vamos utilizar o conceito de valor máximo da função, definido pelas expressões:

Temos que a= -1,b=6 e c=0. Substituindo nos pontos do vértice em que a função apresenta valor máximo, temos que:

Para calcular o instante (em segundos) em que a bola atinge sua altura máxima, utilizamos:

x_v=-b/2a x_v=-6/(2×(-1) )=3

Para calcular a altura máxima (em metros) que bola atinge, utilizamos:

y_v=-Δ/4a ⇒ y_v=-36/(4×(-1))=9

Portanto, a bola atinge a altura máxima de 9 metros em 3 segundos após o chute.

Os exercícios a seguir lhe ajudam a conferir se está entendendo o conceito apresentado. Tente resolvê-los!

1) Assinale as funções que são quadráticas:

a) y= 2x^2+1

b) y= -7x+4

c) y= x^2-6x+9

d) y= -5x^2+2x+5

2) Para cada função quadrática identificada no exercício 1:

a) Determine os coeficientes a, b e c.

b) Faça o estudo das raízes.

c) Determine os pontos máximo e mínimo, se existirem.

d) Trace os gráficos.

Internet

Considerando a função quadrática y = x² - 2x + 3, assinale a alternativa correta:

1) A função é decrescente.

2) O gráfico da função possui concavidade para baixo.

3) A função possui duas raízes reais iguais.

4) O vértice da parábola é V=(1,3).

5) O gráfico da função não intercepta o eixo y.

y = x² - 2x + 3

Sabemos que função da forma ax² + bx + c é uma parábola que tem concavidade voltada para cima sempre que o "a" seja positivo. Também sabemos que esta parábola terá um vértice para x = -b/2a ⇒ x = -(-2)/2(1) ⇒ x = 1. Substituindo este valor de "x" = 1 na expressão do trinômio obteremos a ordenada do vértice: (1)² -2(1) + 3 = 4 - 2 = 2

Analisando as alternativas apresentadas concluímos que nenhuma delas satisfaz.

Poderia ser a alternativa 4 [ O vértice da parábola é V = (1 3)] somente se f(x) = x² - 2x + 4 posto que, nessa situação, se substituíssemos o x=1 na expressão do trinômio obteríamos (1)² -2(1) + 4 = 3. Então V = (1 3) da alternativa 4 seria a solução.

1)errada

2)errada

3)∆=4-4.1.3. → ∆=-8 errada não existe raiz quadrada negativa no conjunto dos números reais.

4)Xv=-B/2.a. Xv=2/2=1

Yv=-∆/4a. Yv=12/4. Yv=3

uma observação: o ∆ é -8 ( 4 -12) ...então -∆/4a = 8/4 = 2... logo todas alternativas NÃO satisfazem... só seria alternativa 4) se a função fosse x² - 2x + 4.

Quais as raízes da função y = 2x² + 10x + 12?

a) – 2 e – 3

b) 0 apenas

c) – 2 apenas

d) – 3 apenas

e) 2 e 3

As raízes de uma função são encontradas fazendo y = 0 e calculando o valor de x na equação resultante. Observe:

y = 2x² + 10x + 12
0 = 2x² + 10x + 12

∆ = b² – 4·a·c
∆ = 10² – 4·2·12
∆ = 100 – 96
∆ = 4

x = – b ± √∆
2a

x = – 10 ± √4
2·2

x = – 10 ± 2
4

x’ = – 10 + 2 = – 8 = – 2
4 4

x’’ = – 10 – 2 = – 12 = – 3
4 4

Gabarito: Alternativa A.

Quais as coordenadas do vértice de uma parábola determinada pela função: y = x² + x – 6?

a) – 1 e – 6

b) – 0,5 e – 6,25

c) 1 e 6

d) 0,5 e 6,25

e) 1 e 6,25

Utilizando as fórmulas para calcular x_v e y_v, obtemos as seguintes coordenadas do vértice:

x_v = – b
2a

x_v = – 1
2·1

x_v = – 1
2

x_v = – 0,5

y_v = – ∆
4a

y_v = – (b² – 4·a·c)
4·a

y_v = – (1² – 4·1·[– 6])
4·1

y_v = – (1 + 24)
4

y_v = – 25
4

y_v = – 6,25

Gabarito: Alternativa B.

Um canhão dispara uma bala que sobe e, depois, desce, descrevendo em sua trajetória uma parábola, que é a altura da bala em função da distância percorrida por ela. A respeito dessa situação, assinale a alternativa correta.

a) A trajetória da bala do canhão será obrigatoriamente representada por uma função do tipo f(x) = ax² + bx.

b) A trajetória da bala do canhão terá um ponto de mínimo.

c) O coeficiente a, da função que descreve a trajetória da bala do canhão, será obrigatoriamente positivo.

d) As raízes dessa função representam os pontos de encontro da bala com o solo.

e) NDA.

a) Incorreta!

A trajetória da bala pode ser representada por qualquer função do segundo grau.

b) Incorreta!

A trajetória da bala de canhão terá um ponto de máximo.

c) Incorreta!

Como a bala sobe e, depois, desce, sua trajetória será uma parábola com concavidade voltada para baixo. Portanto, o coeficiente a deve ser negativo.

d) Correta!

e) Incorreta!

Gabarito: Alternativa D.

Um jogador de futebol chutou uma bola que teve sua trajetória descrita pela função f(t) = – t² + 9, em que t é o tempo em segundos e f(t) é a altura da bola no instante t, em metros. Qual a altura máxima alcançada por essa bola?

a) 7 m

b) 8 m

c) 9 m

d) 10 m

e) 11 m

Para encontrar a altura máxima da bola, basta calcular y_v dessa função:

y_v = – ∆
4a

y_v = – (0² – 4·(– 1)·9)
4·a

y_v = – (4·9)
4·(–1)

y_v = – (36)
– 4

y_v = 9

A altura máxima que essa bola atingiu foi 9 metros.

Gabarito: Alternativa C.

A função quadrática, ou função de 2º grau, representada graficamente por uma parábola, é aquela cuja equação é representada por y = a.x² + b.x +c, em que os valores a, b e c são denominados coeficientes. Determine os coeficientes "a" e "b" e escreva a equação da função quadrática, cujo gráfico passa pelos pontos (-2; 9) e (5; 2) e possui coeficiente c = - 3

Temos que substituir os valores de x e y que foram dados para montar um sistema e assim descobrir os valores de a e b:

A equação para o ponto x = -2 e y = 9:

9 = a(-2)² + b(-2) + (-3) (1)

Para o ponto x = 5 e y = 2

2 = a(5)² + b(5) + (-3) (2)

Resolvendo 1:

4a - 2b -3 = 9 => 4a - 2b = 12 => 2a - b = 6

Resolvendo 2:

25a + 5b - 3 =2 => 25a + 5b = 5 => 5a + b = 1

Somando as duas equações -------------------------------------------

7a = 7 => a = 1

Substitui o valor de a em uma das equações:

2.1 - b = 6

2 - 6 = b => b = -4

Logo, a = 1 e b = -4.

Considere a equação do segundo grau 3x² – 4x + q, na qual q representa um número inteiro. Sabendo-se que –3 é uma das raízes dessa equação, então o produto das duas raízes dessa equação é igual a

a) –6.
b) –13. X
c) 0.
d) 7.
e) 12.

Sabe-se que g é uma função par e está definida em todo domínio da função f, e a função f pode ser expressa por f(x) = x² + k . x . g(x).

Se f(1) = 7, qual o valor de f(-1)?

a) 7
b) 5
c) - 7
d) - 6
e) – 5 X

O gráfico de uma função quadrática, mostrado na Figura a seguir, intersecta o eixo y no ponto (0,9), e o eixo x, nos pontos (-2, 0) e (13, 0).

Se o ponto P(11,k) é um ponto da parábola, o valor de k será

a) 5,5
b) 6,5
c) 7
d) 7,5

. e) 9 X

Na próxima seção estudaremos a função exponencial. Este tipo de função pode ser encontrada em problemas que tratam do crescimento e decrescimento de fenômenos da natureza, assim como, situações que envolvem juro composto.

Função exponencial

Para iniciar nosso estudo sobre função exponencial, observe a seguinte situação:

• Uma maionese malconservada causou mal estar nos frequentadores de um clube. Uma investigação revelou a presença da bactéria salmonela, que se multiplica segundo a lei: n(t)=200×2at, em que n(t) é o número de bactérias encontradas na amostra de maionese t horas após o início do almoço e a é uma constante real. É possível calcular o número inicial de bactérias? (IEZZI, 2011, p. 103). Em alguns seres vivos microscópicos, como as bactérias, o crescimento acontece de forma exponencial. Por isso, é utilizada a função exponencial em problemas desse tipo.

O gráfico de uma função exponencial pode ser representado pela seguinte curva, chamada de curva exponencial

Figura 6 - Figura 6 -Gráfico da função f(x)=2x

Vamos resolver o problema da bactéria? Como é pedido o número inicial de bactérias, o tempo é zero. Assim, substituindo na função n(t)=200×2at em que t=0, temos:

n(t0 )=200×2^(a×0) n(t0 )=200×2^0 =200×1=200

Portanto, o número inicial de bactérias é 200.

A seguir mais exercícios para checar seu aprendizado. Confira!

1) Identifique qual das funções dadas representam funções exponenciais.

a) f(x)= 9x

b) f(x)= x2

c) f(x)= y(1/5)

d) f(x)= 〖1/2〗x

Função Exponencial

1- Identifique as funções exponenciais
[separados em espaços são os expoentes]

a) f(x)= (0,3) 2x
b) f(x)=2x 8
c) f(x)= 1 6x
d) f(x)= (8/5) x/7
e) f(x)= (-4) x
f) f(x)= 12 2/3x

Uma Função Exponencial é toda função do tipo f(x) = aˣ, definida para todo x real com a > 0 e a ≠ 0.

A função exponencial é utilizada para representar situações em que ocorrem grandes variações, e a incógnita (x) se localiza no expoente da função.

Elas podem ser classificadas em crescentes e decrescentes, de acordo com o valor do termo a.

Crescente para a base a maior que 1 (a > 1).

Decrescente para a base a maior que 0 e menor que 1 (0 < a < 1).

Exemplos:

f(x) = 2ˣ → função exponencial crescente, a = 2, a > 1.

f(x) = (1/2)ˣ → função exponencial decrescente, a = 1/2 = 0,5 , 0 < a < 1.

Assim, as funções que representam funções exponenciais são todas, exceto a letra b e a letra e.

a) f(x)= (0,3) 2x → decrescente

b) f(x)=2x 8 → não é função exponencial f(x) = aˣ

c) f(x)= 1 6x → decrescente

d) f(x)= (8/5) x/7 → crescente

e) f(x)= (-4) x → não é função exponencial, pois a = -4, a < 0.

f) f(x)= 12 2/3x → crescente

2) O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de certo experimento, é dado pela expressão n(t)=〖1200 × 2〗0,4t. Nessas condições, quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 38400 bactérias? (DANTE, 2014, p. 170).

A cultura terá 38400 bactérias 12 horas e 30 minutos após o início do experimento.

Para calcularmos o tempo necessário para que o número de bactérias chegue a 38400, basta substituirmos esse valor na expressão.

N(x) = 1200.2⁰'⁴ˣ

38400 = 1200.2⁰'⁴ˣ

2⁰'⁴ˣ = 38400

1200

2⁰'⁴ˣ = 32

Agora, vamos representar 32 como uma potência de base 2. Basta fazermos a decomposição em fatores primos.

32 / 2

16 / 2

8 / 2

4 / 2

2 / 2

32 = 2⁵

Substituindo, temos:

2⁰'⁴ˣ = 2⁵

Com bases iguais, podemos igualar os expoentes.

0,4x = 5

x = 5

0,4

x = 12,5

12 horas e 30 minutos.

Um pesquisador observou reprodução de determinado tipo de bactéria e percebi que a cada 20 minutos a quantidade bactérias duplicar. Sabendo Que no início da observação havia apenas uma bactéria, responda as questões:
a) Quantas bactérias havia após 2 horas de observação?
b) E ao final de 5 horas?

a) 64 bactérias

b) 32768 bactérias

Explicação:

a) 2h = 120 min

120 ÷ 20 = 6

Então, temos 6 "momentos" de duplicação das bactérias.

Como no início só havia 1 bactéria, temos:

1° 2° 3° 4° 5° 6°

2 4 8 16 32 64

Usando potência, faríamos assim: 2 é a base (pois o número de bactérias sempre está duplicando) e o expoente é o número de duplicações, no caso 6.

2⁶ = 64

b) 5h = 300 min

300 ÷ 20 = 15

Agora, temos 15 "momentos" de duplicação das bactérias.

Usando a potência, temos:

2¹⁵ = 32768

Fechamento

Neste tema você pode estudou que toda função do tipo f(x)=ax2+bx+c é chamada de função quadrática. E, toda função f(x)=ax é chamada de função exponencial. Estudou também como os gráficos de cada função são representados.

Nesta aula, você teve a oportunidade de:

•Aprender como resolver problemas que envolvem os conceitos matemáticos estudados.

Referências

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2014.

IEZZI, Gelson. Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.

MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: ideias e desafios. 14. ed. São Paulo: Saraiva, 2007.

SILVA, Eduardo Quintas da; ABAD, Luis Felipe Silva. Coleção Pré-Vestibular Extensivo. São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A., 2014.

7 - Progressão Aritmética - PA

Introdução

As eleições para presidente no Brasil ocorrem de 4 em 4 anos. Vamos iniciar nossa contagem a partir de 1994. Desse modo, temos a seguinte sequência de anos eleitorais. Veja: 1994 – 1998 – 2002 – 2006 – 2010 – 2014. Perceba que esses números formam uma sequência numérica, pois possuem uma lei de formação bem definida, ou seja, sempre ocorrem de 4 em 4 anos. Esse exemplo pode ser representado por progressão aritmética, também conhecida como PA. A PA é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r.

Sequência numérica

Chamamos de sequência a todo conjunto em que seus elementos estão dispostos em determinada ordem. Quando todos os elementos de uma sequência são números reais ), a sequência é denominada sequência numérica, podendo ser finita ou infinita.

Uma sequência de n elementos é indicada por: com Todos elementos de uma sequência pertencem ao conjunto dos números reais.

São exemplos de sequências numéricas: anos em que acontecem a Copa do Mundo e as Olimpíadas, anos bissextos, entre outros.

Progressão aritmética (PA)

Observe a sequência 5, 10, 15, 20, 25, ... A diferença entre quaisquer dos termos consecutivos dessa sequência é sempre igual a 5 (10 – 5 = 5; 15 – 10 = 5; 20 – 15 = 5).

Dessa forma, chamamos de progressão aritmética (PA) toda sequência de números reais em que a diferença entre um termo qualquer (a partir do segundo) e o termo antecedente é sempre a mesma (constante). Essa constante é chamada razão da PA e indicada por r.

Podemos classificar uma progressão aritmética em crescente, decrescente ou constante. Veja alguns exemplos para ajudá-lo a entender como classificamos uma PA.

• (3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ...) PA crescente, pois a razão dessa PA é igual a 1, logo r > 0. Toda PA cuja razão é maior que zero (r > 0) é classificada como PA crescente. (9 – 8 = 1; 8 – 7 = 1; 7 – 6 = 1 e assim sucessivamente)

• (14, 12, 10, 8, 6, 4, ...) PA decrescente, pois a razão dessa PA é igual a – 2, logo r < 0. Toda PA cuja razão é menor que zero (r < 0) é classificada como PA decrescente. (4 – 6 = – 2 ; 6 – 8 = – 2 ; 10 – 12 = –2 e assim sucessivamente)

• ( 7, 7, 7, 7, 7,...) PA constante, pois a razão é igual a zero (r = 0). Toda PA cuja razão é igual a 0 (r = 0) é classificada com PA constante. (7 – 7 = 0; 7 – 7 = 0 e assim sucessivamente)

Toda PA apresenta uma fórmula geral que é utilizada na resolução de problemas que envolvem esse conceito, que é dada por:

Em que:

Veja a seguinte situação:

• A empresa X observou que o recebimento de currículos para análise em seu departamento de RH aumentava mensalmente segundo uma PA de razão 30. Se, em janeiro, recebeu 120 currículos, quantos currículos a empresa recebeu em março daquele ano?

Vamos resolver?

O recebimento mensal desse currículo forma uma PA com uma razão igual a 30 (, e primeiro termo igual a 120 (). Sendo assim, temos que descobrir o terceiro elemento () dessa PA, pois março é o terceiro mês do ano.

Utilizando a fórmula geral da PA, temos: . Logo, substituindo os valores dados, ficamos com:

Assim, essa empresa recebeu, em março daquele ano, 180 currículos.

Aproveitando a mesma situação, vamos analisar o seguinte: essa empresa precisa fazer um levantamento de quantos currículos receberá ao longo de 1 ano. Para ajudá-la nessa segunda questão, precisamos utilizar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA.

Desse modo, a empresa X receberá, ao longo de um ano, 3.420 currículos.

Ainda podemos determinar uma PA quando conhecemos seus elementos. A partir da definição de PA já apresentada anteriormente, escrevemos uma representação que ajuda na resolução de problemas. Observe:

Uma PA com três termos pode ter a seguinte representação: Para uma PA com cinco termos, escrevemos:

Veja um exercício para entender melhor

• Os salários de 5 empregados em uma determinada empresa estão em PA. Se o segundo e quinto

funcionários recebem, respectivamente, R$ 2.500,00 e R$ 4.000,00, quanto recebe o primeiro funcionário? Podemos escrever essa PA da seguinte forma:. O primeiro termo dessa PA é 2.500, o quinto é 4.000, que também é igual a . Assim, temos: . Com isso, podemos calcular a razão dessa PA. Veja:

Para calcular o salário do primeiro funcionário, utilizamos como sendo o primeiro termo desta PA. Dessa forma, temos:

Portanto, o salário do primeiro funcionário é R$ 2.000,00.

Resolva os exercícios a seguir e verifique se está compreendendo

1) Fabrício trabalha para seu João entregando panfletos na rua. Resolveu fazer uma proposta para seu empregador tentando ganhar um salário diferente do quem vem ganhando em alguns meses. O salário que João paga para Fabrício é de R$ 300,00 por mês. A proposta foi a seguinte: Fabrício disse a João que gostaria de receber um pouco do salário por dia. R$ 1,00 no primeiro dia de cada mês e, a cada dia subsequente, receberia R$ 1,00 a mais do que no dia anterior. O empregador concordou, mas, depois de um tempo, verificou que saiu no prejuízo. Com base na proposta de Fabrício, calcule quanto Fabrício receberá a mais do que receberia com o salário de R$ 300,00, levando em conta um mês com 30 dias.

2) Breno parou em um estacionamento por 5 horas. Calcule quanto ele gastará sabendo que os valores, a partir da segunda hora, seguem uma progressão aritmética com o estabelecimento cobrando R$ 6,00 na primeira hora, R$ 4,00 na segunda hora e R$ 0,50 na sétima hora.

Internet

Um estacionamento cobra R$5,00 pela primeira hora e R$1,00 para cada hora adicional de permanência até o valor máximo de R$15,00.
a) Sendo X a quantidade de horas adicionais que um carro ficou estacionado, escreva uma expressão algébrica que represente o valor a ser pago em função das horas estacionadas. Para essa expressão, X pode assumir valor igual a 10? Por que?
b) Se um automóvel ficou estacionado 4 horas nesse local, quanto o proprietário terá que pagar?
c) E se um automóvel ficar estacionado por um período de 12 horas, qual será o valor pago?

a) 5 + X

Sim. Pois qualquer hora adicional de permanência pode ocupar o valor de x.

b) 5+4 =9 reais

c) 5+12=17 reais

O valor cobrado por um estacionamento é de R$ 8,00 pela primeira hora e 2,00 a cada hora, isso é, se exceder 30minutos será cobrado 1 hora cheia

a-calcule o valor a ser pago pelo usuário que deixar o carro estacionado por

.3h

.4h 20 min

.10h

b)Escreva a lei de formação que permite calcular o valor de y a ser pago em função do número de horas excedentes x que o carro fica no estacionamento

c)quando tempo um carro ficou no estacionamento se pagou um valor R$ 24,00?

.R$ 14,00

.R$ 16,00

.R$ 26,00

b)x é as horas e y os valores então:

y= x . 2,00+8,00

por exemplo:

x= 2 horas

y= R$2,00 + R$8,00

y= 2 . 2 + 8 = R$ 12,00

c)8 horas

y= 8 . 2 + 8 = R$ 24,00

Fechamento

Neste aula aprendemos o que é sequência numérica e também o que é progressão aritmética. Vimos como resolver problemas de PA utilizando-se de uma fórmula.

Nesta aula, você teve a oportunidade de:

• Conhecer a fórmula do termo geral de uma PA;

• Entender a fórmula geral da soma dos termos de uma PA;

• Compreender como as classificações de PA.

Referências

DANTE, L. R. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.

IEZZI, G. Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.

SILVA, E. Q.; ABAD, L. F. S. Coleção Pré-Vestibular Extensivo. São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A., 2014.

8 - Progressão Geométrica - PG

Introdução

Nesta aula estudaremos a progressão geométrica, também conhecida como PG. Uma progressão geométrica é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante, chamada de razão da progressão geométrica. Parece complicado, mas não é!

Veja a situação:

• Um professor titular da Universidade Indústria do Saber recebia R$ 2.000,00 por mês de salário no ano de 2010. O acordo feito de reajuste salarial entre as partes foi o seguinte: o valor do salário seria reajustado em 10% ao ano, nos 4 anos subsequentes sobre o salário do ano anterior. Vejamos uma tabela que representa o reajuste do salário do professor:

Vamos primeiro dividir os valores de dois termos consecutivos dessa sequência. Observe, a seguir, que os quocientes das divisões efetuadas serão todos iguais.

Figura 2 - Tabela 2 - Encontrando a razão da PG

Os salários correspondentes a cada ano representam uma sequência numérica que obedecem a uma lei de formação, em que cada termo (a partir do segundo) é obtido por meio da multiplicação do termo anterior por um fator fixo, denominado razão (q). Chamamos essa sequência de progressão geométrica (PG).

FIQUE ATENTO

__________________________________________________________________________

Define-se progressão geométrica (PG) como uma sequência de números reais não nulos em que o quociente entre um termo qualquer (a partir do segundo) e o termo antecedente é sempre o mesmo (constante). Essa constante é chamada razão da PG e indicada por q.

_____________________________________________________________________________

Uma progressão geométrica pode ser classificada em crescente, decrescente ou alternada (oscilante). Veja os seguintes exemplos:

Agora, retornaremos ao problema do professor universitário, pois ele deseja saber qual será seu salário em 2020. Vamos ajudá-lo? Para isso, precisamos conhecer a fórmula do termo geral da PG.

No exemplo dado, temos que:

Para calcular o salário do professor no ano de 2020, devemos calcular o décimo primeiro termo dessa PG (), uma vez que 2020 ocupa a décima primeira posição, a partir do termo inicial (2010). Para isso, utilizamos a fórmula do termo geral da PG.

Podemos concluir, então, que o salário desse professor em 2020 será de R$ 5.180,00.

Entretanto, esse professor é muito curioso. Sendo assim, ele quer saber a soma dos seus vencimentos nos anos de 2010, inclusive, até 2014, sem precisar fazer muitos cálculos. Será possível? Claro!

Para ajudar o professor a encontrar a soma desejada, primeiro precisamos calcular o que representa a soma (uma parcela de cada ano) dos salários recebidos de 2010 até 2014.

Mas não terminamos ainda! Considerando que ele recebeu 12 meses de salário, é preciso multiplicar o valor encontrado em por 12. Logo, temos que:

Assim, a soma de todos os salários mensais recebido por esse professor de 2010 até 2014 é aproximadamente R$ 146.400,00.

Que tal mais uma atividade para você verificar se está aprendendo?

• Luiz Marcelo comprou um carro e pagou em 7 parcelas crescentes. A primeira prestação foi de R$ 1.000,00 e cada parcela subsequente o dobro da anterior. Determine qual foi o valor total do carro pago por Luiz Marcelo.

Temos que encontrar o .Veja:

Sabemos que: = 1.000 e q = 2

Portanto, o carro custou R$ 127.000,00.

Tente resolver os exercícios de PG a seguir.

1) Marta foi contratada por uma empresa e seu salário inicial é de R$ 1.200,00. Supondo que Marta receberá um aumento de 5% a cada mês, qual será seu salário daqui a 6 meses?

2 Na época de Natal, Lohana foi contratada para trabalhar em uma loja de roupas de segunda a sábado. A proprietária da loja ofereceu um salário um pouco diferente. No primeiro dia, o salário seria de R$ 1,00 e, nos dias subsequentes, seria o dobro do que recebeu no dia anterior. Calcule quanto Lohana recebeu em 12 dias de trabalho.

Internet

Nos dias que antecederam o Natal, Jorge foi convidado para trabalhar por 13 dias como vendedor temporário em uma loja de roupas. O salário proposto pelo chefe foi R$ 1,00 pelo primeiro dia de trabalho e nos dias seguintes o salário seria o dobro do que ele recebera no dia anterior. Jorge não hesitou e aceitou o trabalho!

O salário total que Jorge receberá após os 13 dias de trabalho será:

Escolha uma:

a. R$ 8191,00.

b. R$ 2191,00.

c. R$ 221,00.

d. R$ 1191,00.

e. R$ 4291,00.

1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048+4096=A resposta correta é: R$ 8.191,00

Fechamento

Neste aula estudamos a progressão geométrica, seu conceito e sua fórmula. Também vimos problemas e como resolve-los a partir da aplicação de fórmulas.

Nesta aula, você teve a oportunidade de:

• Entender o termo geral de uma PG;

• Aplicar a fórmula geral da soma dos termos de uma PG;

• Compreender as classificações da PG.

Referências

DANTE, L. R. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.

IEZZI, G. Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.

SILVA, E. Q.; ABAD, L. F. S. Coleção Pré-Vestibular Extensivo. São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A., 2014.

9 - Porcentagem - percentuais, acréscimos e decréscimos

Introdução

Com frequência, utilizamos expressões que apresentam termos como: acréscimos, aumentos, descontos e reduções, tomando por base 100 unidades. Essas expressões são parte do estudo da porcentagem, que pode ser aplicada por meio de percentuais, acréscimos e decréscimos, temas dessa aula.

Conceito

Vamos iniciar este tema apresentando as diversas maneiras de escrever um número na forma de porcentagem.

FIQUE ATENTO

______________________________________________________________________________

Todo número escrito na forma de porcentagem pode ser representado por uma razão com denominador 100, recebendo, dessa forma, o nome de razão centesimal.

______________________________________________________________________________

Podemos representar a porcentagem na forma de número decimal e, ainda, na forma de fração irredutível, quando possível. Acompanhe os seguintes exemplos:

Veja, a seguir, situações em que ocorre a porcentagem.

Deveria começar por percentual de um valor, exemplo, quanto é 30% de 80 m?

Resposta: 30% x 80 = 0,3x80 = 24

Percentual de uma quantidade

Marcos precisa ler 120 relatórios. Já leu 20%. Quantos relatórios ainda faltam para ler?

Primeiro, vamos calcular quanto representa 20% de 120. Veja:

- Dessa forma, Marcos já leu 24 relatórios e ainda faltam ler 96.

Acréscimos/aumentos

Agora, suponha a seguinte situação: todo ano, os salários dos professores sofrem um acréscimo com base na inflação anual. Caso a inflação tenha sido de 4,5% naquele ano, qual será o valor reajustado do salário de um professor que ganha por mês R$ 1.850,00?

FIQUE ATENTO

__________________________________________________________________________

Como se trata de acréscimo, o cálculo do percentual sobre o valor dado é adicionado.

__________________________________________________________________________

Para isso, vamos calcular, primeiro, quanto é 4,5% sobre o salário de 1.850 reais. E depois, adicionar os valores.

Veja:

Logo, o salário do professor após o reajuste será de 1.850 + 83,25 = R$ 1.933,25.

Como se trata de acréscimo, podemos calcular de uma forma mais rápida. Observe:

O salário do professor representa 100% e o percentual de reajuste (acréscimo que o salário sofrerá) é de 4,5%.

Vamos escrever 100% e 4,5% na forma de fração ou de número decimal:

Como desejamos calcular o acréscimo de 4,5% sobre o salário que representa 100%, basta adicionar essas porcentagens e multiplicar pelo valor do salário que o professor recebe que encontraremos o resultado imediato.

Veja:

Descontos/Decréscimos

Suponha que, por conta do início da safra, o preço do tomate sofreu um decréscimo de 28% no mês de setembro em um determinado ano. Sabendo que, em fevereiro, o valor do quilo do tomate era de R$ 6,00, calcule qual o valor do quilo do tomate após sofrer esse decréscimo.

FIQUE ATENTO

________________________________________________________________________

Como se trata de acréscimo, o cálculo do percentual sobre o valor dado é adicionado.

____________________________________________________________________________

Para isso, vamos calcular, primeiro, quanto é 28% de 6 reais. E depois, subtrair os valores. Veja:

Para calcular o valor do quilo do tomate após o decréscimo, basta subtrair 6 – 1,68 = 4,32.

Logo, o valor do quilo do tomate em setembro de um determinado ano é de R$ 4,32.

De forma análoga ao feito em III, utilizamos o mesmo raciocínio para calcular rapidamente o decréscimo/desconto sobre o valor de algo. Veja como ficaria neste exemplo:

SAIBA MAIS

______________________________________________________________________________

Desse modo, podemos utilizar uma fórmula geral para cálculos de acréscimos/aumentos e decréscimos/descontos sobre determinada quantidade ou determinado valor. Veja:

Em que P representa a quantidade/valor final, x representa a taxa percentual e representa a quantidade/valor inicial.

______________________________________________________________________________

Fechamento

Neste tema, você aprendeu que um número escrito na forma de porcentagem pode ser escrito na forma de fração centesimal, em que o denominador é sempre 100 e o numerador o valor do percentual. Também viu as situações em que a porcentagem representa acréscimo ou desconto.

Nesta aula, você teve a oportunidade de:

• Aprender o que são números percentuais;

• Resolver operações de porcentagem.

Referências

CRESPO, A. A. Matemática Financeira Fácil. 14. ed. São Paulo: Saraiva, 2011.

DANTE, L. R. Matemática. 1. ed. São Paulo: Ática, 2012.

______. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013

10 - Porcentagem – Acréscimos, decréscimos sucessivos e cálculos de juros

Introdução

Com frequência, utilizamos expressões que apresentam termos como: acréscimos, aumentos, descontos e reduções, tomando por base 100 unidades. A porcentagem está presente em diversas situações do nosso cotidiano. Nesta aula veremos acréscimos e decréscimos sucessivos e a fazer cálculos de juros!

Acréscimos e decréscimos sucessivos

Para entender este item, vamos levar em conta a seguinte situação:

• Antônio comprou um carro novo por R$ 45.000,00. Após dois anos e meio, precisou vendê-lo e, para isso, foi pesquisar qual o valor do seu automóvel depois desse tempo. Descobriu que o valor do carro sofreu depreciação de 10% e 7% nos 2 primeiros anos, respectivamente. Qual foi o valor desse veículo após a depreciação?

No caso de acréscimos/decréscimos sucessivos, vamos utilizar a seguinte fórmula:

Sendo assim, temos que: (preço inicial) = 45.000. A primeira taxa é de 10%, ou seja, 0,1 e a segunda taxa é de 7%, ou seja, 0,07.

Logo, utilizando a fórmula, temos que:

37.665

FIQUE ATENTO

______________________________________________________________________________

No exemplo dado, utilizamos o conceito de decréscimo sucessivo. Para situações em que ocorrem acréscimos sucessivos, a resolução é análoga à apresentada, só que os valores são somados. Fique atento!

______________________________________________________________________________

Acompanhe a situação a seguir:

• Um salão de beleza reajusta o preço de seus produtos semestralmente. Por conta desses valores

reajustados, o preço de um determinado serviço sofreu acréscimos sucessivos de 5% e 8,5% ao longo de um ano. Determine o valor final desse serviço, que, anteriormente, custava R$ 150,00.

Utilizando a fórmula para cálculo de acréscimos sucessivos, temos:

Em que(preço inicial) = 150. A primeira taxa é de 5%, ou seja, 0,05 e a segunda taxa é de 8,5%, ou seja, 0,085.

Substituindo os valores, temos:

170,89

Portanto, o valor final desse serviço é de R$ 170,89.

Uso de porcentagem no cálculo de juro

O juro simples é sempre calculado em relação ao capital inicial, período a período. Assim, o valor do juro é constante a cada período de tempo, ou seja, não se altera.

Veja a seguinte situação:

•Ana foi ao banco e aplicou R$ 5.000,00 com juro simples de 4% ao mês. Qual será o valor total que receberá ao final de 7 meses de aplicação? 4% de 5.000 é 200 x 7 = 1.400 5.000+ 1.400= 6.400

Para resolver essa situação, podemos calcular o percentual de 4% sobre o valor de 5.000 e depois multiplicar pelo tempo de aplicação. Acompanhe:

Agora multiplicamos o valor do juro encontrado por 7, que foi o tempo que o seu dinheiro ficou aplicado. Veja:

Para saber o valor total que Ana receberá, basta adicionar o valor do juro encontrado durante o tempo de aplicação com juro simples ao valor inicial aplicado. Observe:

Portanto, Ana receberá R$ 6.400,00.

FIQUE ATENTO

____________________________________________________________________________

Juro simples é a quantia calculada sobre a aplicação de um capital (dinheiro) ao final de um ou mais períodos de aplicação. Nesse caso, ao final de cada período de aplicação, o juro não é incorporado ao capital, mesmo que o dinheiro continue aplicado.

______________________________________________________________________________

Portanto,

• A dívida que uma pessoa contrai ou a quantia que uma pessoa investe chama-se capital.

• A soma do capital com os juros, por sua vez, é chamada de montante (capital + juros).

• E, por fim, a taxa de porcentagem que se paga pelo empréstimo do dinheiro chama-se taxa de juros.

FIQUE ATENTO

_________________________________________________________________________

Lembre-se de que a taxa percentual pode ser escrita na forma decimal ou fracionária.

____________________________________________________________________________

SAIBA MAIS

___________________________________________________________________________

A taxa percentual e o período de tempo devem sempre estar na mesma unidade.

______________________________________________________________________________

No caso de juro composto, a lógica é a mesma dos aumentos sucessivos, ou seja, o juro é somado ao capital para o cálculo de juros nos períodos seguintes. Utilizando a situação-problema a seguir, podemos entender melhor.

Veja:

•Fernando aplicou R$ 4.000,00 em um banco que paga juro composto de 2% ao mês. Qual será seu montante depois de 3 meses de investimento? 4% de 4.000= 160 3% de 4.000= 120 2% de 4.000= 80

Vamos aos cálculos? Como se trata de juros compostos, utilizamos a fórmula apresentada em acréscimos sucessivos. Acompanhe:

Em que(preço inicial) = 4.000. A taxa é de 2% ao mês, ou seja, 0,02.

Substituindo os valores, temos:

4244,83

Decorridos 3 meses, Fernando terá um montante de R$ 4.244,83.

SAIBA MAIS

___________________________________________________________________________

Juro é a quantia calculada sobre a aplicação de um capital (dinheiro) ao final de um ou mais períodos de aplicação. No caso de juros compostos, ao final de cada período de aplicação, o

juro é incorporado ao capital.

___________________________________________________________________________

Chegou a vez de você verificar se está compreendendo os conceitos de porcentagem abordados. Assim, procure resolver os exercícios a seguir:

1) Laura ganha R$ 2.500,00 por mês. Utiliza 35% do seu salário para pagar o aluguel do seu imóvel. Quanto sobra do salário de Laura? 2.500 x 35 = 875.00 – Corta duas casas 35% de 2.550= 875 2.550 – 875= 1.625

2) Em certa cidade com 150 mil habitantes, 35% têm mais de 60 anos. Qual o número de habitantes que tem mais de 60 anos? 150.000 x 35= 52.500,00 35% de 150.000= 52.500

3) Sérgio irá vender seu automóvel, que sofreu 25% de depreciação ao longo de um ano. Qual o valor atual desse automóvel se o preço pago foi de R$ 38.450,00 na época da compra?

4) Um item sofre acréscimos sucessivos de 8% e 10% ao longo de certo período. Se o preço inicial desse item era de R$ 4.800,00, qual o seu valor final?

5) Ana aplicou, a juro simples, R$ 108.000,00 em 180 dias a uma taxa de 3,5% ao mês. Qual o valor que resgatou após esse tempo?

6) Se um determinado equipamento custava R$ 3.500,00 e passou a custar R$ 2.520,00, qual foi o percentual de desconto dado?

7) Certa carta de investimento rende 3,5% ao mês a juros compostos. Se Deise aplicar R$ 120.000,00 por um período de 5 meses, quanto obterá de rendimento?

8) Celma fez um empréstimo de R$ 6.000,00 a juros compostos de 2,6% ao mês. Após 4 meses, qual é o valor devido por Celma?

Exemplo 1

O preço de custo de uma mercadoria é de R$ 210,00. Para que se tenha um lucro de 20% na venda dessa mercadoria, por quanto devo vendê-la?

Cálculo
20% = 20/100 = 0,2
20% de 210
0,2 x 210 = 42

210 + 42 = 252

Devemos vendê-la por R$ 252,00 para que se tenha um lucro de 20%.

Exemplo 2

Uma calça custa R$ 82,00. O desconto para pagamento à vista e no dinheiro de 15%. Qual é o preço da calça dentro dessa condição?

Cálculo
15% = 15/100 = 0,15
15% de 82
0,15 x 82 = 12,3

82 – 12,3 = 69,7

O preço da calça para pagamento à vista e no dinheiro é de R$ 69,70.

Exemplo 3

Quanto devo pagar por um terreno a prazo se comprando à vista ganho um desconto de 4% equivalente a R$ 1.600,00?

Cálculo
4% = 4/100

Exemplo 4

O preço de uma televisão à vista é de R$ 825,00. Em quatro prestações mensais iguais ela sofre um aumento de 8%. Qual o valor de cada prestação e quanto pagará de juros uma pessoa que decidir comprar a prazo?

Resolução
8% = 8/100 = 0,08
8% de 825
0,08 x 825 = 66

825 + 66 = 891

Preço a prazo R$ 891
Dividido em 4 vezes (891 / 4)
Cada prestação terá o valor de R$ 222,75

A pessoa que decidir comprar a prazo pagará R$ 66,00 de juros.

Exemplo 5

Numa promoção o preço de um objeto foi reduzido de R$ 112,00 para R$ 84,00. De quantos por cento foi redução?

Resolução
112 – 84 = 28

28 em 112
28/112 = 0,25
0,25*100 = 25%

A redução foi de 25%.

Fechamento

Nesta aula estudamos acréscimo e decréscimo sucessivos e também vimos como calcular juro. Lembrando que juro é o valor que se paga ou recebe por um capital (C), emprestado ou aplicado, a uma taxa combinada por um período de tempo determinado, e que este pode ser calculado como juro simples ou como juros compostos, dependendo da situação.

Nesta aula, você teve a oportunidade de:

• Aplicar acréscimo e decréscimo em um problema-solução;

• Resolver questões de cálculos de juros.

Referências

CRESPO, A. A. Matemática Financeira Fácil. 14. ed. São Paulo: Saraiva, 2011.

DANTE, L. R. Matemática. 1. ed. São Paulo: Ática, 2012.

______. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.

IEZZI, G. Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011

SILVA, E. Q.; ABAD, L. F. S. Coleção Pré-Vestibular Extensivo. São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A., 2014.

SOUZA, P. S. Matemática Financeira no Ensino Básico no Município de Montanha. Dissertação de Mestrado. Universidade Federal do Espírito Santo, São Mateus, 2011.

11 - QUESTÕES DE CONCURSOS PÚBLICOS PASSADOS

I - Divisão proporcional, regra de três simples e composta, regra de sociedade e porcentagens

1. (ESAF/92) Uma empresa deseja investir um total de $ 135.000,00 divididos entre duas aplicações. Um dos diretores acha que a divisão deve ser feita em partes proporcionais diretamente a 2/3 e 4/7 enquanto outro acha que as partes devem ser diretamente proporcionais a 2/21 e 4/9. Por fim decidem dividir o dinheiro em duas partes que sejam, simultaneamente, diretamente proporcionais a 2/3 e 4/7 e também a 2/21 e 4/9. Qual será o valor investido em cada uma das duas aplicações?

a) $ 27.000 e $ 108.000

b) $ 35.000 e $ 100.000

c) $ 40.000 e $ 95.000

d) $ 25.000 e $ 110.000

e) $ 30.000 e $ 105.000

Resposta: (a)

Solução

Na divisão proporcional compostas, isto é, a dois números, simultaneamente, divide-se pelo produto desses números, da seguinte maneira:

Para encontrar a primeira parte divide-se o valor $135.000 proporcionalmente a :

2/3 × 2/21 = 4/63

Para encontrar a segunda parte, divide-se proporcionalmente a: 4/7 × 4/9 = 16/63

Dividir em partes diretamente proporcionais a 4/63 e 16/63 é o mesmo que dividir proporcionalmente a 4 e 16. Assim, temos:

1ª parte: 135.000 × 4 = 27.000,00

2ª parte: 135.000 × 16 = 108.000,00

2. (TTN/92) Duas pessoas devem dividir entre si a importância de $ 180.000.000,00 A primeira pretende receber 2/3 da importância total e a segunda acha tem direito a receber $ 72.000.000,00.

Por fim concordaram em dividir importância total proporcionalmente às respectivas pretensões.

Quanto recebeu cada uma?

a) $ 120.000.000,00 e $ 60.000.000,00

b) $ 115.500.000,00 e $ 64.500.000,00

c) $ 112.500.000,00 e $ 67.500.000,00

d) $ 108.000.000,00 e $ 72.000.000,00

e) $ 96.000.000,00 e $ 84.000.000,00

Resposta: (c)

3. (TTN/92) A família A, de cinco pessoas, e a família B, de quatro pessoas, combinaram passar férias numa casa de campo, dividindo as despesas de forma diretamente proporcional ao número de pessoas de cada uma. Terminadas as férias, verificou-se que a família A pagara $ 842.400,00 do total das despesas e a família B, $ 934.200,00, razão pela qual tiveram que fazer um acerto de

contas. Que quantia a família A teve que dar à família B?

a)$ 91.800,00

b) $ 144.600,00

c) $ 197.400,00

d) $ 240.000,00

e) $ 475.200,00

Resposta: (b)

Solução:

O total das despesas é $ 842.400 + $934.200 = 1.776.600. Dividido proporcionalmente ao numero de pessoas das famílias, ou seja, a 5 e 4 pessoas, temos:

Família A (5 pessoas) Família B (4 pessoas)

1.176.600 × 5 = 987.000 1.176.600 × 4 = 789.600

9 9

Se à família A coube, proporcionalmente, $ 987.000, mas e ela pagou $ 842.400, então deve complementar o pagamento, pagando $ 144.600,00:

987.000 – 842.400 = 144.600,00

Se à família B coube, proporcionalmente, $ 789.600, mas e ela pagou $ 934.200, então deve receber de troco $ 144.600,00:

934.200 – 789.600 = 144.600,00

Concluindo: a família A deve pagar à família B a importância de 144.600,00

4. (TTN/92) Um prêmio de $ 152.000,00 será distribuído aos cinco participantes de um jogo de futebol de salão, de forma inversamente proporcional ao número de faltas de cada jogador. Quanto caberá a cada um, se os números de faltas foram 1, 2, 2, 3 e 5 respectivamente?

a) $ 60.000,00; $ 30.000,00; $ 30.000,00; $ 22.000,00; $ 10.000,00

b) $ 60.000,00; $ 30.000,00; $ 30.000,00; $ 20.000,00; $ 12.000,00

c) $ 58.100,00; $ 35.800,00; $ 23.200,00; $ 23.200,00; $ 11.700,00

d) $ 42.000,00; $ 40.000,00; $ 40.000,00; $ 20.000,00; $ 10.000,00

e) $ 40.000,00; $ 38.000,00; $ 38.000,00; $ 24.000,00; $ 12.000,00

Resposta: (b)

5. (TTN/92) Um comerciante deseja premiar, no primeiro dia útil de cada mês, os três primeiros fregueses que chegarem ao seu estabelecimento, dividindo $ 507.000,00 em partes inversamente proporcionais a 9/4, 5/3 e 1,2. Nessas condições, o prêmio de menor valor a ser pago será de

a) $ 110.000,00

h) $ 118.905,54

c) $ 225.000,00

d) $ 222.947,88

e) $ 120.000,00

Resposta: (e)

6. (Analista de Finanças e Controle/STN/2005) Marcos descontou um título 45 dias antes de seu

vencimento e recebeu R$ 370.000,00. A taxa de desconto comercial simples foi de 60% ao ano.

Assim, o valor nominal do título e o valor mais próximo da taxa efetiva da operação são,

respectivamente, iguais a:

a) R$ 550.000,00 e 3,4% ao mês

b) R$ 400.000,00 e 5,4% ao mês

c) R$ 450.000,00 e 64,8% ao ano

d) R$ 400.000,00 e 60% ao ano

e) R$ 570.000,00 e 5,4% ao mês

Resposta: b

Solução:

A=N(1-in) à N= A

1-in

Em que:

A= Valor atual ou valor líquido

N = Valor nominal

i = taxa

n = prazo

Transformando os dados para referência mensal temos:

n = 45 dias à 1,5 mês

i = 60% a.a. à 5 % ao mês (0,05, em termos de taxa unitária)

N = 370.000 = 370.000 = 400.000,00

1-1,5 × 0,05 0,925

Sendo o desconto igual a R$ 30.000 (R$ 400.000 – R$ 370.000), para cálculo da taxa efetiva é só determinar a taxa que o desconto representa sobre o valor líquido, no prazo de 1,5 mês, assim

i_e 30.000____ = 0,054 à 5,4% a.m.

370.000 ×1,5

7. (Auditor-Fiscal da Receita Federal/Esaf/2002) Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$

1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à taxa de 4% ao mês, juros simples, durante dois, três, quatro

e seis meses, respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação desses capitais.

a) quatro meses

b) quadro meses e cinco dias

c) três meses e vinte e dois dias

d) dois meses e vinte dias

e) oito meses

Resposta: (a)

Solução

Prazo médio = 2.000 × 2 + 3.000 × 3 + 1.000 × 4 + 3.500 × 6 = 38.000 = 4

2.000 + 3.000 + 1.000 + 3.500 9.500

8. (Auditor-Fiscal da Receita Federal/Esaf/2002) Os capitais de R$ 3.000,00, R$ 5.000,00 e R$

8.000,00 foram aplicados todos no mesmo prazo, à taxa de juros simples de 6% ao mês, 4% ao

mês e 3,25% ao mês, respectivamente. Calcule a taxa média de aplicação desses capitais.

a) 4,83% ao mês

b) 4,859% ao mês

c) 4,4167% ao mês

d) 3,206% ao mês

e) 4% ao mês

Resposta (e)

Solução

Prazo médio = 3.000 × 6 + 5.000 × 4 + 8.000 × 3,25 = 64.000 = 4

3.000 + 5.000 + 8.000 16.000

9. (Auditor-Fiscal da Receita Federal/Esaf/2003) Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$

4.000,00 e R$3.000,00 são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo, às taxas mensais de

6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação desses capitais.

a) 2,9%

b) 3%

c) 3,138%

d) 3,25%

e) 3,5%

Resposta (e)

Solução

Taxa média = 2.500 × 6 + 3.500 × 4 + 4.000 × 3 + 3.000 × 1,5 = 45.500 = 3,5 à 3,5

2.500 + 3.500 + 4.000 + 3.000 13.000

10. (TTN192) Certa sociedade constituída por 3 sócios, com o capital de $ 180.000,00, teve $ 25.200,00 de lucro. Sabendo-se que o sócio A entrou com 1/3 do capital, que o sócio B entrou com 2/5 e que o sócio C entrou com o restante, determinar o lucro de cada sócio.

a) $ 7.200,00; $ 9.500,00 e $ 8.500,00

b) $ 8.200,00; $ 8.500,00 e $ 8.500,00

c) $ 9.000,00; $ 10.200,00 e $ 6.000,00

d) $ 8.400,00; $ 10.080,00 e $ 6.720,00

e) $ 9.200,00; $ 10.000,00 e $ 6.000,00

Resposta: (d)

11. (TTN/92) Três pessoas formaram uma sociedade entrando com a mesma quantia, sendo que o capital da 1ª pessoa esteve empregado durante 2 anos, o da 2ª pessoa durante 3 anos e o da 3ª

pessoa durante 20 meses. Se o lucro auferido foi de $ 400.000.000,00, quanto receberá a 1ªpessoa, sabendo-se que ela ainda tem mais 10% do lucro, conforme contrato?

a) $ 108.000.000,00

b) $ 120.000.000,00

c) $ 148.000.000,00

d) $ 160.000.000,00

e) $ 200.000.000,00

Resposta: (c)

12. (TIN/92) Distribuir o lucro de $ 28.200,00 entre dois sócios de uma firma, sabendo que o primeiro aplicou $ 80.000,00 na sociedade durante 9 meses e que o segundo aplicou $20.000,00 durante 11 meses.

a) $ 18.000,00 e $10.200,00

b) $ 21.000,00 e $ 7.200,00

c) $ 20.000,00 e $ 8.200,00

d) $ 18.200,00 e $ 10.000,00

e) $ 21.600,00 3 $ 6.600,00

Resposta: (e)

13. (TIN/94) Dois amigos constituem uma sociedade, participando o 1º com R$ 10.000,00 e o 2º com R$ 8.000,00. Após 10 meses de existência da empresa, o 1º sócio aumentou seu capital em mais R$ 5.000,00. Decorridos 2 meses dessa data, o 2º sócio retirou R$ 2.000,00 de sua cota inicial. Sabendo-se que ao final de 2 anos apurou-se um lucro de R$ 23.900,00, ao 2º sócio coube a participação no lucro de R$

a) 8.400,00

b) 8.900,00

c) 8.800,00

d) 8.700,00

e) 9.200,00

Resposta: (a)

Solução

Para capitais diferentes e permanências também diferentes, divide-se resultado (lucro ou prejuízo) em partes proporcionais aos produtos dos capitais pelos tempos.

Considerando que o período a que se refere o resultado é 24 meses, temos:

O 1° sócio permaneceu com R$10.000,00 durante 10 meses, a partir daí aumentou para R$15.000,00 pelos 14 meses restantes;

O 2° sócio permaneceu com R$ 8.000,00 durante 12 meses, a partir daí reduziu para R$6.000,00

pelos 12 meses restantes.

Resumindo, temos:

1° sócio 10.000,00 10 meses 15.000,00 14 meses

2° sócio 8.000,00 12 meses 6.000,00 12 meses

Os produtos dos respectivos capitais pelos tempos de permanência são, portanto:

1° sócio	10.000,00	10 meses	15.000,00	14 meses
2° sócio	8.000,00	12 meses	6.000,00	12 meses

Os produtos dos respectivos capitais pelos tempos de permanência são, portanto:

1° sócio => 10.000,00 × 10 + 15.000,00 × 14 = 310.000,00

2° sócio => 8.000,00 × 12 + 6.000,00 × 12 = 168.000,00

Soma . . . . . . 478.000,00

Parte do 2° sócio no lucro => 23.900,00 × 168.000,00 = 8.400,00

478.000,00

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domingo, 3 de novembro de 2019

MÉTODOS QUANTITATIVOS MATEMÁTICOS

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