PARÂMETROS
CURRICULARES
NACIONAIS
MATEMÁTICA
Secretaria de Educação
Fundamental
Iara Glória Areias Prado
Departamento de Política
da Educação Fundamental
Virgínia Zélia de Azevedo
Rebeis Farha
Coordenação-Geral de
Estudos e Pesquisas da Educação Fundamental
Maria Inês Laranjeira
PARÂMETROS CURRICULARES
NACIONAIS (1ª A 4ª SÉRIE)
Volume 1 - Introdução aos Parâmetros
Curriculares Nacionais
Volume 2 - Língua Portuguesa
Volume 3 - Matemática
Volume 4 - Ciências Naturais
Volume 5 - História e Geografia
Volume 6 - Arte
Volume 7 - Educação Física
Volume 8 - Apresentação dos Temas Transversais
e Ética
Volume 9 - Meio Ambiente e Saúde
Volume 10 - Pluralidade Cultural e Orientação
Sexual
MINISTÉRIO
DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO
SECRETARIA
DE EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL
PARÂMETROS
CURRICULARES
NACIONAIS
MATEMÁTICA
Brasília
1997
AO
PROFESSOR
É com alegria que
colocamos em suas mãos os Parâmetros Curriculares Nacionais referentes às
quatro primeiras séries da Educação Fundamental.
Nosso objetivo é
auxiliá-lo na execução de seu trabalho, compartilhando seu esforço diário de fazer
com que as crianças dominem os conhecimentos de que necessitam para crescerem
como cidadãos plenamente reconhecidos e conscientes de seu papel em nossa
sociedade.
Sabemos que isto só será
alcançado se oferecermos à criança brasileira pleno acesso aos recursos
culturais relevantes para a conquista de sua cidadania. Tais recursos incluem
tanto os domínios do saber tradicionalmente presentes no trabalho escolar
quanto as preocupações contemporâneas com o meio ambiente, com a saúde, com a
sexualidade e com as questões éticas relativas à igualdade de direitos, à
dignidade do ser humano e à solidariedade.
Nesse sentido, o propósito
do Ministério da Educação e do Desporto, ao consolidar os Parâmetros, é apontar
metas de qualidade que ajudem o aluno a enfrentar o mundo atual como cidadão
participativo, reflexivo e autônomo, conhecedor de seus direitos e deveres.
Para fazer chegar os
Parâmetros à sua casa um longo caminho foi percorrido. Muitos participaram
dessa jornada, orgulhosos e honrados de poder contribuir para a melhoria da
qualidade do Ensino Fundamental.
Esta soma de esforços
permitiu que eles fossem produzidos no contexto das discussões pedagógicas mais
atuais. Foram elaborados de modo a servir de referencial para o seu trabalho,
respeitando a sua
concepção pedagógica
própria e a pluralidade cultural brasileira. Note que eles são abertos e
flexíveis, podendo ser adaptados à realidade de cada região.
Estamos certos de que os
Parâmetros serão instrumento útil no apoio às discussões pedagógicas em sua
escola, na elaboração de projetos educativos, no planejamento das aulas, na
reflexão sobre a prática educativa e na análise do material didático. E
esperamos, por meio deles, estar contribuindo para a sua atualização
profissional — um direito seu e, afinal, um dever do Estado.
Paulo Renato Souza
Ministro da Educação e do
Desporto
OBJETIVOS GERAIS DO ENSINO
FUNDAMENTAL
Os Parâmetros Curriculares
Nacionais indicam como objetivos do ensino fundamental que
os alunos sejam capazes
de:
• compreender a
cidadania como participação social e política, assim como exercício de direitos
e deveres políticos, civis e sociais, adotando, no dia-a-dia, atitudes de
solidariedade, cooperação e repúdio às injustiças, respeitando o outro e
exigindo para si o mesmo respeito;
• posicionar-se de maneira
crítica, responsável e construtiva nas diferentes situações sociais, utilizando
o diálogo como forma de mediar conflitos e de tomar decisões coletivas;
• conhecer características
fundamentais do Brasil nas dimensões sociais, materiais e culturais como meio
para construir progressivamente a noção de identidade nacional e pessoal e o
sentimento de pertinência ao País;
• conhecer e valorizar a
pluralidade do patrimônio sociocultural brasileiro, bem como aspectos
socioculturais de outros povos e nações, posicionando-se contra qualquer
discriminação baseada em diferenças culturais, de classe social, de crenças, de
sexo, de etnia ou outras características individuais e sociais;
• perceber-se integrante,
dependente e agente transformador ambiente, identificando seus elementos e as
interações entre eles, contribuindo ativamente para a melhoria do meio
ambiente;
• desenvolver o
conhecimento ajustado de si mesmo e o sentimento de confiança em suas
capacidades afetiva, física, cognitiva, ética, estética, de inter-relação
pessoal e de inserção social, para agir com perseverança na busca de
conhecimento e no exercício da cidadania;
• conhecer e cuidar do
próprio corpo, valorizando e adotando hábito saudáveis como um dos aspectos
básicos da qualidade de vida e agindo com responsabilidade em relação à sua
saúde e à saúde coletiva;
• utilizar as diferentes
linguagens — verbal, matemática, gráfica, plástica e corporal — como meio para
produzir, expressar e comunicar suas idéias, interpretar e usufruir das
produções culturais, em contextos públicos e privados, atendendo a diferentes
intenções e situações de comunicação;
• saber utilizar
diferentes fontes de informação e recursos tecnológicos para adquirir e
construir conhecimentos;
• questionar a realidade
formulando-se problemas e tratando de resolvê-los utilizando para isso o
pensamento lógico, a criatividade, a intuição, a capacidade de análise crítica,
selecionando procedimentos e verificando sua adequação.
ESTRUTURA
DOS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS
PARA O ENSINO FUNDAMENTAL
Os quadrinhos
não-sombreados correspondem aos itens que serão trabalhados nos Parâmetros
Curriculares Nacionais de quinta a oitava série.
SUMÁRIO
Apresentação....................................................................................................................15
1ª PARTE
Caracterização da área de
Matemática.
.........................................................................19
Considerações preliminares ........................................................................................19
Breve
análise da trajetória das reformas e do quadro atual do
ensino de Matemática...................................................................................................20
O
conhecimento matemático
........................................................................................26
Principais características
........................................................................................26
O papel da Matemática no ensino fundamental
......................................................29
Matemática e construção da
cidadania....................................................................29
Matemática e os Temas Transversais
.....................................................................31
Aprender e ensinar
Matemática no ensino fundamental...... .......................................37
O
aluno e o saber matemático ....................................................................................37
O
professor e o saber matemático ..............................................................................38
As
relações professor-aluno e aluno-aluno .................................................................39
Alguns caminhos para “fazer Matemática” na sala de aula
........................................42
O recurso à Resolução de
Problemas...................................................................42
O recurso à História da Matemática
....................................................................45
O recurso às Tecnologias da Informação
............................................................46
O recurso aos Jogos
.............................................................................................48
Objetivos gerais de
Matemática para o ensino fundamental.... ..................................51
Os conteúdos de Matemática
para o ensino fundamental...........................................53
Seleção
de conteúdos
..................................................................................................53
Blocos de conteúdos ...................................................................................................54
Números e Operações
........................................................................................54
Espaço e Forma ..................................................................................................55
Grandezas e Medidas
..........................................................................................56
Tratamento da Informação ...................................................................................56
Organização
de conteúdos ...........................................................................................57
Avaliação em
Matemática .............................................................................................58
2ª PARTE
Primeiro ciclo...................................................................................................................63
Ensino
e aprendizagem de Matemática no primeiro ciclo
...........................................63
Objetivos de Matemática para o primeiro ciclo
...........................................................65
Conteúdos de Matemática para o primeiro ciclo
......................................................,,66
Conteúdos conceituais e procedimentais
............................................................70
Números Naturais e Sistema de
Numeração Decimal .................................70
Operações com Números Naturais
..............................................................71
Espaço e Forma
...........................................................................................72
Grandezas e Medidas
...................................................................................73
Tratamento da Informação
............................................................................74
Conteúdos atitudinais
............................................................................................75
Critérios de
avaliação de Matemática para o primeiro ciclo
........................................76
Segundo ciclo
Ensino e aprendizagem de Matemática no segundo ciclo
.......................................79
Objetivos de Matemática para o segundo ciclo
........................................................80
Conteúdos de Matemática
para o segundo ciclo ............................................................82
Conteúdos conceituais e procedimentais
.................................................................85
Números Naturais, Sistema de Numeração Decimal e
Números Racionais
............................................................................................85
Operações com Números Naturais e Racionais
.................................................87
Espaço e Forma ..................................................................................................88
Grandezas e Medidas
..........................................................................................89
Tratamento da Informação ...................................................................................90
Conteúdos
atitudinais
.................................................................................................91
Critérios de avaliação de
Matemática para o segundo ciclo ..........................................93
.
Orientações didáticas..
................................................................................................97
Números Naturais e Sistema de Numeração Decimal
.............................................97
Números
Racionais
................................................................................................101
Operações com Números Naturais ........................................................................104
Adição e Subtração: significados
......................................................................104
Multiplicação e Divisão: significados
.................................................................108
Repertório básico para o desenvolvimento do cálculo ......................................112
Ampliação dos procedimentos de cálculo ..........................................................115
Cálculo mental
..............................................................................................117
Aproximações e estimativas
.........................................................................118
Cálculo escrito
...............................................................................................120
Operações
com Números Racionais ........................................................................124
Os significados
...................................................................................................124
O cálculo com números racionais
......................................................................124
Espaço e
Forma .......................................................................................................125
Grandezas e
Medidas ...............................................................................................129
Tratamento da
Informação.........................................................................................131
Bibliografia .................................................................................................................135
MATEMÁTICA
APRESENTAÇÃO
O ensino de Matemática costuma provocar
duas sensações contraditórias, tanto por parte de quem ensina, como por parte
de quem aprende: de um lado, a constatação de que se trata de uma área de
conhecimento importante; de outro, a insatisfação diante dos resultados
negativos obtidos com muita frequência em relação à sua aprendizagem.
A constatação da sua importância apoia-se
no fato de que a Matemática desempenha papel decisivo, pois permite resolver
problemas da vida cotidiana, tem muitas aplicações no mundo do trabalho e
funciona como instrumento essencial para a construção de conhecimentos em
outras áreas curriculares. Do mesmo modo, interfere fortemente na formação de
capacidades intelectuais, na estruturação do pensamento e na agilização do
raciocínio dedutivo do aluno.
A insatisfação revela que há problemas
a serem enfrentados, tais como a necessidade de
reverter um ensino centrado em
procedimentos mecânicos, desprovidos de significados para o aluno. Há urgência
em reformular objetivos, rever conteúdos e buscar metodologias compatíveis com
a formação que hoje a sociedade reclama.
No entanto, cada professor sabe que
enfrentar esses desafios não é tarefa simples, nem para ser feita
solitariamente. O documento de Matemática é um instrumento que pretende
estimular a busca coletiva de soluções para o ensino dessa área. Soluções que
precisam transformar-se em ações cotidianas que efetivamente tornem os
conhecimentos matemáticos acessíveis a todos os alunos.
A primeira parte do documento apresenta
os princípios norteadores, uma breve trajetória das reformas e o quadro atual
de ensino da disciplina. A seguir, faz uma análise das características da área
e do papel que ela desempenha no currículo escolar. Também trata das relações
entre o saber, o aluno e o professor, indica alguns caminhos para “fazer
Matemática” na sala de aula, destaca os objetivos gerais para o ensino
fundamental, apresenta blocos de conteúdos e discute aspectos da avaliação.
A segunda parte destina-se aos aspectos
ligados ao ensino e à aprendizagem de Matemática para as quatro primeiras
séries do ensino fundamental. Os objetivos gerais são dimensionados em objetivos
específicos para cada ciclo, da mesma forma os blocos de conteúdos, critérios
de avaliação e algumas orientações didáticas.
Secretaria de Educação Fundamental
MATEMÁTICA
1ª PARTE
CARACTERIZAÇÃO DA ÁREA
DE MATEMÁTICA
Considerações preliminares
Os Parâmetros Curriculares Nacionais
para a área de Matemática no ensino fundamental estão pautados por princípios
decorrentes de estudos, pesquisas, práticas e debates desenvolvidos nos últimos
anos. São eles:
— A Matemática é componente importante
na construção da cidadania, na medida em que a sociedade se utiliza, cada vez
mais, de conhecimentos científicos e recursos tecnológicos, dos quais os
cidadãos devem se apropriar.
— A Matemática precisa estar ao alcance
de todos e a democratização do seu ensino deve ser meta prioritária do trabalho
docente.
— A atividade matemática escolar não é
“olhar para coisas prontas e definitivas”, mas a construção e a apropriação de
um conhecimento pelo aluno, que se servirá dele para compreender e transformar
sua realidade.
— No ensino da Matemática, destacam-se
dois aspectos básicos: um consiste em relacionar observações do mundo real com
representações (esquemas, tabelas, figuras); outro consiste em relacionar essas
representações com princípios e conceitos matemáticos. Nesse processo, a
comunicação tem grande importância e deve ser estimulada, levando-se o aluno a
“falar” e a “escrever” sobre Matemática, a trabalhar com representações
gráficas, desenhos, construções, a aprender como organizar e tratar dados.
— A aprendizagem em Matemática está
ligada à compreensão, isto é, à apreensão do
significado; apreender o significado de
um objeto ou acontecimento pressupõe vê-lo em suas relações com outros objetos
e acontecimentos. Assim, o tratamento dos conteúdos em compartimentos estanques
e numa rígida sucessão linear deve dar lugar a uma abordagem em que as conexões
sejam favorecidas e destacadas. O significado da Matemática para o aluno
resulta das conexões que ele estabelece entre ela e as demais disciplinas,
entre ela e seu cotidiano e das conexões que ele estabelece entre os diferentes
temas matemáticos.
— A seleção e organização de conteúdos
não deve ter como critério único a lógica interna da Matemática. Deve-se levar
em conta sua relevância social e a contribuição para o desenvolvimento
intelectual do aluno. Trata-se de um processo permanente de construção.
— O conhecimento matemático deve ser
apresentado aos alunos como historicamente construído e em permanente evolução.
O contexto histórico possibilita ver a Matemática em sua prática filosófica,
científica e social e contribui para a compreensão do lugar que ela tem no
mundo.
— Recursos didáticos como jogos,
livros, vídeos, calculadoras, computadores e outros materiais têm um papel
importante no processo de ensino e aprendizagem. Contudo, eles precisam estar
integrados a situações que levem ao exercício da análise e da reflexão, em
última instância, a base da atividade matemática.
— A avaliação é parte do processo de
ensino e aprendizagem. Ela incide sobre uma grande variedade de aspectos
relativos ao desempenho dos alunos, como aquisição de conceitos, domínio de
procedimentos e desenvolvimento de atitudes. Mas também devem ser avaliados
aspectos como seleção e dimensionamento dos conteúdos, práticas pedagógicas,
condições em que se processa o trabalho escolar e as próprias formas de
avaliação.
Breve análise da trajetória das reformas e do quadro atual do ensino de Matemática
Os princípios enunciados no item
precedente têm origem nas discussões que, nos últimos anos, vêm ocorrendo no
Brasil e em outros países. O objetivo tem sido o de adequar o trabalho escolar
a uma nova realidade, marcada pela crescente presença dessa área do
conhecimento em diversos campos da atividade humana.
Para melhor situá-los é importante
retomar a trajetória das reformas curriculares ocorridas
nos últimos anos e analisar, mesmo que
brevemente, o quadro atual do ensino de Matemática no Brasil.
Nas décadas de 60/70, o ensino de
Matemática, em diferentes países, foi influenciado por um movimento que ficou
conhecido como Matemática Moderna. A Matemática Moderna nasceu como um
movimento educacional inscrito numa política de modernização econômica e foi
posta na linha de frente por se considerar que, juntamente com a área de
Ciências Naturais, ela se constituía via de acesso privilegiada para o
pensamento científico e tecnológico.
Desse modo, a Matemática a ser ensinada
era aquela concebida como lógica, compreendida a partir das estruturas,
conferia um papel fundamental à linguagem matemática. Os formuladores dos
currículos dessa época insistiam na necessidade de uma reforma pedagógica,
incluindo a pesquisa de materiais novos e métodos de ensino renovados — fato
que desencadeou a preocupação com a Didática da Matemática, intensificando a
pesquisa nessa área.
Ao aproximar a Matemática escolar da
Matemática pura, centrando o ensino nas estruturas e fazendo uso de uma
linguagem unificadora, a reforma deixou de considerar um ponto básico que viria
se tornar seu maior problema: o que se propunha estava fora do alcance dos
alunos, em especial daqueles das séries iniciais do ensino fundamental.
O ensino passou a ter preocupações
excessivas com abstrações internas à própria Matemática, mais voltadas à teoria
do que à prática. A linguagem da teoria dos conjuntos, por exemplo, foi
introduzida com tal ênfase que a aprendizagem de símbolos e de uma terminologia
interminável comprometia o ensino do cálculo, da geometria e das medidas.
No Brasil, a Matemática Moderna foi
veiculada principalmente pelos livros didáticos e teve grande influência. O
movimento Matemática Moderna teve seu refluxo a partir da constatação da
inadequação de alguns de seus princípios e das distorções ocorridas na sua
implantação.
Em 1980, o National Council of Teachers
of Mathematics — NCTM —, dos Estados Unidos, apresentou recomendações para o
ensino de Matemática no documento “Agenda para Ação”.
Nele destacava-se a resolução de
problemas como foco do ensino da Matemática nos anos 80.
Também a compreensão da relevância de
aspectos sociais, antropológicos, linguísticos, na aprendizagem da Matemática,
imprimiu novos rumos às discussões curriculares.
Essas idéias influenciaram as reformas
que ocorreram mundialmente, a partir de então. As propostas elaboradas no
período 1980/1995, em diferentes países, apresentam pontos de convergência,
como, por exemplo:
• direcionamento do ensino fundamental
para a aquisição de competências básicas necessárias ao cidadão e não apenas
voltadas para a preparação de estudos posteriores;
• importância do desempenho de um papel
ativo do aluno na construção do seu conhecimento;
• ênfase na resolução de problemas, na
exploração da Matemática a partir dos problemas vividos no cotidiano e
encontrados nas várias disciplinas;
• importância de se trabalhar com um
amplo espectro de conteúdos, incluindo-se, já no ensino fundamental, elementos
de estatística, probabilidade e combinatória, para
atender à demanda social que indica a necessidade de abordar esses assuntos;
• necessidade de levar os alunos a
compreenderem a importância do uso da tecnologia e a acompanharem sua
permanente renovação.
Também no Brasil essas ideias vêm sendo
discutidas e algumas aparecem incorporadas pelas propostas curriculares de
Secretarias de Estado e Secretarias Municipais de Educação, havendo experiências
bem-sucedidas que comprovam a fecundidade delas. No entanto, é importante
salientar que ainda hoje nota-se, por exemplo, a insistência no trabalho com os
conjuntos nas séries iniciais, o predomínio absoluto da Álgebra nas séries
finais, a formalização precoce de conceitos e a pouca vinculação da Matemática
às suas aplicações práticas.
Dentre os trabalhos que ganharam
expressão nesta última década, destaca-se o Programa Etnomatemática, com suas
propostas alternativas para a ação pedagógica. Tal programa contrapõe-se às
orientações que desconsideram qualquer relacionamento mais íntimo da Matemática
com aspectos socioculturais e políticos — o que a mantém intocável por fatores
outros a não ser sua própria dinâmica interna. Do ponto de
vista educacional, procura entender os processos de pensamento, os modos de
explicar, de entender e de atuar na realidade, dentro do contexto cultural do
próprio indivíduo. A Etnomatemática procura partir da realidade e chegar à ação
pedagógica de maneira natural, mediante um enfoque cognitivo com forte
fundamentação cultural.
Todavia, tanto as propostas
curriculares como os inúmeros trabalhos desenvolvidos por grupos de pesquisa
ligados a universidades e a outras instituições brasileiras são ainda bastante desconhecidos
de parte considerável dos professores que, por sua vez, não têm uma clara visão
dos problemas que motivaram as reformas. O que se observa é que ideias ricas e
inovadoras não chegam a eles, ou são incorporadas superficialmente ou recebem interpretações
inadequadas, sem provocar mudanças desejáveis.
Resultados obtidos nos testes de
rendimento em Matemática, aplicados em 1993 pelo Sistema Nacional de Avaliação
Escolar da Educação Básica (SAEB), indicavam que, na primeira série do ensino
fundamental, 67,7% dos alunos acertavam pelo menos metade dos testes. Esse
índice caía para 17,9% na terceira série, tornava a cair para 3,1%, na quinta
série, e subia para 5,9% na sétima série.
Em 1995, numa avaliação que abrangeu
alunos de quartas e oitavas séries do primeiro grau, os percentuais de acerto
por série/grau e por processo cognitivo em Matemática evidenciaram, além de um
baixo desempenho global, que as maiores dificuldades são encontradas em
questões relacionadas à aplicação de conceitos e à resolução de problemas.
Além dos índices que indicam o baixo
desempenho dos alunos na área de Matemática em
testes de rendimento, também são muitas
as evidências que mostram que ela funciona como filtro para selecionar alunos
que concluem, ou não, o ensino fundamental. Frequentemente, a Matemática tem
sido apontada como disciplina que contribui significativamente para elevação
das taxas de retenção.
Parte dos problemas referentes ao
ensino de Matemática estão relacionados ao processo de formação do magistério,
tanto em relação à formação inicial como à formação continuada.
Decorrentes dos problemas da formação
de professores, as práticas na sala de aula tomam por base os livros didáticos,
que, infelizmente, são muitas vezes de qualidade insatisfatória. A implantação
de propostas inovadoras, por sua vez,
esbarra na falta de uma formação profissional qualificada, na existência de
concepções pedagógicas inadequadas e, ainda, nas restrições ligadas às
condições de trabalho.
Tais problemas acabam sendo
responsáveis por muitos equívocos e distorções em relação aos fundamentos
norteadores e ideias básicas que aparecem em diferentes propostas.
Assim, por exemplo, as orientações
sobre a abordagem de conceitos, ideias e métodos sob a perspectiva de resolução
de problemas ainda são bastante desconhecidas; outras vezes a resolução de
problemas tem sido incorporada como um item isolado, desenvolvido paralelamente
como aplicação da aprendizagem, a partir de listagens de problemas cuja
resolução depende basicamente da escolha de técnicas ou formas de resolução
conhecidas pelos alunos.
As recomendações insistentemente feitas
no sentido de que conteúdos são veículos para o desenvolvimento de ideias
fundamentais (como as de proporcionalidade, equivalência, etc.) e devem ser
selecionados levando em conta sua potencialidade quer para instrumentação para
a vida, quer para o desenvolvimento do raciocínio, nem sempre são observadas.
Quanto à organização dos conteúdos, é
possível observar uma forma excessivamente hierarquizada de fazê-lo. É uma
organização, dominada pela ideia de pré-requisito, cujo único critério é a
definição da estrutura lógica da Matemática, que desconsidera em parte as
possibilidades de aprendizagem dos alunos. Nessa visão, a aprendizagem ocorre
como se os conteúdos se articulassem como elos de uma corrente, encarados cada
um como pré-requisito para o que vai sucedê-lo.
Embora se saiba que alguns
conhecimentos precedem outros necessários e deve-se escolher um certo percurso,
não existem, por outro lado, amarras tão fortes como algumas que podem ser observadas
comumente. Por exemplo, trabalhar primeiro apenas os números menores que 10, depois
os menores que 100, depois os menores que 1.000, etc.; apresentar a representação
fracionária dos racionais para introduzir, posteriormente, a decimal; desenvolver
o conceito de semelhança, para depois explorar o Teorema de Pitágoras.
Por vezes, essa concepção linear faz
com que, ao se definir qual será o elo inicial da cadeia, tomem-se os chamados
fundamentos como ponto de partida. É o que ocorre, por exemplo, quando se
privilegiam as noções de “ponto, reta e plano” como referência inicial para o
ensino de Geometria ou quando se tomam os “conjuntos” como base para a aprendizagem
de números e operações, o que não é, necessariamente, o caminho mais adequado.
Também a importância de se levar em
conta o “conhecimento prévio” dos alunos na construção de significados
geralmente é desconsiderada. Na maioria das vezes, subestimam-se os conceitos
desenvolvidos no decorrer da atividade prática da criança, de suas interações
sociais imediatas, e parte-se para o tratamento escolar, de forma esquemática,
privando os alunos da riqueza de conteúdo proveniente da experiência pessoal.
Outra distorção perceptível refere-se a
uma interpretação equivocada da ideia de “cotidiano”, ou seja, trabalha-se
apenas com o que se supõe fazer parte do dia-a-dia do aluno. Desse modo, muitos
conteúdos importantes são descartados ou porque se julga, sem uma análise
adequada, que não são de interesse para os alunos, ou porque não fazem parte de
sua “realidade”, ou seja, não há uma aplicação prática imediata. Essa postura
leva ao empobrecimento do trabalho, produzindo efeito contrário ao de
enriquecer o processo ensino-aprendizagem.
Apresentada em várias propostas como um
dos aspectos importantes da aprendizagem
matemática, por propiciar compreensão
mais ampla da trajetória dos conceitos e métodos dessa ciência, a História da
Matemática também tem se transformado em assunto específico, um item a mais a
ser incorporado ao rol de conteúdos, que muitas vezes não passa da apresentação
de fatos ou biografias de matemáticos famosos.
A recomendação do uso de recursos
didáticos, incluindo alguns materiais específicos, é feita em quase todas as
propostas curriculares. No entanto, na prática, nem sempre há clareza do papel dos
recursos didáticos no processo ensino-aprendizagem, bem como da adequação do
uso desses materiais, sobre os quais se projetam algumas expectativas
indevidas.
Desse modo, pode-se concluir que há
problemas antigos e novos a serem enfrentados e
solucionados, tarefa que requer
operacionalização efetiva das intenções anunciadas nas diretrizes curriculares
dos anos 80 e início dos 90, e a inclusão de novos elementos à pauta de
discussões.
Esse resultado que se traduz pelo número de combinações possíveis entre os termos iniciais evidencia um conceito matemático importante, que é o de produto cartesiano.
O conhecimento
matemático
PRINCIPAIS
CARACTERÍSTICAS
A
Matemática, surgida na Antiguidade por necessidades da vida cotidiana,
converteu-se em um imenso sistema de variadas e extensas disciplinas. Como as
demais ciências, reflete as leis sociais e serve de poderoso instrumento para o
conhecimento do mundo e domínio da natureza.
Mesmo
com um conhecimento superficial da Matemática, é possível reconhecer certos
traços que a caracterizam: abstração, precisão, rigor lógico, caráter
irrefutável de suas conclusões, bem como o extenso campo de suas aplicações.
A
abstração matemática revela-se no tratamento de relações quantitativas e de
formas
espaciais,
destacando-as das demais propriedades dos objetos. A Matemática move-se quase exclusivamente
no campo dos conceitos abstratos e de suas inter-relações. Para demonstrar suas
afirmações, o matemático emprega apenas raciocínios e cálculos.
É
certo que os matemáticos também fazem constante uso de modelos e analogias
físicas e recorrem a exemplos bem concretos, na descoberta de teoremas e
métodos. Mas os teoremas matemáticos são rigorosamente demonstrados por um
raciocínio lógico.
Os
resultados matemáticos distinguem-se pela sua precisão e os raciocínios
desenvolvem-se num alto grau de minuciosidade, que os torna incontestáveis e
convincentes.
Mas
a vitalidade da Matemática deve-se também ao fato de que, apesar de seu caráter
abstrato, seus conceitos e resultados têm origem no mundo real e encontram
muitas aplicações em outras ciências e em inúmeros aspectos práticos da vida
diária: na indústria, no comércio e na área tecnológica. Por outro lado,
ciências como Física, Química e Astronomia têm na Matemática ferramenta
essencial.
Em
outras áreas do conhecimento, como Sociologia, Psicologia, Antropologia,
Medicina, Economia Política, embora seu uso seja menor que nas chamadas ciências
exatas, ela também constitui um subsídio importante, em função de conceitos,
linguagem e atitudes que ajuda a desenvolver.
Em
sua origem, a Matemática constituiu-se a partir de uma coleção de regras
isoladas, decorrentes da experiência e diretamente conectadas com a vida
diária. Não se tratava, portanto, de um sistema logicamente unificado.
A
Aritmética e a Geometria formaram-se a partir de conceitos que se interligavam.
Talvez, em conseqüência disso, tenha se generalizado a ideia de que a
Matemática é a ciência da quantidade e do espaço, uma vez que se originou da
necessidade de contar, calcular, medir, organizar o espaço e as formas.
O
desenvolvimento da Geometria e o aparecimento da Álgebra marcaram uma ruptura
com os aspectos puramente pragmáticos da Matemática e impulsionaram a
sistematização dos conhecimentos matemáticos, gerando novos campos: Geometria
Analítica, Geometria Projetiva, Álgebra Linear, entre outros. O estudo das
grandezas variáveis deu origem ao conceito de função e fez surgir, em decorrência,
um novo ramo: a Análise Matemática.
A
Matemática transforma-se por fim na ciência que estuda todas as possíveis
relações e
interdependências
quantitativas entre grandezas, comportando um vasto campo de teorias, modelos e
procedimentos de análise, metodologias próprias de pesquisa, formas de coletar
e interpretar dados.
Embora
as investigações no campo da Matemática se situem ora dentro do campo da
chamada matemática pura, ora dentro da chamada matemática aplicada, elas se
influenciam mutuamente; dessa forma, descobertas dos chamados “matemáticos
puros” revelam mais tarde um valor prático inesperado, assim como o estudo de
propriedades matemáticas em acontecimentos particulares conduzem às vezes ao
chamado conhecimento matemático teórico.
Se
Matemática pura e aplicada não se contrapõem, também a característica de
exatidão não diminui a importância de teorias como das probabilidades, nem de
procedimentos que envolvem a estimativa e a aproximação.
O
conhecimento matemático é fruto de um processo de que fazem parte a imaginação,
os
contra-exemplos,
as conjecturas, as críticas, os erros e os acertos. Mas ele é apresentado de
forma descontextualizada, atemporal e geral, porque é preocupação do matemático
comunicar resultados e não o processo pelo qual os produziu.
A
Matemática desenvolve-se, desse modo, mediante um processo conflitivo entre
muitos elementos contrastantes: o concreto e o abstrato, o particular e o
geral, o formal e o informal, o finito e o infinito, o discreto e o contínuo.
Curioso notar que tais conflitos encontram-se também no âmbito do ensino dessa
disciplina.
O PAPEL DA MATEMÁTICA NO
ENSINO FUNDAMENTAL
A
Matemática comporta um amplo campo de relações, regularidades e coerências que
despertam a curiosidade e instigam a capacidade de generalizar, projetar,
prever e abstrair, favorecendo a estruturação do pensamento e o desenvolvimento
do raciocínio lógico. Faz parte da vida de todas as pessoas nas experiências
mais simples como contar, comparar e operar sobre quantidades. Nos cálculos
relativos a salários, pagamentos e consumo, na organização de atividades como
agricultura e pesca, a Matemática se apresenta como um conhecimento de muita
aplicabilidade.
Também
é um instrumental importante para diferentes áreas do conhecimento, por ser
utilizada em estudos tanto ligados às ciências da natureza como às ciências
sociais e por estar presente na composição musical, na coreografia, na arte e
nos esportes.
Essa
potencialidade do conhecimento matemático deve ser explorada, da forma mais
ampla possível, no ensino fundamental.
Para
tanto, é importante que a Matemática desempenhe, equilibrada e
indissociavelmente, seu papel na formação de capacidades intelectuais, na
estruturação do pensamento, na agilização do raciocínio dedutivo do aluno, na
sua aplicação a problemas, situações da vida cotidiana e atividades do mundo do
trabalho e no apoio à construção de conhecimentos em outras áreas curriculares.
MATEMÁTICA E CONSTRUÇÃO
DA CIDADANIA
O
papel que a Matemática desempenha na formação básica do cidadão brasileiro
norteia estes Parâmetros. Falar em formação básica para a cidadania significa
falar da inserção das pessoas no mundo do trabalho, das relações sociais e da
cultura, no âmbito da sociedade brasileira.
A
pluralidade de etnias existente no Brasil, que dá origem a diferentes modos de
vida, valores, crenças e conhecimentos, apresenta-se para a educação matemática
como um desafio interessante.
Os
alunos trazem para a escola conhecimentos, idéias e intuições, construídos
através das experiências que vivenciam em seu grupo sociocultural. Eles chegam
à sala de aula com diferenciadas ferramentas básicas para, por exemplo,
classificar, ordenar, quantificar e medir. Além disso, aprendem a atuar de
acordo com os recursos, dependências e restrições de seu meio.
A
par desses esquemas de pensamentos e práticas, todo aluno brasileiro faz parte
de uma sociedade em que se fala a mesma língua, se utiliza o mesmo sistema de
numeração, o mesmo sistema de medidas, o mesmo sistema monetário; além disso,
recebe informações veiculadas por meio de mídias abrangentes, que se utilizam
de linguagens e recursos gráficos comuns, independentemente das características
particulares dos grupos receptores.
Desse
modo, um currículo de Matemática deve procurar contribuir, de um lado, para a
valorização da pluralidade sociocultural, impedindo o processo de submissão no
confronto com outras culturas; de outro, criar condições para que o aluno
transcenda um modo de vida restrito a um determinado espaço social e se torne
ativo na transformação de seu ambiente.
A
compreensão e a tomada de decisões diante de questões políticas e sociais
também dependem da leitura e interpretação de informações complexas, muitas
vezes contraditórias, que incluem dados estatísticos e índices divulgados pelos
meios de comunicação. Ou seja, para exercer a cidadania, é necessário saber
calcular, medir, raciocinar, argumentar, tratar informações estatisticamente,
etc.
Da
mesma forma, a sobrevivência numa sociedade que, a cada dia, torna-se mais
complexa, exigindo novos padrões de produtividade, depende cada vez mais de
conhecimento.
Uma
característica contemporânea marcante é que na maioria dos campos profissionais
o tempo de um determinado método de produção não vai além de cinco a sete anos,
pois novas demandas surgem e os procedimentos tornam-se superados. Isso faz com
que o profissional tenha que estar num contínuo processo de formação e,
portanto, “aprender a aprender” é também fundamental.
Novas
competências demandam novos conhecimentos: o mundo do trabalho requer pessoas preparadas
para utilizar diferentes tecnologias e linguagens (que vão além da comunicação
oral e escrita), instalando novos ritmos de produção, de assimilação rápida de
informações, resolvendo e propondo problemas em equipe.
Para
tanto, o ensino de Matemática prestará sua contribuição à medida que forem
exploradas metodologias que priorizem a criação de estratégias, a comprovação,
a justificativa, a argumentação, o espírito crítico, e favoreçam a
criatividade, o trabalho coletivo, a iniciativa pessoal e a autonomia advinda
do desenvolvimento da confiança na própria capacidade de conhecer e enfrentar
desafios.
É
importante destacar que a Matemática deverá ser vista pelo aluno como um
conhecimento que pode favorecer o desenvolvimento do seu raciocínio, de sua
capacidade expressiva, de sua sensibilidade estética e de sua imaginação.
MATEMÁTICA E OS TEMAS
TRANSVERSAIS
A
interação do ensino de Matemática com os Temas Transversais é uma questão
bastante nova. Centrado em si mesmo, limitando-se à exploração de conteúdos
meramente acadêmicos, de forma isolada, sem qualquer conexão entre seus
próprios campos ou com outras áreas de conhecimento, o ensino dessa disciplina
pouco tem contribuído para a formação integral do aluno, com vistas à conquista
da cidadania.
No
intuito de reverter esse quadro, a alternativa do desenvolvimento de projetos
vem sendo praticada por muitas escolas.
Os
projetos proporcionam contextos que geram a necessidade e a possibilidade de
organizar os conteúdos de forma a lhes conferir significado. É importante
identificar que tipos de projetos exploram problemas cuja abordagem pressupõe a
intervenção da Matemática, e em que medida ela oferece subsídios para a
compreensão dos temas envolvidos.
Tendo
em vista o estabelecimento de conexões entre a Matemática e os Temas
Transversais, algumas considerações devem ser ponderadas.
Ética
A
formação de indivíduos éticos pode ser estimulada nas aulas de Matemática ao
direciona-se o trabalho ao desenvolvimento de atitudes no aluno, como, por
exemplo, a confiança na própria capacidade e na dos outros para construir
conhecimentos matemáticos, o empenho em participar ativamente das atividades em
sala de aula e o respeito à forma de pensar dos colegas.
Isso
ocorrerá na medida em que o professor valorizar a troca de experiências entre
os alunos como forma de aprendizagem, promover o intercâmbio de idéias como
fonte de aprendizagem, respeitar ele próprio o pensamento e a produção dos
alunos e desenvolver um trabalho livre do preconceito de que Matemática é um
conhecimento direcionado apenas para poucos indivíduos talentosos.
A
construção de uma visão solidária de relações humanas a partir da sala de aula
contribuirá para que os alunos superem o individualismo e valorizem a interação
e a troca, percebendo que as pessoas se complementam e dependem umas das
outras.
Orientação
Sexual
Acomodar
num mesmo patamar os papéis desempenhados por homens e mulheres na construção
da sociedade contemporânea ainda encontra barreiras ancoradas em expectativas
bastante diferenciadas com relação ao papel futuro de meninos e meninas.
No
entanto, como importante instituição formadora de cidadãos, a escola não pode
estabelecer qualquer tipo de diferença em relação à capacidade de aprendizagem
entre alunos de diferentes sexos.
Ao
ensino de Matemática cabe fornecer os mesmos instrumentos de aprendizagem e de
desenvolvimento de aptidões a todos, valorizando a igualdade de oportunidades
sociais para homens e mulheres.
Meio
Ambiente
A
compreensão das questões ambientais pressupõe um trabalho interdisciplinar em
que a Matemática está inserida. A quantificação de aspectos envolvidos em
problemas ambientais favorece uma visão mais clara deles, ajudando na tomada de
decisões e permitindo intervenções necessárias (reciclagem e reaproveitamento
de materiais, por exemplo).
A
compreensão dos fenômenos que ocorrem no ambiente — poluição, desmatamento,
limites para uso dos recursos naturais, desperdício — terá ferramentas
essenciais em conceitos (médias, áreas, volumes, proporcionalidade, etc.) e
procedimentos matemáticos (formulação de hipóteses, realização de cálculos,
coleta, organização e interpretação de dados estatísticos, prática da
argumentação, etc.).
Saúde
As
informações sobre saúde, muitas vezes apresentadas em dados estatísticos,
permitem o estabelecimento de comparações e previsões, que contribuem para o
autoconhecimento, possibilitam o autocuidado e ajudam a compreender aspectos
sociais relacionados a problemas de saúde.
O
acompanhamento do próprio desenvolvimento físico (altura, peso, musculatura) e
o estudo dos elementos que compõem a dieta básica são alguns exemplos de
trabalhos que podem servir de contexto para a aprendizagem de conteúdos
matemáticos e também podem encontrar na Matemática instrumentos para serem mais
bem compreendidos.
Pluralidade
Cultural
A
construção a utilização do conhecimento matemático não são feitas apenas por
matemáticos, cientistas ou engenheiros, mas, de formas diferenciadas, por todos
os grupos socioculturais, que desenvolvem e utilizam habilidades para contar,
localizar, medir, desenhar, representar, jogar e explicar, em função de suas
necessidades e interesses.
Valorizar
esse saber matemático, intuitivo e cultural, aproximar o saber escolar do
universo cultural em que o aluno está inserido, é de fundamental importância
para o processo de ensino e aprendizagem.
Por
outro lado, ao dar importância a esse saber, a escola contribui para a
superação do preconceito de que Matemática é um conhecimento produzido
exclusivamente por determinados grupos sociais ou sociedades mais
desenvolvidas.
Nesse
trabalho, a História da Matemática, bem como os estudos da Etnomatemática, são
importantes para explicitar a dinâmica da produção desse conhecimento,
histórica e socialmente.
Outros
temas
Além
dos temas apresentados, cada escola pode desenvolver projetos envolvendo outras
questões consideradas de relevância para a comunidade. Temas relacionados à
educação do consumidor, por exemplo, são contextos privilegiados para o
desenvolvimento de conteúdos relativos a medida, porcentagem, sistema
monetário, e, desse modo, podem merecer especial atenção no planejamento de
Matemática.
APRENDER E ENSINAR
MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL
O
estudo dos fenômenos relacionados ao ensino e à aprendizagem da Matemática
pressupõe a análise de variáveis envolvidas nesse processo — aluno, professor e
saber matemático —, assim como das relações entre elas.
Numa
reflexão sobre o ensino da Matemática é de fundamental importância ao
professor:
•
identificar as principais características dessa ciência, de seus métodos, de
suas ramificações e aplicações;
•
conhecer a história de vida dos alunos, sua vivência de aprendizagens
fundamentais, seus conhecimentos informais sobre um dado assunto, suas
condições sociológicas, psicológicas e culturais;
•
ter clareza de suas próprias concepções sobre a Matemática, uma vez que a
prática em sala de aula, as escolhas pedagógicas, a definição de objetivos e
conteúdos de ensino e as formas de avaliação estão intimamente ligadas a essas
concepções.
O aluno e o saber
matemático
As
necessidades cotidianas fazem com que os alunos desenvolvam uma inteligência
essencialmente prática, que permite reconhecer problemas, buscar e selecionar
informações, tomar decisões e, portanto, desenvolver uma ampla capacidade para
lidar com a atividade matemática.
Quando
essa capacidade é potencializada pela escola, a aprendizagem apresenta melhor
resultado. No entanto, apesar dessa evidência, tem-se buscado, sem sucesso, uma
aprendizagem em Matemática pelo caminho da reprodução de procedimentos e da
acumulação de informações; nem mesmo a exploração de materiais didáticos tem
contribuído para uma aprendizagem mais eficaz, por ser realizada em contextos
pouco significativos e de forma muitas vezes artificial.
É
fundamental não subestimar a capacidade dos alunos, reconhecendo que resolvem
problemas, mesmo que razoavelmente complexos, lançando mão de seus
conhecimentos sobre o assunto e buscando estabelecer relações entre o já
conhecido e o novo.
O
significado da atividade matemática para o aluno também resulta das conexões
que ele
estabelece
entre ela e as demais disciplinas, entre ela e seu cotidiano e das conexões que
ele percebe entre os diferentes temas matemáticos.
Ao
relacionar idéias matemáticas entre si, podem reconhecer princípios gerais,
como proporcionalidade, igualdade, composição e inclusão e perceber que
processos como o estabelecimento de analogias, indução e dedução estão
presentes tanto no trabalho com números e operações como em espaço, forma e
medidas.
O
estabelecimento de relações é tão importante quanto a exploração dos conteúdos
matemáticos, pois, abordados de forma isolada, os conteúdos podem acabar
representando muito pouco para a formação do aluno, particularmente para a
formação da cidadania.
O professor e o saber
matemático
O
conhecimento da história dos conceitos matemáticos precisa fazer parte da
formação dos
professores
para que tenham elementos que lhes permitam mostrar aos alunos a Matemática
como ciência que não trata de verdades eternas, infalíveis e imutáveis, mas
como ciência dinâmica, sempre aberta à incorporação de novos conhecimentos.
Além
disso, conhecer os obstáculos envolvidos no processo de construção de conceitos
é de grande utilidade para que o professor compreenda melhor alguns aspectos da
aprendizagem dos alunos.
O
conhecimento matemático formalizado precisa, necessariamente, ser transformado
para se tornar passível de ser ensinado/aprendido; ou seja, a obra e o
pensamento do matemático teórico não são passíveis de comunicação direta aos
alunos. Essa consideração implica rever a ideia, que persiste na escola, de ver
nos objetos de ensino cópias fiéis dos objetos da ciência.
Esse
processo de transformação do saber científico em saber escolar não passa apenas
por mudanças de natureza epistemológica, mas é influenciado por condições de
ordem social e cultural que resultam na elaboração de saberes intermediários,
como aproximações provisórias, necessárias e intelectualmente formadoras. É o
que se pode chamar de contextualização do saber.
Por
outro lado, um conhecimento só é pleno se for mobilizado em situações
diferentes daquelas que serviram para lhe dar origem. Para que sejam
transferíveis a novas situações e generalizados, os conhecimentos devem ser
descontextualizados, para serem contextualizados novamente em outras situações.
Mesmo no ensino fundamental, espera-se que o conhecimento aprendido não fique
indissoluvelmente vinculado a um contexto concreto e único, mas que possa ser
generalizado, transferido a outros contextos.
As relações
professor-aluno e aluno-aluno
Tradicionalmente,
a prática mais freqüente no ensino de Matemática era aquela em que o professor
apresentava o conteúdo oralmente, partindo de definições, exemplos,
demonstração de propriedades, seguidos de exercícios de aprendizagem, fixação e
aplicação, e pressupunha que o aluno aprendia pela reprodução. Considerava-se
que uma reprodução correta era evidência de que ocorrera a aprendizagem.
Essa
prática de ensino mostrou-se ineficaz, pois a reprodução correta poderia ser
apenas uma simples indicação de que o aluno aprendeu a reproduzir, mas não
apreendeu o conteúdo.
É relativamente
recente, na história da Didática, a atenção ao fato de que o aluno é agente da
construção do seu conhecimento, pelas conexões que estabelece com seu
conhecimento prévio num contexto de resolução de problemas.
Naturalmente,
à medida que se redefine o papel do aluno perante o saber, é preciso
redimensionar também o papel do professor que ensina Matemática no ensino
fundamental.
Numa
perspectiva de trabalho em que se considere a criança como protagonista da
construção de sua aprendizagem, o papel do professor ganha novas dimensões. Uma
faceta desse papel é a de organizador da aprendizagem; para desempenhá-la, além
de conhecer as condições socioculturais, expectativas e competência cognitiva
dos alunos, precisará escolher o(s) problema(s) que possibilita(m) a construção
de conceitos/procedimentos e alimentar o processo de resolução, sempre tendo em
vista os objetivos a que se propõe atingir.
Além
de organizador, o professor também é consultor nesse processo. Não mais aquele
que
expõe
todo o conteúdo aos alunos, mas aquele que fornece as informações necessárias,
que o aluno não tem condições de obter sozinho. Nessa função, faz explanações,
oferece materiais, textos, etc.
Outra
de suas funções é como mediador, ao promover a confrontação das propostas dos
alunos, ao disciplinar as condições em que cada aluno pode intervir para expor
sua solução, questionar, contestar. Nesse papel, o professor é responsável por
arrolar os procedimentos empregados e as diferenças encontradas, promover o
debate sobre resultados e métodos, orientar as reformulações e valorizar as
soluções mais adequadas. Ele também decide se é necessário prosseguir o
trabalho de pesquisa de um dado tema ou se é o momento de elaborar uma síntese,
em função das expectativas de aprendizagem previamente estabelecidas em seu
planejamento.
Atua
como controlador ao estabelecer as condições para a realização das atividades e
fixar prazos, sem esquecer de dar o tempo necessário aos alunos.
Como
um incentivador da aprendizagem, o professor estimula a cooperação entre os
alunos, tão importante quanto a própria interação adulto/criança. A
confrontação daquilo que cada criança pensa com o que pensam seus colegas, seu
professor e demais pessoas com quem convive é uma forma de aprendizagem
significativa, principalmente por pressupor a necessidade de formulação de
argumentos (dizendo, descrevendo, expressando) e a de comprová-los
(convencendo, questionando).
Além
da interação entre professor e aluno, a interação entre alunos desempenha papel
fundamental na formação das capacidades cognitivas e afetivas. Em geral,
explora-se mais o aspecto afetivo dessas interações e menos sua potencialidade
em termos de construção de conhecimento.
Trabalhar
coletivamente, por sua vez, supõe uma série de aprendizagens, como:
•
perceber que além de buscar a solução para uma situação proposta devem cooperar
para resolvê-la e chegar a um consenso;
•
saber explicitar o próprio pensamento e tentar compreender o pensamento do
outro;
•
discutir as dúvidas, assumir que as soluções dos outros fazem sentido e
persistir na tentativa de construir suas próprias idéias;
•
incorporar soluções alternativas, reestruturar e ampliar a compreensão acerca
dos conceitos envolvidos nas situações e, desse modo, aprender.
Essas
aprendizagens só serão possíveis na medida em que o professor proporcionar um ambiente
de trabalho que estimule o aluno a criar, comparar, discutir, rever, perguntar
e ampliar idéias.
É
importante atentar para o fato de que as interações que ocorrem na sala de aula
— entre professor e aluno ou entre alunos — devem ser regulamentadas por um
“contrato didático” no qual, para cada uma das partes, sejam explicitados
claramente seu papel e suas responsabilidades
diante
do outro.
Alguns caminhos para
“fazer Matemática” na sala de aula
É
consensual a ideia de que não existe um caminho que possa ser identificado como
único e melhor para o ensino de qualquer disciplina, em particular, da
Matemática. No entanto, conhecer diversas possibilidades de trabalho em sala de
aula é fundamental para que o professor construa sua prática. Dentre elas,
destacam-se algumas.
O
RECURSO À RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Resolução
de problemas é um caminho para o ensino de Matemática que vem sendo discutido
ao longo dos últimos anos.
A
História da Matemática mostra que ela foi construída como resposta a perguntas
provenientes de diferentes origens e contextos, motivadas por problemas de
ordem prática (divisão de terras, cálculo de créditos), por problemas
vinculados a outras ciências (Física, Astronomia), bem como por problemas
relacionados a investigações internas à própria Matemática.
Todavia,
tradicionalmente, os problemas não têm desempenhado seu verdadeiro papel no
ensino, pois, na melhor das hipóteses, são utilizados apenas como forma de
aplicação de conhecimentos adquiridos anteriormente pelos alunos.
A
prática mais freqüente consiste em ensinar um conceito, procedimento ou técnica
e depois
apresentar
um problema para avaliar se os alunos são capazes de empregar o que lhes foi
ensinado.
Para
a grande maioria dos alunos, resolver um problema significa fazer cálculos com
os números do enunciado ou aplicar algo que aprenderam nas aulas.
Desse
modo, o que o professor explora na atividade matemática não é mais a atividade,
ela mesma, mas seus resultados, definições, técnicas e demonstrações.
Conseqüentemente,
o saber matemático não se apresenta ao aluno como um sistema de conceitos, que
lhe permite resolver um conjunto de problemas, mas como um interminável
discurso simbólico, abstrato e incompreensível.
Nesse
caso, a concepção de ensino e aprendizagem subjacente é a de que o aluno
aprende por reprodução/imitação.
Ao
colocar o foco na resolução de problemas, o que se defende é uma proposta que
poderia
ser
resumida nos seguintes princípios:
•
o ponto de partida da atividade matemática não é a definição, mas o problema.
No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idéias e métodos matemáticos
devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações
em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para
resolvê-las;
•
o problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de forma quase
mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se o aluno for
levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a
situação que lhe é apresentada;
•
aproximações sucessivas ao conceito são construídas para resolver um certo tipo
de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver
outros, o que exige transferências, retificações, rupturas, segundo um processo
análogo ao que se pode observar na história da Matemática;
•
o aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas constrói um
campo de conceitos que tomam sentido num campo de problemas. Um conceito
matemático se constrói articulado com outros conceitos, por meio de uma série
de retificações e generalizações;
•
a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo
ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a aprendizagem, pois
proporciona o contexto em que se pode apreender conceitos, procedimentos e
atitudes matemáticas.
Considerados
esses princípios, convém precisar algumas características das situações que
podem ser entendidas como problemas.
Um
problema matemático é uma situação que demanda a realização de uma seqüência de
ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não está disponível
de início, no entanto é possível construí-la.
Em
muitos casos, os problemas usualmente apresentados aos alunos não constituem
verdadeiros problemas, porque, via de regra, não existe um real desafio nem a
necessidade de verificação para validar o processo de solução.
O
que é problema para um aluno pode não ser para outro, em função do seu nível de
desenvolvimento intelectual e dos conhecimentos de que dispõe.
Resolver
um problema pressupõe que o aluno:
•
elabore um ou vários procedimentos de resolução (como, por exemplo, realizar
simulações, fazer tentativas, formular hipóteses);
•
compare seus resultados com os de outros alunos;
•
valide seus procedimentos.
Resolver
um problema não se resume em compreender o que foi proposto e em dar respostas
aplicando procedimentos adequados. Aprender a dar uma resposta correta, que
tenha sentido, pode ser suficiente para que ela seja aceita e até seja
convincente, mas não é garantia de apropriação do conhecimento envolvido.
Além
disso, é necessário desenvolver habilidades que permitam pôr à prova os
resultados, testar seus efeitos, comparar diferentes caminhos, para obter a
solução. Nessa forma de trabalho, o valor da resposta correta cede lugar ao
valor do processo de resolução.
O
fato de o aluno ser estimulado a questionar sua própria resposta, a questionar
o problema, a transformar um dado problema numa fonte de novos problemas,
evidencia uma concepção de ensino e aprendizagem não pela mera reprodução de
conhecimentos, mas pela via da ação refletida que constrói conhecimentos.
O RECURSO À HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
A História da
Matemática, mediante um processo de transposição didática e juntamente com
outros recursos didáticos e metodológicos, pode oferecer uma importante
contribuição ao processo de ensino e aprendizagem em Matemática.
Ao revelar a
Matemática como uma criação humana, ao mostrar necessidades e preocupações de
diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao estabelecer
comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do
presente, o professor tem a possibilidade de desenvolver atitudes e valores
mais favoráveis do aluno diante do conhecimento matemático.
Além disso,
conceitos abordados em conexão com sua história constituem-se veículos de
informação cultural, sociológica e antropológica de grande valor formativo. A
História da Matemática é, nesse sentido, um instrumento de resgate da própria
identidade cultural.
Em muitas
situações, o recurso à História da Matemática pode esclarecer idéias
matemáticas que estão sendo construídas pelo aluno, especialmente para dar
respostas a alguns “porquês” e, desse modo, contribuir para a constituição de
um olhar mais crítico sobre os objetos de conhecimento.
O RECURSO ÀS TECNOLOGIAS DA INFORMAÇÃO
As técnicas,
em suas diferentes formas e usos, constituem um dos principais agentes de transformação
da sociedade, pelas implicações que exercem no cotidiano das pessoas.
Estudiosos do
tema mostram que escrita, leitura, visão, audição, criação e aprendizagem são
capturados por uma informática cada vez mais avançada. Nesse cenário, insere-se
mais um desafio para a escola, ou seja, o de como incorporar ao seu trabalho,
apoiado na oralidade e na escrita, novas formas de comunicar e conhecer.
Por outro
lado, também é fato que o acesso a calculadoras, computadores e outros
elementos tecnológicos já é uma realidade para parte significativa da
população.
Estudos e
experiências evidenciam que a calculadora é um instrumento que pode contribuir
para a
melhoria do ensino da Matemática. A justificativa para essa visão é o fato de
que ela pode ser usada como um instrumento motivador na realização de tarefas
exploratórias e de investigação.
Além disso,
ela abre novas possibilidades educativas, como a de levar o aluno a perceber a
importância do
uso dos meios tecnológicos disponíveis na sociedade contemporânea. A
calculadora é também um recurso para verificação de resultados, correção de
erros, podendo ser um valioso instrumento de auto-avaliação.
Como exemplo
de uma situação exploratória e de investigação que se tornaria imprópria sem o
uso de calculadora, poder-se-ia imaginar um aluno sendo desafiado a descobrir e
a interpretar os resultados que obtém quando divide um número sucessivamente
por dois (se começar pelo 1, obterá 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625; 0,03125;
0,015625). Usando a calculadora, terá muito mais condições de prestar atenção
no que está acontecendo com os resultados e de construir o significado desses
números.
O fato de,
neste final de século, estar emergindo um conhecimento por simulação, típico da
cultura informática, faz com que o computador seja também visto como um recurso
didático cada dia mais indispensável.
Ele é apontado
como um instrumento que traz versáteis possibilidades ao processo de ensino e
aprendizagem de Matemática, seja pela sua destacada presença na sociedade
moderna, seja pelas possibilidades de sua aplicação nesse processo.
Tudo indica
que seu caráter lógico-matemático pode ser um grande aliado do desenvolvimento cognitivo
dos alunos, principalmente na medida em que ele permite um trabalho que obedece
a distintos ritmos de aprendizagem.
Embora os
computadores ainda não estejam amplamente disponíveis para a maioria das
escolas, eles já começam a integrar muitas experiências educacionais,
prevendo-se sua utilização em maior escala a curto prazo. Isso traz como
necessidade a incorporação de estudos nessa área, tanto na formação inicial
como na formação continuada do professor do ensino fundamental, seja para poder
usar amplamente suas possibilidades ou para conhecer e analisar softwares
educacionais.
Quanto aos
softwares educacionais é fundamental que o professor aprenda a escolhê-los em
função dos objetivos que pretende atingir e de sua própria concepção de
conhecimento e de aprendizagem, distinguindo os que se prestam mais a um
trabalho dirigido para testar conhecimentos dos que procuram levar o aluno a
interagir com o programa de forma a construir conhecimento.
O computador
pode ser usado como elemento de apoio para o ensino (banco de dados,
elementos
visuais), mas também como fonte de aprendizagem e como ferramenta para o
desenvolvimento de habilidades. O trabalho com o computador pode ensinar o
aluno a aprender com seus erros e a aprender junto com seus colegas, trocando
suas produções e comparando-as.
O RECURSO AOS JOGOS
Além de ser um
objeto sociocultural em que a Matemática está presente, o jogo é uma atividade natural
no desenvolvimento dos processos psicológicos básicos; supõe um “fazer sem
obrigação externa e imposta”, embora demande exigências, normas e controle.
No jogo,
mediante a articulação entre o conhecido e o imaginado, desenvolve-se o
autoconhecimento — até onde se pode chegar — e o conhecimento dos outros — o
que se pode esperar e em que circunstâncias.
Para crianças
pequenas, os jogos são as ações que elas repetem sistematicamente mas que
possuem um sentido funcional (jogos de exercício), isto é, são fonte de
significados e, portanto, possibilitam compreensão, geram satisfação, formam
hábitos que se estruturam num sistema. Essa repetição funcional também deve
estar presente na atividade escolar, pois é importante no sentido de ajudar a
criança a perceber regularidades.
Por meio dos
jogos as crianças não apenas vivenciam situações que se repetem, mas aprendem a
lidar com símbolos e a pensar por analogia (jogos simbólicos): os significados
das coisas passam a ser imaginados por elas. Ao criarem essas analogias,
tornam-se produtoras de linguagens, criadoras de convenções, capacitando-se
para se submeterem a regras e dar explicações.
Além disso,
passam a compreender e a utilizar convenções e regras que serão empregadas no
processo de ensino e aprendizagem. Essa compreensão favorece sua integração num
mundo social bastante complexo e proporciona as primeiras aproximações com
futuras teorizações.
Em estágio
mais avançado, as crianças aprendem a lidar com situações mais complexas (jogos
com regras) e passam a compreender que as regras podem ser combinações
arbitrárias que os jogadores definem; percebem também que só podem jogar em
função da jogada do outro (ou da jogada anterior, se o jogo for solitário). Os
jogos com regras têm um aspecto importante, pois neles o fazer e o compreender
constituem faces de uma mesma moeda.
A participação em jogos de grupo
também representa uma conquista cognitiva, emocional, moral e social para a
criança e um estímulo para o desenvolvimento do seu raciocínio lógico.
Finalmente, um aspecto relevante nos
jogos é o desafio genuíno que eles provocam no aluno, que gera interesse e
prazer. Por isso, é importante que os jogos façam parte da cultura escolar,
cabendo ao professor analisar e avaliar a potencialidade educativa dos
diferentes jogos e o aspecto curricular que se deseja desenvolver.
OBJETIVOS GERAIS DE
MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL
As finalidades do ensino
de Matemática indicam, como objetivos do ensino fundamental, levar o aluno a:
• identificar os conhecimentos
matemáticos como meios para compreender e transformar o mundo à sua volta e
perceber o caráter de jogo intelectual, característico da Matemática, como
aspecto que estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o
desenvolvimento da capacidade para resolver problemas;
• fazer observações
sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos do ponto de vista do
conhecimento e estabelecer o maior número possível de relações entre eles,
utilizando para isso o conhecimento matemático (aritmético, geométrico,
métrico, algébrico, estatístico, combinatório, probabilístico); selecionar,
organizar e produzir informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las
criticamente;
• resolver
situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados, desenvolvendo
formas de raciocínio e processos, como dedução, indução, intuição, analogia,
estimativa, e utilizando conceitos e procedimentos matemáticos, bem como
instrumentos tecnológicos disponíveis;
• comunicar-se
matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar resultados com
precisão e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e
estabelecendo relações entre ela e diferentes representações matemáticas;
• estabelecer conexões
entre temas matemáticos de diferentes campos e entre esses temas e
conhecimentos de outras áreas curriculares; • sentir-se seguro da própria
capacidade de construir conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a auto-estima
e a perseverança na busca de soluções;
• interagir com seus pares
de forma cooperativa, trabalhando coletivamente na busca de soluções para
problemas propostos, identificando aspectos consensuais ou não na discussão de
um assunto, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.
OS CONTEÚDOS DE MATEMÁTICA NO
ENSINO FUNDAMENTAL
A discussão sobre a
seleção e a organização de conteúdos tem como diretriz a consecução dos
objetivos arrolados no item precedente e seu caráter de essencialidade ao
desempenho das funções básicas do cidadão brasileiro.
Assim sendo, trata-se de
uma discussão complexa que não se resolve com a apresentação de uma listagem de
conteúdos comuns a serem desenvolvidos nacionalmente.
Seleção de conteúdos
Há um razoável consenso no
sentido de que os currículos de Matemática para o ensino fundamental devam
contemplar o estudo dos números e das operações (no campo da Aritmética e da
Álgebra), o estudo do espaço e das formas (no campo da Geometria) e o estudo
das grandezas e das medidas (que permite interligações entre os campos da
Aritmética, da Álgebra e da Geometria).
O desafio que se apresenta
é o de identificar, dentro de cada um desses vastos campos, de um lado, quais
conhecimentos, competências, hábitos e valores são socialmente relevantes; de
outro, em que medida contribuem para o desenvolvimento intelectual do aluno, ou
seja, na construção e coordenação do pensamento lógico-matemático, da
criatividade, da intuição, da capacidade de análise e de crítica, que
constituem esquemas lógicos de referência para interpretar fatos e fenômenos.
Um olhar mais atento para
nossa sociedade mostra a necessidade de acrescentar a esses conteúdos aqueles
que permitam ao cidadão “tratar” as informações que recebe cotidianamente,
aprendendo a lidar com dados estatísticos, tabelas e gráficos, a raciocinar utilizando
idéias relativas à probabilidade e à combinatória.
Embora nestes Parâmetros a
Lógica não se constitua como bloco de conteúdo a ser abordado de forma
sistemática no ensino fundamental, alguns de seus princípios podem ser tratados
de forma integrada aos demais conteúdos, desde as séries iniciais. Tais
elementos, construídos por meio de exemplos relativos a situações-problema, ao
serem explicitados, podem ajudar a compreender melhor as próprias situações.
Assim, por exemplo, ao
estudarem números, os alunos podem perceber e verbalizar relações de inclusão,
como a de que todo número par é natural; mas observarão que a recíproca dessa
afirmação não é verdadeira, pois nem todo número natural é par. No estudo das
formas, mediante a observação de diferentes figuras triangulares, podem
perceber que o fato de um triângulo ter ângulos com medidas idênticas às
medidas dos ângulos de um outro triângulo é uma condição necessária, embora não
suficiente, para que os dois triângulos sejam congruentes.
Também algumas idéias ou
procedimentos matemáticos, como proporcionalidade, composição e estimativa, são
fontes naturais e potentes de inter-relação e, desse modo, prestam-se a uma abordagem
dos conteúdos em que diversas relações podem ser estabelecidas.
A proporcionalidade, por
exemplo, está presente na resolução de problemas multiplicativos, nos estudos
de porcentagem, de semelhança de figuras, na matemática financeira, na análise
de tabelas, gráficos e funções. O fato de que vários aspectos do cotidiano
funcionam de acordo com leis de proporcionalidade evidencia que o raciocínio
proporcional é útil na interpretação de fenômenos do mundo real. Ele está
ligado à inferência e à predição e envolve métodos de pensamento qualitativos e
quantitativos (Essa resposta faz sentido? Ela deveria ser maior ou menor?).
Para raciocinar com
proporções é preciso abordar os problemas de vários pontos de vista e também
identificar situações em que o que está em jogo é a não-proporcionalidade.
Finalmente, a seleção de
conteúdos a serem trabalhados pode se dar numa perspectiva mais ampla, ao
procurar identificar não só os conceitos mas também os procedimentos e as
atitudes a serem trabalhados em classe, o que trará certamente um
enriquecimento ao processo de ensino e aprendizagem.
Blocos de conteúdos
NÚMEROS
E OPERAÇÕES
Ao longo do ensino
fundamental os conhecimentos numéricos são construídos e assimilados
pelos alunos num processo
dialético, em que intervêm como instrumentos eficazes para resolver determinados
problemas e como objetos que serão estudados, considerando-se suas
propriedades, relações e o modo como se configuram historicamente.
Nesse processo, o aluno
perceberá a existência de diversas categorias numéricas criadas em função de
diferentes problemas que a humanidade teve que enfrentar — números naturais,
números inteiros positivos e negativos, números racionais (com representações
fracionárias e decimais) e números irracionais. À medida que se deparar com
situações-problema — envolvendo adição, subtração, multiplicação, divisão,
potenciação e radiciação —, ele irá ampliando seu conceito de número.
Com relação às operações,
o trabalho a ser realizado se concentrará na compreensão dos
diferentes significados de
cada uma delas, nas relações existentes entre elas e no estudo reflexivo do
cálculo, contemplando diferentes tipos — exato e aproximado, mental e escrito.
Embora nas séries iniciais
já se possa desenvolver uma pré-álgebra, é especialmente nas
séries finais do ensino
fundamental que os trabalhos algébricos serão ampliados; trabalhando com situações-problema,
o aluno reconhecerá diferentes funções da álgebra (como modelizar, resolver problemas
aritmeticamente insolúveis, demonstrar), representando problemas por meio de
equações (identificando parâmetros, variáveis e relações e tomando contato com
fórmulas, equações, variáveis e incógnitas) e conhecendo a “sintaxe” (regras
para resolução) de uma equação.
ESPAÇO
E FORMA
Os conceitos geométricos
constituem parte importante do currículo de Matemática no ensino
fundamental, porque, por
meio deles, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite
compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive.
A Geometria é um campo
fértil para se trabalhar com situações-problema e é um tema pelo
qual os alunos costumam se
interessar naturalmente. O trabalho com noções geométricas contribui para a
aprendizagem de números e medidas, pois estimula a criança a observar, perceber
semelhanças e diferenças, identificar regularidades e vice-versa.
Além disso, se esse
trabalho for feito a partir da exploração dos objetos do mundo físico, de
obras de arte, pinturas,
desenhos, esculturas e artesanato, ele permitirá ao aluno estabelecer conexões entre
a Matemática e outras áreas do conhecimento.
GRANDEZAS
E MEDIDAS
Este bloco caracteriza-se
por sua forte relevância social, com evidente caráter prático e utilitário. Na
vida em sociedade, as grandezas e as medidas estão presentes em quase todas as
atividades realizadas. Desse modo, desempenham papel importante no currículo,
pois mostram claramente ao aluno a utilidade do conhecimento matemático no
cotidiano.
As atividades em que as
noções de grandezas e medidas são exploradas proporcionam melhor compreensão de
conceitos relativos ao espaço e às formas. São contextos muito ricos para o
trabalho com os significados dos números e das operações, da idéia de
proporcionalidade e escala, e um campo fértil para uma abordagem histórica.
TRATAMENTO
DA INFORMAÇÃO
A demanda social é que
leva a destacar este tema como um bloco de conteúdo, embora pudesse ser incorporado
aos anteriores. A finalidade do destaque é evidenciar sua importância, em
função de seu uso atual na sociedade.
Integrarão este bloco
estudos relativos a noções de estatística, de probabilidade e de combinatória.
Evidentemente, o que se
pretende não é o desenvolvimento de um trabalho baseado na definição de termos
ou de fórmulas envolvendo tais assuntos.
Com relação à estatística,
a finalidade é fazer com que o aluno venha a construir procedimentos para coletar,
organizar, comunicar e interpretar dados, utilizando tabelas, gráficos e
representações que aparecem freqüentemente em seu dia-a-dia.
Relativamente à
combinatória, o objetivo é levar o aluno a lidar com situações-problema que
envolvam combinações, arranjos, permutações e, especialmente, o princípio
multiplicativo da contagem.
Com relação à
probabilidade, a principal finalidade é a de que o aluno compreenda que grande
parte dos acontecimentos do cotidiano são de natureza aleatória e é possível
identificar prováveis resultados desses acontecimentos. As noções de acaso e
incerteza, que se manifestam intuitivamente, podem ser exploradas na escola, em
situações nas quais o aluno realiza experimentos e observa eventos (em espaços
equiprováveis).
Organização de conteúdos
Uma vez selecionados os
conteúdos para o ensino fundamental, eles se organizam em ciclos e, posteriormente,
em projetos que cada professor realizará ao longo de um ano letivo.
A organização de conteúdos
pressupõe, portanto, que se analise:
• A variedade de conexões que podem
ser estabelecidas entre os diferentes blocos, ou seja, ao planejar
suas atividades, o professor procurará articular múltiplos aspectos dos
diferentes blocos, visando possibilitar a compreensão mais fundamental que o
aluno possa atingir a respeito dos princípios/ métodos básicos do corpo de
conhecimentos matemáticos (proporcionalidade, equivalência, dedução, etc.);
além disso, buscará estabelecer ligações entre a Matemática, as situações
cotidianas dos alunos e as outras áreas do conhecimento.
• A ênfase maior ou menor que deve
ser dada a cada item, ou seja, que pontos merecem mais atenção e que pontos não são
tão fundamentais; assim, por exemplo, o estudo da representação decimal dos
números racionais é fundamental devido à disseminação das calculadoras e de
outros instrumentos que a utilizam.
• Os níveis de aprofundamento dos
conteúdos em função das possibilidades de compreensão dos alunos, isto é, levando em conta
que um mesmo tema será explorado em diferentes momentos da aprendizagem e sua
consolidação se dará pelo número cada vez maior de relações estabelecidas, é
preciso identificar o nível de aprofundamento
adequado a cada ciclo.
O detalhamento de
conteúdos por ciclos, que será feito na seqüência deste documento, não
implica sua imediata
transposição para a prática da sala de aula. É fundamental ressaltar que, ao serem
reinterpretados regionalmente (nos Estados e Municípios) e localmente (nas
unidades escolares), os conteúdos, além de incorporarem elementos específicos
de cada realidade, serão organizados de forma articulada e integrada ao projeto
educacional de cada escola.
Avaliação em Matemática
Mudanças na definição de
objetivos para o ensino fundamental, na maneira de conceber a aprendizagem, na
interpretação e na abordagem dos conteúdos matemáticos implicam repensar sobre
as finalidades da avaliação, sobre o que e como se avalia, num trabalho que
inclui uma variedade de situações de aprendizagem, como a resolução de
problemas, o trabalho com jogos, o uso de recursos tecnológicos, entre outros.
Alguns professores têm
procurado elaborar instrumentos para registrar observações sobre os alunos.
Um exemplo são as fichas
para o mapeamento do desenvolvimento de atitudes, que incluem questões como:
Procura resolver problemas por seus próprios meios? Faz perguntas? Usa
estratégias criativas ou apenas as convencionais? Justifica as respostas
obtidas? Comunica suas respostas com clareza? Participa dos trabalhos em grupo?
Ajudam os outros na resolução de problemas? Contesta pontos que não compreende
ou com os quais não concorda?
Os resultados expressos
pelos instrumentos de avaliação, sejam eles provas, trabalhos, postura em sala,
constituem indícios de competências e como tal devem ser considerados. A tarefa
do avaliador constitui um permanente exercício de interpretação de sinais, de
indícios, a partir dos quais manifesta juízos de valor que lhe permitem
reorganizar a atividade pedagógica.
Ao levantar indícios sobre
o desempenho dos alunos, o professor deve ter claro o que pretende obter e que
uso fará desses indícios. Nesse sentido, a análise do erro pode ser uma pista
interessante e eficaz.
Na aprendizagem escolar o
erro é inevitável e, muitas vezes, pode ser interpretado como um caminho para
buscar o acerto. Quando o aluno ainda não sabe como acertar, faz tentativas, à
sua maneira, construindo uma lógica própria para encontrar a solução.
Ao procurar identificar,
mediante a observação e o diálogo, como o aluno está pensando, o professor obtém
as pistas do que ele não está compreendendo e pode interferir para auxiliá-lo.
Diferentes fatores podem
ser causa de um erro. Por exemplo, um aluno que erra o resultado da operação
126 - 39 pode não ter estabelecido uma correspondência entre os dígitos ao
“armar” a conta; pode ter subtraído 6 de 9, apoiado na ideia de que na
subtração se retira o número menor do número maior; pode ter colocado qualquer
número como resposta por não ter compreendido o significado da operação; pode
ter utilizado um procedimento aditivo ou contar errado; pode ter cometido erros
de cálculo por falta de um repertório básico.
Quando o professor
consegue identificar a causa do erro, ele planeja a intervenção adequada para auxiliar
o aluno a avaliar o caminho percorrido. Se, por outro lado, todos os erros
forem tratados da mesma maneira, assinalando-se os erros e explicando-se
novamente, poderá ser útil para alguns alunos, se a explicação for suficiente
para esclarecer algum tipo particular de dúvida, mas é bem provável que outros
continuarão sem compreender e sem condições de reverter a situação.
MATEMÁTICA
2ª PARTE
PRIMEIRO CICLO
Ensino
e aprendizagem de Matemática no primeiro ciclo
As crianças que ingressam no primeiro
ciclo, tendo passado ou não pela pré-escola, trazem
consigo uma bagagem de noções informais
sobre numeração, medida, espaço e forma, construídas em sua vivência cotidiana.
Essas noções matemáticas funcionarão como elementos de referência
para o professor na organização das
formas de aprendizagem.
As coisas que as crianças observam (a
mãe fazendo compras, a numeração das casas, os horários das atividades da
família), os cálculos que elas próprias fazem (soma de pontos de um jogo,
controle de quantidade de figurinhas que possuem) e as referências que
conseguem estabelecer (estar distante de, estar próximo de) serão transformadas
em objeto de reflexão e se integrarão às suas primeiras atividades matemáticas
escolares.
Desse modo, é fundamental que o
professor, antes de elaborar situações de aprendizagem,
investigue qual é o domínio que cada
criança tem sobre o assunto que vai explorar, em que situações algumas
concepções são ainda instáveis, quais as possibilidades e as dificuldades de
cada uma para enfrentar este ou aquele desafio.
É importante salientar que partir dos
conhecimentos que as crianças possuem não significa
restringir-se a eles, pois é papel da
escola ampliar esse universo de conhecimentos e dar condições a elas de
estabelecerem vínculos entre o que conhecem e os novos conteúdos que vão
construir, possibilitando uma aprendizagem significativa.
Uma característica marcante dos alunos
deste ciclo é que sua participação nas atividades tem um caráter bastante
individualista, que os leva a não observar a produção dos colegas; nesse
sentido, é fundamental a intervenção do professor, socializando as estratégias
pessoais de abordagem de um problema, sejam elas semelhantes ou diferentes, e
ensinando a compartilhar conhecimentos.
Eles também se utilizam de
representações tanto para interpretar o problema como para comunicar sua
estratégia de resolução. Essas representações evoluem de formas pictóricas
(desenhos com detalhes nem sempre relevantes para a situação) para
representações simbólicas, aproximando- se cada vez mais das representações
matemáticas. Essa evolução depende de um trabalho do
professor no sentido de chamar a
atenção para as representações, mostrar suas diferenças, as vantagens de
algumas, etc.
Ao explorarem as situações-problema, os
alunos deste ciclo precisam do apoio de recursos como materiais de contagem
(fichas, palitos, reprodução de cédulas e moedas), instrumentos de medida,
calendários, embalagens, figuras tridimensionais e bidimensionais, etc.
Contudo, de forma progressiva, vão
realizando ações, men- talmente, e, após algum tempo, essas ações são
absorvidas. Assim, por exemplo, se mostram a certa altura capazes de encontrar todas
as possíveis combinações aditivas que resultam 10, sem ter necessidade de
apoiar-se em materiais e é importante que isso seja incentivado pelo professor.
Um aspecto muito peculiar a este ciclo
é a forte relação entre a língua materna e a linguagem matemática. Se para a
aprendizagem da escrita o suporte natural é a fala, que funciona como um
elemento de mediação na passagem do pensamento para a escrita, na aprendizagem
da Matemática a expressão oral também desempenha um papel fundamental.
Falar sobre Matemática, escrever textos
sobre conclusões, comunicar resultados, usando ao
mesmo tempo elementos da língua materna
e alguns símbolos matemáticos, são atividades
importantes para que a linguagem
matemática não funcione como um código indecifrável para os alunos.
Objetivos de Matemática para o primeiro ciclo
Neste ciclo, o ensino de Matemática
deve levar o aluno a:
• Construir o significado do número
natural a partir de seus diferentes usos no contexto social, explorando
situações-problema que envolvam contagens, medidas e códigos numéricos.
• Interpretar e produzir escritas
numéricas, levantando hipóteses sobre elas, com base na observação de
regularidades, utilizando-se da linguagem oral, de registros informais e da
linguagem matemática.
• Resolver situações-problema e
construir, a partir delas, os significados das operações fundamentais, buscando
reconhecer que uma mesma operação está relacionada a problemas diferentes e um
mesmo problema pode ser resolvido pelo uso de diferentes operações.
• Desenvolver procedimentos de cálculo
— mental, escrito, exato, aproximado — pela observação de regularidades e de
propriedades das operações e pela antecipação e verificação de resultados.
• Refletir sobre a grandeza numérica,
utilizando a calculadora como instrumento para produzir e analisar escritas.
• Estabelecer pontos de referência para
situar-se, posicionar-se e desloca-se no espaço, bem como para identificar
relações de posição entre objetos no espaço; interpretar e fornecer instruções,
usando terminologia adequada.
• Perceber semelhanças e diferenças
entre objetos no espaço, identificando formas tridimensionais ou
bidimensionais, em situações que envolvam descrições orais, construções e
representações.
• Reconhecer grandezas mensuráveis,
como comprimento, massa, capacidade e elaborar estratégias pessoais de medida.
• Utilizar informações sobre tempo e
temperatura.
• Utilizar instrumentos de medida,
usuais ou não, estimar resultados e expressá-los por meio de representações não
necessariamente convencionais.
• Identificar o uso de tabelas e
gráficos para facilitar a leitura e interpretação de informações e construir
formas pessoais de registro para comunicar informações coletadas.
Conteúdos de Matemática para o primeiro ciclo
No primeiro ciclo as crianças
estabelecem relações que as aproximam de alguns conceitos, descobrem
procedimentos simples e desenvolvem atitudes perante a Matemática.
Os conhecimentos das crianças não estão
classificados em campos (numéricos, geométricos, métricos, etc.), mas sim interligados.
Essa forma articulada deve ser preservada no trabalho do professor, pois as
crianças terão melhores condições de apreender o significado dos diferentes conteúdos
se conseguirem perceber diferentes relações deles entre si.
Desse modo, embora o professor tenha os
blocos de conteúdo como referência para seu trabalho, ele deve apresentá-los
aos alunos deste ciclo da forma mais integrada possível.
Em função da própria diversidade das
experiências vivenciadas pelas crianças também não é possível definir, de forma
única, uma seqüência em que conteúdos matemáticos serão trabalhados nem mesmo o
nível de aprofundamento que lhes será dado.
Por outro lado, o trabalho a ser
desenvolvido não pode ser improvisado, pois há objetivos a serem atingidos.
Embora seja possível e aconselhável que em cada sala de aula sejam percorridos diferentes
caminhos, é importante que o professor tenha coordenadas orientadoras do seu
trabalho;
Os objetivos e os blocos de conteúdos
são excelentes guias.
Uma abordagem adequada dos conteúdos
supõe uma reflexão do professor diante da questão do papel dos conteúdos e de
como desenvolvê-los para atingir os objetivos propostos.
Com relação ao número, de forma
bastante simples, pode-se dizer que é um indicador de
quantidade (aspecto cardinal), que
permite evocá-la mentalmente sem que ela esteja fisicamente presente. É também
um indicador de posição (aspecto ordinal), que possibilita guardar o lugar ocupado
por um objeto, pessoa ou acontecimento numa listagem, sem ter que memorizar
essa lista integralmente. Os números também são usados como código, o que não
tem necessariamente ligação direta com o aspecto cardinal, nem com o aspecto
ordinal (por exemplo, número de telefone, de placa de carro, etc.).
No entanto, essas distinções não
precisam ser apresentadas formalmente, mas elas serão identificadas nas várias
situações de uso social que os alunos vivenciam e para as quais o professor vai
lhes chamar a atenção.
É a partir dessas situações cotidianas
que os alunos constroem hipóteses sobre o significado dos números e começam a
elaborar conhecimentos sobre as escritas numéricas, de forma semelhante ao que
fazem em relação à língua escrita.
As escritas numéricas podem ser
apresentadas, num primeiro momento, sem que seja necessário compreendê-las e
analisá-las pela explicitação de sua decomposição em ordens e classes (unidades,
dezenas e centenas). Ou seja, as características do sistema de numeração são
observadas, principalmente por meio da análise das representações numéricas e
dos procedimentos de cálculo, em situações-problema.
Grande parte dos problemas no interior
da Matemática e fora dela são resolvidos pelas operações fundamentais. Seria
natural, portanto, que, levando em conta essa relação, as atividades para o
estudo das operações se iniciasse e se desenvolvesse num contexto de resolução
de problemas.
No entanto, muitas vezes se observa que
o trabalho é iniciado pela obtenção de resultados
básicos, seguido imediatamente pelo
ensino de técnicas operatórias convencionais e finalizado pela utilização das
técnicas em “problemas-modelo”, muitas vezes ligados a uma única idéia das várias
que podem ser associadas a uma dada operação.
No primeiro ciclo, serão explorados
alguns dos significados das operações, colocando-se em
destaque a adição e a subtração, em
função das características da situação.
Ao longo desse trabalho, os alunos
constroem os fatos básicos das operações (cálculos com
dois termos, ambos menores do que dez),
constituindo um repertório que dá suporte ao cálculo mental e escrito. Da mesma
forma, a calculadora será usada como recurso, não para substituir a construção
de procedimentos de cálculo pelo aluno, mas para ajudá-lo a compreendê-los.
Diversas situações enfrentadas pelos
alunos não encontram nos conhecimentos aritméticos
elementos suficientes para a sua
abordagem. Para compreender, descrever e representar o mundo em que vive, o
aluno precisa, por exemplo, saber localizar-se no espaço, movimentar-se nele, dimensionar
sua ocupação, perceber a forma e o tamanho de objetos e a relação disso com seu
uso.
Assim, nas atividades geométricas
realizadas no primeiro ciclo, é importante estimular os
alunos a progredir na capacidade de
estabelecer pontos de referência em seu entorno, a situar-se no espaço,
deslocar-se nele, dando e recebendo instruções, compreendendo termos como
esquerda, direita, distância, deslocamento, acima, abaixo, ao lado, na frente,
atrás, perto, para descrever a posição, construindo itinerários. Também é
importante que observem semelhanças e diferenças entre formas tridimensionais e
bidimensionais, figuras planas e não planas, que construam e representem
objetos de diferentes formas.
A exploração dos conceitos e
procedimentos relativos a espaço e forma é que possibilita ao
aluno a construção de relações para a
compreensão do espaço a sua volta.
Tanto no trabalho com números e
operações como no trabalho com espaço e forma, grandezas de diversas naturezas
estarão envolvidas. Pela comparação dessas grandezas, em situações-problema e
com base em suas experiências pessoais, as crianças deste ciclo usam
procedimentos de medida e constroem um conceito aproximativo de medida,
identificando quais atributos de um objeto são passíveis de mensuração.
Não é objetivo deste ciclo a
formalização de sistemas de medida, mas sim levar a criança a compreender o
procedimento de medir, explorando para isso tanto estratégias pessoais quanto
ao uso de alguns instrumentos, como balança, fita métrica e recipientes de uso
frequente. Também é interessante que durante este ciclo se inicie uma
aproximação do conceito de tempo e uma exploração do significado de indicadores
de temperatura, com os quais ela tem contato pelos meios de comunicação. Isso
pode ser feito a partir de um trabalho com relógios de ponteiros, relógios
digitais e termômetros.
Os assuntos referentes ao Tratamento da
Informação serão trabalhados neste ciclo de modo
a estimularem os alunos a fazer
perguntas, a estabelecer relações, a construir justificativas e a desenvolver o
espírito de investigação.
A finalidade não é a de que os alunos
aprendam apenas a ler e a interpretar representações
gráficas, mas que se tornem capazes de
descrever e interpretar sua realidade, usando conhecimentos matemáticos.
Neste ciclo é importante que o
professor estimule os alunos a desenvolver atitudes de organização,
investigação, perseverança. Além disso, é fundamental que eles adquiram uma
postura diante de sua produção que os levem a justificar e validar suas
respostas e observem que situações de erro são comuns, e a partir delas também
se pode aprender. Nesse contexto, é que o interesse, a cooperação e o respeito
para com os colegas começam a se constituir.
O primeiro ciclo tem, portanto, como
característica geral o trabalho com atividades que aproximem o aluno das
operações, dos números, das medidas, das formas e espaço e da organização de
informações, pelo estabelecimento de vínculos com os conhecimentos com que ele
chega à escola. Nesse trabalho, é fundamental que o aluno adquira confiança em
sua própria capacidade para aprender Matemática e explore um bom repertório de
problemas que lhe permitam avançar no processo de formação de conceitos.
CONTEÚDOS CONCEITUAIS E PROCEDIMENTAIS
Números Naturais e Sistema de
Numeração Decimal
• Reconhecimento de números no contexto
diário.
• Utilização de diferentes estratégias
para quantificar elementos de uma coleção: contagem, pareamento, estimativa e
correspondência de agrupamentos.
• Utilização de diferentes estratégias
para identificar números em situações que envolvem contagens e medidas.
• Comparação e ordenação de coleções
pela quantidade de elementos e ordenação de grandezas pelo aspecto da medida.
• Formulação de hipóteses sobre a
grandeza numérica, pela identificação da quantidade de algarismos e da posição
ocupada por eles na escrita numérica.
• Leitura, escrita, comparação e
ordenação de números familiares ou freqüentes.
• Observação de critérios que definem
uma classificação de números (maior que, menor que, estar entre) e de regras
usadas em seriações (mais 1, mais 2, dobro, metade).
• Contagem em escalas ascendentes e
descendentes de um em um, de dois em dois, de cinco em cinco, de dez em dez,
etc., a partir de qualquer número dado.
• Identificação de regularidades na
série numérica para nomear, ler e escrever números menos freqüentes.
• Utilização de calculadora para
produzir e comparar escritas numéricas.
• Organização em agrupamentos para
facilitar a contagem e a comparação entre grandes coleções.
• Leitura, escrita, comparação e
ordenação de notações numéricas pela compreensão das características do sistema
de numeração decimal (base, valor posicional).
Operações com Números Naturais
• Análise, interpretação, resolução e
formulação de situações-problema, compreendendo alguns dos significados das
operações, em especial da adição e da subtração.
• Reconhecimento de que diferentes
situações-problema podem ser resolvidas por uma única operação e de que
diferentes operações podem resolver um mesmo problema.
• Utilização de sinais convencionais
(+, -, x, :, =) na escrita das operações.
• Construção dos fatos básicos das
operações a partir de situaçõesproblema, para constituição de um repertório a
ser utilizado no cálculo.
• Organização dos fatos básicos das
operações pela identificação de regularidades e propriedades.
• Utilização da decomposição das
escritas numéricas para a realização do cálculo mental exato e aproximado.
• Cálculos de adição e subtração, por
meio de estratégias pessoais e algumas técnicas convencionais.
• Cálculos de multiplicação e divisão
por meio de estratégias pessoais.
• Utilização de estimativas para
avaliar a adequação de um resultado e uso de calculadora para desenvolvimento
de estratégias de verificação e controle de cálculos.
Espaço e Forma
• Localização de pessoas ou objetos no
espaço, com base em diferentes pontos de referência e algumas indicações de
posição.
• Movimentação de pessoas ou objetos no
espaço, com base em diferentes pontos de referência e algumas indicações de
direção e sentido.
• Descrição da localização e
movimentação de pessoas ou objetos no espaço, usando sua própria terminologia.
• Dimensionamento de espaços,
percebendo relações de tamanho e forma.
• Interpretação e representação de
posição e de movimentação no espaço a partir da análise de maquetes, esboços,
croquis e itinerários.
• Observação de formas geométricas presentes
em elementos naturais e nos objetos criados pelo homem e de suas
características: arredondadas ou não, simétricas ou não, etc.
• Estabelecimento de comparações entre
objetos do espaço físico e objetos geométricos — esféricos, cilíndricos,
cônicos, cúbicos, piramidais, prismáticos — sem uso obrigatório de
nomenclatura.
• Percepção de semelhanças e diferenças
entre cubos e quadrados, paralelepípedos e retângulos, pirâmides e triângulos,
esferas e círculos.
• Construção e representação de formas
geométricas.
Grandezas e Medidas
• Comparação de grandezas de mesma
natureza, por meio de estratégias pessoais e uso de instrumentos de medida
conhecidos — fita métrica, balança, recipientes de um litro, etc.
• Identificação de unidades de tempo —
dia, semana, mês, bimestre, semestre, ano — e utilização de calendários.
• Relação entre unidades de tempo —
dia, semana, mês, bimestre, semestre, ano.
• Reconhecimento de cédulas e moedas
que circulam no Brasil e de possíveis trocas entre cédulas e moedas em função
de seus valores.
• Identificação dos elementos
necessários para comunicar o resultado de uma medição e produção de escritas
que representem essa medição.
• Leitura de horas, comparando relógios
digitais e de ponteiros.
Tratamento da Informação
• Leitura e interpretação de
informações contidas em imagens.
• Coleta e organização de informações.
• Criação de registros pessoais para
comunicação das informações coletadas.
• Exploração da função do número como
código na organização de informações (linhas de ônibus, telefones, placas de
carros, registros de identidade, bibliotecas, roupas, calçados).
• Interpretação e elaboração de listas,
tabelas simples, de dupla entrada e gráficos de barra para comunicar a
informação obtida.
• Produção de textos escritos a partir
da interpretação de gráficos e tabelas.
CONTEÚDOS ATITUDINAIS
• Desenvolvimento de atitudes
favoráveis para a aprendizagem de Matemática.
• Confiança na própria capacidade para
elaborar estratégias pessoais diante de situações-problema.
• Valorização da troca de experiências
com seus pares como forma de aprendizagem.
• Curiosidade por questionar, explorar
e interpretar os diferentes usos dos números, reconhecendo sua utilidade na
vida cotidiana.
• Interesse e curiosidade por conhecer
diferentes estratégias de cálculo.
• Valorização da utilidade dos
elementos de referência para localizar-se e identificar a localização de
objetos no espaço.
• Sensibilidade pela observação das
formas geométricas na natureza, nas artes, nas edificações.
• Valorização da importância das
medidas e estimativas para resolver problemas cotidianos.
• Interesse por conhecer, interpretar e
produzir mensagens, que utilizam formas gráficas para apresentar informações.
• Apreciação da organização na
elaboração e apresentação dos trabalhos.
Critérios
de avaliação de Matemática para o primeiro ciclo
Os critérios indicados apontam aspectos
considerados essenciais em relação às competências que se espera que um aluno
desenvolva até o final do primeiro ciclo. Apresentam-se numa forma que permite
a cada professor adequá-los em função do trabalho efetivamente realizado em sua
sala de aula.
• Resolver situações-problema que envolvam contagem e medida,
significados das operações e seleção de procedimentos de cálculo
Espera-se que o aluno resolva problemas
expressos por situações orais, textos ou representações matemáticas e utilize
conhecimentos relacionados aos números, às medidas, aos significados das
operações, selecionando um procedimento de cálculo pessoal ou convencional e produzindo
sua expressão gráfica. Ao finalizar este ciclo, os diferentes significados das
operações não estão consolidados; por isso, os problemas devem abordar os
significados que já foram apropriados pelos alunos, priorizando as situações de
adição e subtração.
• Ler e escrever números, utilizando conhecimentos sobre a
escrita posicional
Espera-se que o aluno seja capaz de
utilizar o número como um instrumento para representar e resolver situações
quantitativas presentes no cotidiano, evidenciando a compreensão das regras do
sistema de numeração decimal.
• Comparar e ordenar quantidades que expressem grandezas
familiares aos alunos, interpretar e expressar os resultados da
comparação e da ordenação
Espera-se que o aluno tenha noção de
quantidade e utilize procedimentos para identificar e
comparar quantidades, em função da
ordem de grandeza envolvida, e seja capaz de ordenar
quantidades, localizar números em
intervalos, numa seqüência numérica (o “limite” da seqüência numérica é
estabelecido em função do que for possível avançar, considerando-se as
experiências numéricas da classe).
• Medir, utilizando procedimentos pessoais, unidades de medida
não-convencionais ou convencionais (dependendo da familiaridade) e
instrumentos disponíveis e conhecidos
Espera-se que o aluno saiba medir
fazendo uso de unidades de medida não-convencionais,
que sejam adequadas ao atributo que se
quer medir. O conhecimento e uso de unidades e instrumentos convencionais não
são essenciais até o final do primeiro ciclo e dependem da familiaridade que os
alunos possam ter com esses elementos em situações do cotidiano. Outro aspecto
a ser observado é a capacidade do aluno de realizar algumas estimativas de
resultados de medições.
• Localizar a posição de uma pessoa ou
um objeto no espaço e identificar características nas formas dos objetos.
Espera-se que o aluno utilize elementos
de posição como referência para situar-se e movimentar-se em espaços que lhe
sejam familiares, assim como para definir a situação de um objeto num
determinado espaço. É importante também verificar se ele é capaz de estabelecer
semelhanças e diferenças entre os objetos, pela observação de suas formas. A
expressão dessas observações é feita por meio de diferentes representações
(gráficas, orais, com materiais, etc.).
SEGUNDO
CICLO
Ensino e aprendizagem de Matemática no segundo ciclo
Muitos dos aspectos envolvendo o
processo de ensino e aprendizagem abordados no item referente ao primeiro ciclo
precisam também ser considerados pelos professores do segundo ciclo.
Dentre esses aspectos, destaca-se a
importância do conhecimento prévio do aluno como ponto de partida para a
aprendizagem, do trabalho com diferentes hipóteses e representações que as
crianças
produzem, da relação a ser estabelecida
entre a linguagem matemática e a língua materna e do uso de recursos didáticos
como suporte à ação reflexiva do aluno.
No entanto, há outros aspectos a
considerar, levando-se em conta que as capacidades
cognitivas dos alunos sofrem avanços
significativos.
Eles começam a estabelecer relações de
causalidade, o que os estimula a buscar a explicação das coisas (porquês) e as
finalidades (para que servem). O pensamento ganha maior flexibilidade, o que
lhes possibilita perceber transformações. A reversibilidade do pensamento
permite a observação de que alguns elementos dos objetos e das situações
permanecem e outros se transformam. Desse modo, passam a descobrir
regularidades e propriedades numéricas, geométricas e métricas. Também aumenta
a possibilidade de compreensão de alguns significados das operações e das
relações entre elas. Ampliam suas hipóteses, estendendo-as a contextos mais
amplos.
Assim, por exemplo, percebem que
algumas regras, propriedades, padrões, que identificam nos números que lhes são
mais familiares, também valem para números “maiores”.
É importante ressaltar que, apesar
desses avanços, as generalizações são ainda bastante elementares e estão
ligadas à possibilidade de observar, experimentar, lidar com representações, sem
chegar, todavia, a uma formalização de conceitos.
Em relação ao ciclo anterior, os alunos
deste ciclo têm possibilidades de maior concentração
e capacidade verbal para expressar com
mais clareza suas idéias e pontos de vista. Pode-se notar ainda uma evolução
das representações pessoais para as representações convencionais; em muitos casos
têm condições de prescindir de representações pictóricas e podem lidar
diretamente com as escritas matemáticas.
Outro ponto importante a destacar é o
de que, por meio de trocas que estabelecem entre si,
os alunos passam a deixar de ver seus
próprios pontos de vista como verdades absolutas e a enxergar os pontos de
vista dos outros, comparando-os aos seus. Isso lhes permite comparar e analisar
diferentes estratégias de solução.
Objetivos de Matemática para o segundo ciclo
Neste ciclo, o ensino de Matemática
deve levar o aluno a:
• Ampliar o significado do número
natural pelo seu uso em situações problema e pelo reconhecimento de relações e
regularidades.
• Construir o significado do número
racional e de suas representações (fracionária e decimal), a partir de seus
diferentes usos no contexto social.
• Interpretar e produzir escritas
numéricas, considerando as regras do sistema de numeração decimal e
estendendo-as para a representação dos números racionais na forma decimal.
• Resolver problemas, consolidando
alguns significados das operações fundamentais e construindo novos, em
situações que envolvam números naturais e, em alguns casos, racionais.
• Ampliar os procedimentos de cálculo —
mental, escrito, exato, aproximado — pelo conhecimento de regularidades dos
fatos fundamentais, de propriedades das operações e pela antecipação e
verificação de resultados.
• Refletir sobre procedimentos de
cálculo que levem à ampliação do significado do número e das operações,
utilizando a calculadora como estratégia de verificação de resultados.
• Estabelecer pontos de referência para
interpretar e representar a localização e movimentação de pessoas ou objetos,
utilizando terminologia adequada para descrever posições.
• Identificar características das figuras
geométricas, percebendo semelhanças e diferenças entre elas, por meio de
composição e decomposição, simetrias, ampliações e reduções.
• Recolher dados e informações,
elaborar formas para organizá-los e expressá-los, interpretar dados
apresentados sob forma de tabelas e gráficos e valorizar essa linguagem como
forma de comunicação.
• Utilizar diferentes registros
gráficos — desenhos, esquemas, escritas numéricas — como recurso para expressar
idéias, ajudar a descobrir formas de resolução e comunicar estratégias e
resultados.
• Identificar características de
acontecimentos previsíveis ou aleatórios a partir de situações-problema,
utilizando recursos estatísticos e probabilísticos.
• Construir o significado das medidas,
a partir de situações-problema que expressem seu uso no contexto social e em
outras áreas do conhecimento e possibilitem a comparação de grandezas de mesma
natureza.
• Utilizar procedimentos e instrumentos
de medida usuais ou não, selecionando o mais adequado em função da
situação-problema e do grau de precisão do resultado.
• Representar resultados de medições,
utilizando a terminologia convencional para as unidades mais usuais dos
sistemas de medida, comparar com estimativas prévias e estabelecer relações
entre diferentes unidades de medida.
• Demonstrar interesse para investigar,
explorar e interpretar, em diferentes contextos do cotidiano e de outras áreas
do conhecimento, os conceitos e procedimentos matemáticos abordados neste
ciclo.
• Vivenciar processos de resolução de
problemas, percebendo que para resolvê-los é preciso compreender, propor e
executar um plano de solução, verificar e comunicar a resposta.
Conteúdos de Matemática para o segundo ciclo
No segundo ciclo, os alunos ampliam
conceitos já trabalhados no ciclo anterior (como o de número natural, adição,
medida, etc.), estabelecem relações que os aproximam de novos conceitos (como o
de número racional, por exemplo), aperfeiçoam procedimentos conhecidos
(contagem,
medições) e constroem novos (cálculos
envolvendo proporcionalidade, por exemplo).
Se no primeiro ciclo o trabalho do
professor centra-se na análise das hipóteses levantadas pelos alunos e na
exploração das estratégias pessoais que desenvolvem para resolver situações
problema, neste ciclo ele pode dar alguns passos no sentido de levar seus
alunos a compreenderem enunciados, terminologias e técnicas convencionais sem,
no entanto, deixar de valorizar e estimular suas hipóteses e estratégias
pessoais.
Em relação aos números naturais, os
alunos têm oportunidade de ampliar idéias e procedimentos relativos a contagem,
comparação, ordenação, estimativa e operações que os envolvem. Pela análise das
regras de funcionamento do sistema de numeração decimal, os alunos podem
interpretar e construir qualquer escrita numérica, inclusive a dos números
racionais na forma decimal.
Neste ciclo, são apresentadas aos
alunos situações-problema cujas soluções não se encontram no campo dos números
naturais, possibilitando, assim, que eles se aproximem da noção de número racional,
pela compreensão de alguns de seus significados (quociente, parte-todo, razão)
e de suas representações, fracionária e decimal.
Quanto às operações, os significados já
trabalhados no ciclo anterior são consolidados e novas situações são propostas
com vistas à ampliação do conceito de cada uma dessas operações.
Os recursos de cálculo são ampliados
neste ciclo pelo fato de o aluno ter uma compreensão
mais ampla do sistema de numeração
decimal, além de uma flexibilidade de pensamento para construção do seu cálculo
mental.
Os procedimentos de validação de
estratégias e de resultados obtidos na resolução de problemas também são
aprimorados neste ciclo. Nesse contexto, a calculadora pode ser utilizada como
um recurso didático, tanto para que o aluno analise resultados que lhe são apresentados,
como para controlar e corrigir sua própria produção.
O trabalho com Espaço e Forma
centra-se, ainda, na realização de atividades exploratórias
do espaço. Assim, deslocando-se no
espaço, observando o deslocamento de outras pessoas, antecipando seus próprios
deslocamentos, observando e manipulando formas, os alunos percebem as relações
dos objetos no espaço e utilizam o vocabulário correspondente (em cima,
embaixo, ao lado, atrás, entre, esquerda, direita, no mesmo sentido, em direção
contrária).
Mas é importante também que sejam
incentivados a trabalhar com representações do espaço, produzindo-as e
interpretando-as. O trabalho com malhas e diagramas, a exploração de guias e mapas
podem constituir um recurso para a representação do espaço.
Quanto às formas, o professor estimula
a observação de características das figuras tridimensionais e bidimensionais, o
que lhes permite identificar propriedades e, desse modo, estabelecer algumas classificações.
Em relação às grandezas e medidas, os
alunos deste ciclo podem compreender melhor como se processa uma dada medição e
que aspectos do processo de medição são sempre válidos. Ou seja, percebem a
necessidade de escolher uma certa “unidade”, de comparar essa unidade com o objeto
que estão medindo e de contar o número de vezes que essa unidade foi utilizada.
Nesse processo, descobrem que,
dependendo da unidade escolhida, o resultado da medição varia e há unidades
mais adequadas que outras, em função do que se pretende medir. Relações usuais
(metro, centímetro, grama, quilograma, etc.) são exploradas, sem, no entanto,
exagerar no trabalho com conversões desprovidas de significado prático
(quilômetro para milímetro, por exemplo).
Outra observação é que, embora os
alunos possam medir usando padrões não-convencionais, é importante conhecerem
os sistemas convencionais, especialmente porque facilitam a comunicação.
O trabalho com medidas evidencia as
relações entre sistemas decimais de medida, sistema
monetário e sistema de numeração
decimal. Também neste ciclo serão ampliadas as noções referentes a tempo e
temperatura.
Relativamente ao tratamento da
informação, o trabalho a ser desenvolvido a partir da coleta, organização e
descrição de dados possibilita aos alunos compreenderem as funções de tabelas e
gráficos, usados para comunicar esses dados: a apresentação global da
informação, a leitura rápida e o destaque dos aspectos relevantes.
Lendo e interpretando dados
apresentados em tabelas e gráficos, os alunos percebem que eles permitem
estabelecer relações entre acontecimentos e, em alguns casos, fazer previsões.
Também, ao observarem a freqüência de
ocorrência de um acontecimento, ao longo de um grande número de experiências,
desenvolvem suas primeiras noções de probabilidade.
A produção de textos escritos a partir
da interpretação de gráficos e tabelas, e a construção de gráficos e tabelas,
com base em informações contidas em textos jornalísticos e científicos, constituem
um aspecto importante a que o professor deve dar especial atenção.
O segundo ciclo tem como característica
geral o trabalho com atividades que permitem ao aluno progredir na construção
de conceitos e procedimentos matemáticos. No entanto, esse ciclo não constitui
um marco de terminalidade da aprendizagem desses conteúdos, o que significa que
o trabalho com números naturais e racionais, operações, medidas, espaço e forma
e o tratamento da informação deverá ter continuidade, para que o aluno alcance
novos patamares de conhecimento.
Nesse trabalho, é fundamental que o
aluno reafirme confiança em si próprio diante da resolução de problemas,
valorize suas estratégias pessoais e também aquelas que são frutos da evolução histórica
do conhecimento matemático.
CONTEÚDOS CONCEITUAIS E PROCEDIMENTAIS
Números Naturais, Sistema de
Numeração Decimal e Números Racionais
• Reconhecimento de números naturais e
racionais no contexto diário.
• Compreensão e utilização das regras
do sistema de numeração decimal, para leitura, escrita, comparação e ordenação
de números naturais de qualquer ordem de grandeza.
• Formulação de hipóteses sobre a
grandeza numérica, pela observação da posição dos algarismos na representação
decimal de um número racional.
• Extensão das regras do sistema de
numeração decimal para compreensão, leitura e representação dos números
racionais na forma decimal.
• Comparação e ordenação de números
racionais na forma decimal.
• Localização na reta numérica, de
números racionais na forma decimal.
• Leitura, escrita, comparação e
ordenação de representações fracionárias de uso frequente.
• Reconhecimento de que os números
racionais admitem diferentes (infinitas)
representações na forma fracionária. •
Identificação e produção de frações equivalentes, pela observação de
representações gráficas e de regularidades nas escritas numéricas.
• Exploração dos diferentes
significados das frações em situações-problema: parte-todo, quociente e razão.
• Observação de que os números naturais
podem ser expressos na forma fracionária.
• Relação entre representações
fracionária e decimal de um mesmo número racional.
• Reconhecimento do uso da porcentagem
no contexto diário.
Operações com Números Naturais e
Racionais
• Análise, interpretação, formulação e
resolução de situações-problema, compreendendo diferentes significados das
operações envolvendo números naturais e racionais.
• Reconhecimento de que diferentes
situações-problema podem ser resolvidas por uma única operação e de que
diferentes operações podem resolver um mesmo problema.
• Resolução das operações com números
naturais, por meio de estratégias pessoais e do uso de técnicas operatórias
convencionais, com compreensão dos processos nelas envolvidos.
• Ampliação do repertório básico das
operações com números naturais para o desenvolvimento do cálculo mental e
escrito.
• Cálculo de adição e subtração de
números racionais na forma decimal, por meio de estratégias pessoais e pelo uso
de técnicas operatórias convencionais.
• Desenvolvimento de estratégias de
verificação e controle de resultados pelo uso do cálculo mental e da
calculadora.
• Decisão sobre a adequação do uso do
cálculo mental — exato ou aproximado — ou da técnica operatória, em função do
problema, dos números e das operações envolvidas.
• Cálculo simples de porcentagens.
Espaço e Forma
• Descrição, interpretação e
representação da posição de uma pessoa ou objeto no espaço, de diferentes
pontos de vista.
• Utilização de malhas ou redes para
representar, no plano, a posição de uma pessoa ou objeto.
• Descrição, interpretação e
representação da movimentação de uma pessoa ou objeto no espaço e construção de
itinerários.
• Representação do espaço por meio de
maquetes.
• Reconhecimento de semelhanças e
diferenças entre corpos redondos, como a esfera, o cone, o cilindro e outros.
• Reconhecimento de semelhanças e
diferenças entre poliedros (como os prismas, as pirâmides e outros) e
identificação de elementos como faces, vértices e arestas.
• Composição e decomposição de figuras
tridimensionais, identificando diferentes possibilidades.
• Identificação da simetria em figuras
tridimensionais.
• Exploração das planificações de
algumas figuras tridimensionais.
• Identificação de figuras poligonais e
circulares nas superfícies planas
das figuras tridimensionais.
• Identificação de semelhanças e
diferenças entre polígonos, usando critérios como número de lados, número de
ângulos, eixos de simetria, etc.
• Exploração de características de
algumas figuras planas, tais como: rigidez triangular, paralelismo e
perpendicularismo de lados, etc.
• Composição e decomposição de figuras
planas e identificação de que qualquer polígono pode ser composto a partir de
figuras triangulares.
• Ampliação e redução de figuras planas
pelo uso de malhas.
• Percepção de elementos geométricos
nas formas da natureza e nas criações artísticas.
• Representação de figuras geométricas.
Grandezas e Medidas
• Comparação de grandezas de mesma
natureza, com escolha de uma unidade de medida da mesma espécie do atributo a
ser mensurado.
• Identificação de grandezas
mensuráveis no contexto diário: comprimento, massa, capacidade, superfície,
etc.
• Reconhecimento e utilização de
unidades usuais de medida como metro, centímetro, quilômetro, grama, miligrama,
quilograma, litro, mililitro, metro quadrado, alqueire, etc.
• Reconhecimento e utilização de
unidades usuais de tempo e de temperatura.
• Estabelecimento das relações entre
unidades usuais de medida de uma mesma grandeza.
• Reconhecimento dos sistemas de medida
que são decimais e conversões usuais, utilizando-as nas regras desse sistema.
• Reconhecimento e utilização das
medidas de tempo e realização de conversões simples.
• Utilização de procedimentos e
instrumentos de medida, em função do problema e da precisão do resultado.
• Utilização do sistema monetário
brasileiro em situações-problema.
• Cálculo de perímetro e de área de
figuras desenhadas em malhas quadriculadas e comparação de perímetros e áreas
de duas figuras sem uso de fórmulas.
Tratamento da Informação
• Coleta, organização e descrição de
dados.
• Leitura e interpretação de dados
apresentados de maneira organizada (por meio de listas, tabelas, diagramas e
gráficos) e construção dessas representações.
• Interpretação de dados apresentados
por meio de tabelas e gráficos, para identificação de características
previsíveis ou aleatórias de acontecimentos.
• Produção de textos escritos, a partir
da interpretação de gráficos e tabelas, construção de gráficos e tabelas com
base em informações contidas em textos jornalísticos, científicos ou outros.
• Obtenção e interpretação de média
aritmética.
• Exploração da ideia de probabilidade
em situações-problema simples, identificando sucessos possíveis, sucessos
seguros e as situações de “sorte”.
• Utilização de informações dadas para
avaliar probabilidades.
• Identificação das possíveis maneiras
de combinar elementos de uma coleção e de contabilizá-las usando estratégias
pessoais.
CONTEÚDOS ATITUDINAIS
• Confiança em suas possibilidades para
propor e resolver problemas.
• Perseverança, esforço e disciplina na
busca de resultados.
• Segurança na defesa de seus
argumentos e flexibilidade para modificá-los.
• Respeito pelo pensamento do outro,
valorização do trabalho cooperativo e do intercâmbio de idéias, como fonte de
aprendizagem.
• Apreciação da limpeza, ordem,
precisão e correção na elaboração e na apresentação dos trabalhos.
• Curiosidade em conhecer a evolução
histórica dos números, de seus registros, de sistemas de medida utilizados por
diferentes grupos culturais.
• Confiança na própria capacidade para
elaborar estratégias pessoais de cálculo, interesse em conhecer e utilizar
diferentes estratégias para calcular e os procedimentos de cálculo que permitem
generalizações e precisão.
• Curiosidade em conhecer a evolução
histórica dos procedimentos e instrumentos de cálculo utilizados por diferentes
grupos culturais.
• Valorização da utilidade dos sistemas
de referência para localização no espaço.
• Sensibilidade para observar simetrias
e outras características das formas geométricas, na natureza, nas artes, nas
edificações.
• Curiosidade em conhecer a evolução
histórica das medidas, unidades de medida e instrumentos utilizados por
diferentes grupos culturais e reconhecimento da importância do uso adequado dos
instrumentos e unidades de medida convencionais.
• Interesse na leitura de tabelas e
gráficos como forma de obter informações.
• Hábito em analisar todos os elementos
significativos presentes em uma representação gráfica, evitando interpretações
parciais e precipitadas.
Critérios de avaliação
de Matemática para o segundo ciclo
Os critérios indicados apontam aspectos
considerados essenciais em relação às competências que se espera que um aluno
desenvolva até o final do segundo ciclo. Apresentam-se numa forma que permite a
cada professor adequá-los em função do trabalho efetivamente realizado em sua
sala de aula.
• Resolver situações-problema que
envolvam contagem, medidas, os significados das operações, utilizando estratégias pessoais de resolução e
selecionando procedimentos de cálculo
Espera-se que o aluno resolva problemas
utilizando conhecimentos relacionados aos números naturais e racionais (na
forma fracionária e decimal), às medidas e aos significados das operações, produzindo
estratégias pessoais de solução, selecionando procedimentos de cálculo,
justificando tanto os processos de solução quanto os procedimentos de cálculo
em função da situação proposta.
• Ler, escrever números
naturais e racionais, ordenar números naturais e racionais na forma
decimal, pela interpretação do valor posicional de cada uma das ordens
Espera-se que o aluno saiba ler,
escrever, ordenar, identificar sequências e localizar, em intervalos, números
naturais e números racionais na forma decimal, pela identificação das
principais características do sistema de numeração decimal.
• Realizar cálculos,
mentalmente e por escrito, envolvendo números naturais e racionais
(apenas na representação decimal) e comprovar os resultados, por meio de
estratégias de verificação
Espera-se que o aluno saiba calcular
com agilidade, utilizando-se de estratégias pessoais e
convencionais, distinguindo as
situações que requerem resultados exatos ou aproximados. É
importante também avaliar a utilização
de estratégias de verificação de resultados, inclusive as que fazem uso de
calculadoras.
• Medir e fazer estimativas
sobre medidas, utilizando unidades e instrumentos de medida mais usuais
que melhor se ajustem à natureza da medição realizada
Espera-se avaliar se o aluno sabe
escolher a unidade de medida e o instrumento mais adequado a cada situação,
fazer previsões razoáveis (estimativas) sobre resultados de situações que
envolvam grandezas de comprimento, capacidade e massa, e saiba ler, interpretar
e produzir registros utilizando a notação convencional das medidas.
• Interpretar e construir
representações espaciais (croquis, itinerários, maquetes),
utilizando-se de elementos de
referência e estabelecendo relações entre eles
Espera-se que o aluno identifique e
estabeleça pontos de referência e estime distâncias ao
construir representações de espaços
conhecidos, utilizando adequadamente a terminologia usual referente a posições.
• Reconhecer e descrever
formas geométricas tridimensionais e bidimensionais
Espera-se que o aluno identifique
características das formas geométricas tridimensionais e bidimensionais,
percebendo semelhanças e diferenças entre elas (superfícies planas e
arredondadas, formas das faces, simetrias) e reconhecendo elementos que as
compõem (faces, arestas, vértices, lados, ângulos).
• Recolher dados sobre fatos
e fenômenos do cotidiano, utilizando procedimentos de organização, e
expressar o resultado utilizando tabelas e gráficos
Espera-se que o aluno saiba coletar,
organizar e registrar informações por meio de tabelas e gráficos, interpretando
essas formas de registro para fazer previsões.
ORIENTAÇÕES
DIDÁTICAS
As orientações didáticas apresentadas a
seguir pretendem contribuir para a reflexão a respeito de como ensinar,
abordando aspectos ligados às condições nas quais se constituem os
conhecimentos matemáticos.
Analisam os conceitos e procedimentos a
serem ensinados, os modos pelos quais eles se relacionam entre si, e também as
formas por meio das quais as crianças constroem esses conhecimentos
matemáticos.
Números Naturais e Sistema de Numeração Decimal
Os conhecimentos a respeito dos números
naturais são construídos num processo em que eles aparecem como um instrumento
útil para resolver determinados problemas e como um objeto que pode ser
estudado por si mesmo.
Sua utilidade é percebida pelas
crianças antes mesmo de chegarem à escola; elas conhecem números de telefone,
de ônibus, lidam com preços, numeração de calçado, idade, calendário. O estudo
dos números como objeto matemático também deve partir de contextos
significativos para os alunos, envolvendo, por exemplo, o reconhecimento da
existência de diferentes tipos de números (naturais, racionais e outros) e de
suas representações e classificações (primos, compostos, pares, ímpares, etc.).
A criança vem para a escola com um
razoável conhecimento não apenas dos números de 1 a 9, como também de números
como 12, 13, 15, que já lhe são bastante familiares, e de outros números que
aparecem com freqüência no seu dia-a-dia — como os números que indicam os dias do
mês, que vão até 30/31.
Desse modo, as atividades de leitura,
escrita, comparação e ordenação de notações numéricas devem tomar como ponto de
partida os números que a criança conhece. Esse trabalho pode ser feito por meio
de atividades em que, por exemplo, o professor:
• elabora, junto com os alunos, um
repertório de situações em que usam números;
• pede aos alunos que recortem números
em jornais e revistas e façam a leitura deles (do jeito que sabem);
• elabora, com a classe, listas com
números de linhas de ônibus da cidade, números de telefones úteis, números de
placas de carros, e solicita a leitura deles;
• orienta os alunos para que elaborem
fichas onde cada um vai anotar os números referentes a si próprio, tais como:
idade, data de nascimento, número do calçado, peso, altura, número de irmãos,
número de amigos, etc.;
• trabalha diariamente com o calendário
para identificar o dia do mês e registrar a data;
• solicita aos alunos que façam aparecer,
no visor de uma calculadora, números escritos no quadro ou indicados oralmente;
• pede aos alunos que observem a
numeração da rua onde moram, onde começa e onde termina, e registrem o número
de suas casas e de seus vizinhos;
• verifica como os alunos fazem
contagens e como fazem a leitura de números com dois ou mais dígitos e que
hipóteses possuem acerca das escritas desses números.
Na prática escolar, no entanto, o mais
comum é tentar explicitar, logo de início, as ordens que compõem uma escrita numérica
— unidade, dezena, etc. — para que o aluno faça a leitura e a escrita dos
números com compreensão.
Embora isso possa parecer simples e
natural do ponto de vista do adulto, que já conhece as
regras de formação do sistema de
numeração, o que se observa é que os alunos apresentam dificuldades nesse
trabalho, deixando o professor sem compreender por que isso acontece.
No entanto, mesmo sem conhecer as
regras do sistema de numeração decimal, as crianças são capazes de indicar qual
é o maior número de uma listagem, em função da quantidade de algarismos presentes
em sua escrita (justificam que 156 é maior que 76 porque tem mais “números”);
também são capazes de escrever e interpretar números compostos por dois ou três
algarismos.
Para produzir escritas numéricas,
alguns alunos recorrem à justaposição de escritas que já
conhecem, organizando-as de acordo com
a fala. Assim, por exemplo, para representar o 128, podem escrever 100 20 8
(cem/vinte/oito) ou 100 20 e 8 (cem/vinte e oito).
É importante que o professor dê a seus
alunos a oportunidade de expor suas hipóteses sobre os números e as escritas
numéricas, pois essas hipóteses constituem subsídios para a organização de atividades.
Dentre as situações que favorecem a
apropriação da idéia de número pelos alunos, algumas se destacam. Uma delas
consiste em levá-los à necessidade de comparar duas coleções do ponto de vista
da quantidade, seja organizando uma coleção que tenha tantos objetos quanto uma
outra, seja organizando uma coleção que tenha o dobro, ou o triplo, etc., de
uma outra, seja completando uma coleção para que ela tenha a mesma quantidade
de objetos de uma outra.
Outra situação é aquela em que os
alunos precisam situar algo numa listagem ordenada, seja para lembrar da
posição de um dado objeto numa linha, ou de um jogador num jogo em que se contem
pontos, ou para ordenar uma seqüência de fatos, do primeiro ao último. Nessas
situações, utilizarão diferentes estratégias como a contagem, o pareamento, a
estimativa, o arredondamento e, dependendo da quantidade, até a correspondência
de agrupamentos.
Os procedimentos elementares de
cálculo, por sua vez, também contribuem para o desenvolvimento da concepção do
número. Isso ocorre, por exemplo, quando precisam identificar deslocamentos
(avanços e recuos) numa pista graduada; ou então quando necessitam indicar a
quantidade de elementos de coleções que juntam, separam, repartem.
Explorar as escritas pessoais
elaboradas pelos alunos não exclui outro aspecto fundamental
que é o de caminhar em direção às
escritas convencionais, sem as quais não terão referência para se apropriarem
do conhecimento socialmente estabelecido.
As características do sistema de
numeração — agrupamentos de 10 em 10, valor posicional — serão observadas,
principalmente, por meio da análise das representações numéricas e dos procedimentos
de cálculo em situações-problema.
É no trabalho com números “maiores” e
menos freqüentes na vivência das crianças que será
necessário explorar os procedimentos de
leitura, associando-os à representação escrita do número.
O recurso à história da numeração e aos
instrumentos como ábacos e calculadoras pode contribuir para um trabalho
interessante com os números e, em especial, com o sistema de numeração.
Números Racionais
A abordagem dos números racionais no segundo
ciclo tem como objetivo principal levar os
alunos a perceberem que os números
naturais, já conhecidos, são insuficientes para resolver determinados
problemas.
Explorando situações em que usando
apenas números naturais não conseguem exprimir a
medida de uma grandeza ou o resultado
de uma divisão, os alunos identificam nos números racionais a possibilidade de
resposta a novos problemas.
A construção da idéia de número
racional é relacionada à divisão entre dois números inteiros, excluindo-se o
caso em que o divisor é zero. Ou seja, desde que um número represente o
quociente entre dois inteiros quaisquer (o segundo não nulo), ele é um número
racional. Como neste ciclo trabalha-se apenas com os naturais e ainda não com
os inteiros negativos, os números racionais a serem tratados são quocientes de
números naturais.
No entanto, em que pese às relações
entre números naturais e racionais, a aprendizagem dos números racionais supõe
rupturas com idéias construídas pelos alunos acerca dos números naturais, e,
portanto, demanda tempo e uma abordagem adequada.
Ao raciocinar sobre os números
racionais como se fossem naturais, os alunos acabam tendo
que enfrentar vários obstáculos:
• um deles está ligado ao fato de que
cada número racional pode ser representado por diferentes (e infinitas)
escritas fracionárias; por exemplo, 1/3, 2/6, 3/9 e 4/12 são diferentes
representações de um mesmo número;
• outro diz respeito à comparação entre
racionais: acostumados com a relação 3 > 2, terão que construir uma escrita
que lhes parece contraditória, ou seja, 1/3 < 1/2;
• se o “tamanho” da escrita numérica
era um bom indicador da ordem de grandeza no caso dos números naturais (8.345
> 41), a comparação entre 2,3 e 2,125 já não obedece o mesmo critério;
• se ao multiplicar um número natural
por outro natural (sendo este diferente de 0 ou 1) a expectativa era a de
encontrar um número maior que ambos, ao multiplicar 10 por 1/2 se surpreenderão
ao ver que o resultado é menor do que 10;
• se a seqüência dos números naturais
permite falar em sucessor e antecessor, para os racionais isso não faz sentido,
uma vez que entre dois números racionais quaisquer é sempre possível encontrar
outro racional; assim, o aluno deverá perceber que entre 0,8 e 0,9 estão números
como 0,81, 0,815 ou 0,87.
Ao optar por começar o estudo dos
racionais pelo seu reconhecimento no contexto diário, deve-se observar que eles
aparecem no cotidiano das pessoas muito mais em sua representação decimal
(números com vírgula) do que na forma fracionária.
O advento das calculadoras fez com que
as representações decimais se tornassem bastante
freqüentes. Desse modo, um trabalho
interessante consiste em utilizá-las para o estudo das
representações decimais na escola. Por
meio de atividades em que os alunos são convidados a dividir, usando a
calculadora, 1 por 2, 1 por 3, 1 por 4, 1 por 5, etc., e a levantar hipóteses
sobre as escritas que aparecem no visor da calculadora, eles começarão a
interpretar o significado dessas representações decimais.
Usando a calculadora, também perceberão
que as regras do sistema de numeração decimal, utilizadas para representar
números naturais, podem ser aplicadas para se obter a escrita dos racionais na
forma decimal, acrescentando-se novas ordens à direita da unidade (a primeira
ordem) e de forma decrescente.
Além da exploração dessas escritas pelo
uso da calculadora, os alunos também estabelecerão relação entre elas e as
representações referentes ao sistema monetário e aos sistemas de medida.
Já o contato com representações
fracionárias é bem menos freqüente; na vida cotidiana o uso de frações
limita-se a metades, terços, quartos e mais pela via da linguagem oral do que
das representações.
A prática mais comum para explorar o
conceito de fração é a que recorre a situações em que está implícita a relação
parte-todo; é o caso das tradicionais divisões de um chocolate, ou de uma
pizza, em partes iguais.
A relação parte-todo se apresenta,
portanto, quando um todo se divide em partes (equivalentes em quantidade de
superfície ou de elementos). A fração indica a relação que existe entre um
número de partes e o total de partes.
Outro significado das frações é o de
quociente; baseia-se na divisão de um natural por outro (a : b = a / b; b ¹ 0).
Para o aluno, ela se diferencia da interpretação anterior, pois dividir um chocolate
em 3 partes e comer 2 dessas partes é uma situação diferente daquela em que é preciso
dividir 2 chocolates para 3 pessoas. No entanto, nos dois casos, o resultado é
representado pela mesma notação: 2/3.
Uma terceira situação, diferente das
anteriores, é aquela em que a fração é usada como uma espécie de índice
comparativo entre duas quantidades de uma grandeza, ou seja, quando é interpretada
como razão. Isso ocorre, por exemplo, quando se lida com informações do tipo “2
de cada 3 habitantes de uma cidade são imigrantes”.
Outros exemplos podem ser dados: a
possibilidade de sortear uma bola verde de uma caixa em que há 2 bolas verdes e
8 bolas de outras cores (2 em 10); o trabalho com escalas em mapas (a escala é
de 1 cm para 100 m); a exploração da porcentagem (40 em cada 100 alunos da escola
gostam de futebol).
A essas três interpretações, bastante
interessantes de serem exploradas neste ciclo, acrescenta-se mais uma, que será
trabalhada nos ciclos posteriores. Trata-se do significado da fração como
operador, ou seja, quando ela desempenha um papel de transformação, algo que atua
sobre uma situação e a modifica. Essa ideia está presente, por exemplo, num
problema do tipo “que número devo multiplicar por 3 para obter 2”.
Esse breve resumo das interpretações
mostra que a construção do conceito de número racional pressupõe uma
organização de ensino que possibilite experiências com diferentes significados
e representações, o que demanda razoável espaço de tempo; trata-se de um
trabalho que apenas será iniciado no segundo ciclo do ensino fundamental e
consolidado nos dois ciclos finais.
Operações com Números Naturais
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO: SIGNIFICADOS
O desenvolvimento da investigação na
área da Didática da Matemática traz novas referências para o tratamento das
operações. Entre elas, encontram-se as que apontam os problemas aditivos e
subtrativos como aspecto inicial a ser trabalhado na escola, concomitantemente
ao trabalho de construção do significado dos números naturais.
A justificativa para o trabalho
conjunto dos problemas aditivos e subtrativos baseia-se no fato de que eles
compõem uma mesma família, ou seja, há estreitas conexões entre situações
aditivas e subtrativas. A título de exemplo, analisa-se a seguinte situação:
“João possuía 8 figurinhas e ganhou
mais algumas num jogo. Agora ele tem 13 figurinhas”1.
Ao observar as estratégias de solução
empregadas pelos alunos, pode-se notar que a descoberta de quantas figurinhas
João ganhou, às vezes, é encontrada pela aplicação de um procedimento aditivo,
e, outras vezes, subtrativo.
Isso evidencia que os problemas não se
classificam em função unicamente das operações a
eles relacionadas a priori, e sim em
função dos procedimentos utilizados por quem os soluciona.
Outro aspecto importante é o de que a
dificuldade de um problema não está diretamente relacionada à operação
requisitada para a sua solução. É comum considerar-se que problemas aditivos
são mais simples para o aluno do aqueles que envolvem subtração.
Mas a análise de determinadas situações
pode mostrar o contrário:
— Carlos deu 5 figurinhas a José e
ainda ficou com 8 figurinhas. Quantas figurinhas Carlos
tinha inicialmente?
— Pedro tinha 9 figurinhas. Ele deu 5
figurinhas a Paulo. Com quantas figurinhas ele ficou?
O primeiro problema, que é resolvido
por uma adição, em geral se apresenta como mais difícil do que o segundo, que
freqüentemente é resolvido por uma subtração.
Pelo aspecto do cálculo, adição e
subtração também estão intimamente relacionadas. Para calcular mentalmente 40 -
26, alguns alunos recorrem ao procedimento subtrativo de decompor o número 26 e
subtrair primeiro 20 e depois 6; outros pensam em um número que devem juntar a
26 para se obter 40, recorrendo neste caso a um procedimento aditivo.
A construção dos diferentes significados
leva tempo e ocorre pela descoberta de diferentes procedimentos de solução.
Assim, o estudo da adição e da subtração deve ser proposto ao longo dos dois
ciclos, juntamente com o estudo dos números e com o desenvolvimento dos
procedimentos de cálculo, em função das dificuldades lógicas, específicas a
cada tipo de problema, e dos procedimentos de solução de que os alunos dispõem.
1. As situações que aparecem como
exemplos neste texto têm apenas a função de evidenciar os aspectos fundamentais
e as diferenças existentes entre os significados das operações. No trabalho
escolar, elas devem estar incorporadas a outras, mais ricas, contextualizadas,
que possibilitem interpretação, análise, descoberta e verificação de
estratégias.
Dentre as situações que envolvem adição
e subtração a serem exploradas nesses dois ciclos, podem-se destacar, para
efeito de análise e sem qualquer hierarquização, quatro grupos:
Num primeiro grupo, estão as situações associadas à idéia de combinar
dois estados para obter um terceiro, mais comumente identificada como ação de
“juntar”.
Exemplo:
— Em uma classe há 15 meninos e 13
meninas. Quantas crianças há nessa classe?
A partir dessa situação é possível
formular outras duas, mudando-se a pergunta. As novas situações são comumente
identificadas como ações de “separar/tirar”. Exemplos:
— Em uma classe há alguns meninos e 13
meninas, no total são 28 alunos. Quantos meninos há nessa classe?
— Em uma classe de 28 alunos, 15 são
meninos. Quantas são as meninas?
Num segundo grupo, estão as situações
ligadas à idéia de transformação, ou seja, alteração de um estado inicial, que
pode ser positiva ou negativa.
Exemplos:
— Paulo tinha 20 figurinhas. Ele ganhou
15 figurinhas num jogo. Quantas figurinhas ele tem
agora? (transformação positiva).
— Pedro tinha 37 figurinhas. Ele perdeu
12 num jogo. Quantas figurinhas ele tem agora? (transformação negativa).
Cada uma dessas situações pode gerar
outras:
— Paulo tinha algumas figurinhas,
ganhou 12 no jogo e ficou com 20. Quantas figurinhas ele
possuía?
— Paulo tinha 20 figurinhas, ganhou
algumas e ficou com 27. Quantas figurinhas ele ganhou?
— No início de um jogo, Pedro tinha
algumas figurinhas. No decorrer do jogo ele perdeu 20
e terminou o jogo com 7 figurinhas.
Quantas figurinhas ele possuía no início do jogo?
— No início de um jogo Pedro tinha 20
figurinhas. Ele terminou o jogo com 8 figurinhas. O que aconteceu no decorrer
do jogo?
Num terceiro grupo, estão as situações ligadas à idéia de comparação.
Exemplo:
— No final de um jogo, Paulo e Carlos
conferiram suas figurinhas. Paulo tinha 20 e Carlos tinha 10 a mais que Paulo.
Quantas eram as figurinhas de Carlos?
Se se alterar a formulação do problema
e a proposição da pergunta, incorporando ora dados
positivos, ora dados negativos,
podem-se gerar várias outras situações:
— Paulo e Carlos conferiram suas
figurinhas. Paulo tem 12 e Carlos, 7. Quantas figurinhas
Carlos deve ganhar para ter o mesmo
número que Paulo?
— Paulo tem 20 figurinhas. Carlos tem 7
figurinhas a menos que Paulo. Quantas figurinhas
tem Carlos?
Num quarto grupo, estão as situações que supõem a compreensão de mais de
uma
transformação (positiva ou negativa).
Exemplo:
— No início de uma partida, Ricardo
tinha um certo número de pontos. No decorrer do jogo ele ganhou 10 pontos e, em
seguida, ganhou 25 pontos. O que aconteceu com seus pontos no final do jogo?
Também neste caso as variações
positivas e negativas podem levar a novas situações:
— No início de uma partida, Ricardo
tinha um certo número de pontos. No decorrer do jogo ele perdeu 20 pontos e
ganhou 7 pontos. O que aconteceu com seus pontos no final do jogo?
— Ricardo iniciou uma partida com 15
pontos de desvantagem. Ele terminou o jogo com 30 pontos de vantagem. O que
aconteceu durante o jogo?
Embora todas estas situações façam
parte do campo aditivo, elas colocam em evidência níveis diferentes de
complexidade. Note-se que no início da aprendizagem escolar os alunos ainda não
dispõem de conhecimentos e competências para resolver todas elas, necessitando
de uma ampla experiência com situações-problema que os leve a desenvolver
raciocínios mais complexos por meio de tentativas, explorações e reflexões.
Desse modo, o trabalho com as operações
deve ser planejado coletivamente pelos professores, não apenas para ser
desenvolvido nos dois primeiros ciclos, mas também na quinta e sexta séries.
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO: SIGNIFICADOS
Uma abordagem freqüente no trabalho com
a multiplicação é o estabelecimento de uma relação entre ela e a adição. Nesse
caso, a multiplicação é apresentada como um caso particular da adição porque as
parcelas envolvidas são todas iguais. Por exemplo:
— Tenho que tomar 4 comprimidos por
dia, durante 5 dias. Quantos comprimidos preciso comprar?
A essa situação associa-se a escrita 5
x 4, na qual o 4 é interpretado como o número que se
repete e o 5 como o número que indica a
quantidade de repetições.
Ou seja, tal escrita apresenta-se como
uma forma abreviada da escrita 4 + 4 + 4 + 4 + 4.
A partir dessa interpretação,
definem-se papéis diferentes para o multiplicando (o número que se repete) e
para o multiplicador (o número de repetições), não sendo possível tomar um pelo
outro. No exemplo dado, não se pode tomar o número de comprimidos pelo número
de dias. Saber distinguir o valor que se repete do número de repetições é um aspecto
importante para a resolução de situações como esta.
No entanto, essa abordagem não é
suficiente para que os alunos compreendam e resolvam
outras situações relacionadas à
multiplicação, mas apenas aquelas que são essencialmente situações aditivas.
Além disso, ela provoca uma ambigüidade
em relação à comutatividade da multiplicação.
Embora, matematicamente, a x b = b x a,
no contexto de situações como a que foi analisada (dos comprimidos) isso não
ocorre.
Assim como no caso da adição e da
subtração, destaca-se a importância de um trabalho conjunto de problemas que
explorem a multiplicação e a divisão, uma vez que há estreitas conexões entre
as situações que os envolvem e a necessidade de trabalhar essas operações com
base em um campo mais amplo de significados do que tem sido usualmente
realizado.
Dentre as situações relacionadas à
multiplicação e à divisão, a serem exploradas nestes dois ciclos, podem-se
destacar, para efeito de análise e sem qualquer hierarquização, quatro grupos:
Num primeiro grupo, estão as situações associadas ao que se poderia
denominar multiplicação
comparativa.
Exemplos:
— Pedro tem R$ 5,00 e Lia tem o dobro
dessa quantia. Quanto tem Lia?
— Marta tem 4 selos e João tem 5 vezes
mais selos que ela. Quantos selos tem João?
A partir dessas situações de
multiplicação comparativa é possível formular situações que envolvem a divisão.
Exemplo:
— Lia tem R$ 10,00. Sabendo que ela tem
o dobro da quantia de Pedro, quanto tem Pedro?
Num segundo grupo, estão as situações associadas à comparação entre
razões, que, portanto, envolvem a idéia de proporcionalidade.
Os problemas que envolvem essa idéia
são muito freqüentes nas situações cotidianas e, por isso, são mais bem
compreendidos pelos alunos.
Exemplos:
— Marta vai comprar três pacotes de
chocolate. Cada pacote custa R$ 8,00. Quanto ela vai pagar pelos três pacotes?
(A idéia de proporcionalidade está presente: 1 está para 8, assim como 3 está
para 24.)
— Dois abacaxis custam R$ 2,50. Quanto
pagarei por 4 desses abacaxis? (Situação em que
o aluno deve perceber que comprará o
dobro de abacaxis e deverá pagar — se não houver desconto — o dobro, R$ 5,00,
não sendo necessário achar o preço de um abacaxi para depois calcular o de 4.)
A partir dessas situações de
proporcionalidade, é possível formular outras que vão conferir significados à
divisão, associadas às ações “repartir (igualmente)” e “determinar quanto
cabe”.
Exemplos associados ao primeiro
problema:
— Marta pagou R$ 24,00 por 3 pacotes de
chocolate. Quanto custou cada pacote? (A quantia em dinheiro será repartida
igualmente em 3 partes e o que se procura é o valor de uma parte.)
— Marta gastou R$ 24,00 na compra de
pacotes de chocolate que custavam R$ 3,00 cada um. Quantos pacotes de chocolate
ela comprou? (Procura-se verificar quantas vezes 3 cabe em 24, ou seja,
identifica-se a quantidade de partes.)
Num terceiro grupo, estão as situações associadas à configuração
retangular.
Exemplos:
— Num pequeno auditório, as cadeiras
estão dispostas em 7 fileiras e 8 colunas. Quantas cadeiras há no auditório?
— Qual é a área de um retângulo cujos
lados medem 6 cm por 9 cm?
Nesse caso, a associação entre a
multiplicação e a divisão é estabelecida por meio de situações tais como:
— As 56 cadeiras de um auditório estão
dispostas em fileiras e colunas. Se são 7 as fileiras, quantas são as colunas?
— A área de uma figura retangular é de
54 cm2. Se um dos lados mede 6 cm, quanto mede o outro lado?
Num quarto grupo, estão as situações associadas à idéia de combinatória.
Exemplo:
— Tendo duas saias — uma preta (P) e
uma branca (B) — e três blusas — uma rosa (R), uma azul (A) e uma cinza (C) —,
de quantas maneiras diferentes posso me vestir?
Analisando-se esses problemas, vê-se
que a resposta à questão formulada depende das combinações possíveis; no
segundo, por exemplo, os alunos podem obter a resposta, num primeiro momento,
fazendo desenhos, diagramas de árvore, até esgotar as possibilidades:
(P, R), (P, A), (P, C), (B, R), (B, A), (B, C):
Esse resultado que se traduz pelo número de combinações possíveis entre os termos iniciais evidencia um conceito matemático importante, que é o de produto cartesiano.
Note-se
que por essa interpretação não se diferenciam os termos iniciais, sendo
compatível
a
interpretação da operação com sua representação escrita. Combinar saias com
blusas é o mesmo que combinar blusas com saias e isso pode ser expresso por 2 x
3 = 3 x 2.
A
idéia de combinação também está presente em situações relacionadas com a
divisão:
—
Numa festa, foi possível formar 12 casais diferentes para dançar. Se havia 3
moças e todos os presentes dançaram, quantos eram os rapazes?
Os
alunos costumam solucionar esse tipo de problema por meio de tentativas
apoiadas em procedimentos multiplicativos, muitas vezes representando
graficamente o seguinte raciocínio:
—
Um rapaz e 3 moças formam 3 pares.
—
Dois rapazes e 3 moças formam 6 pares.
—
Três rapazes e 3 moças formam 9 pares.
—
Quatro rapazes e 3 moças formam 12 pares.
Levando-se
em conta tais considerações, pode-se concluir que os problemas cumprem um importante
papel no sentido de propiciar as oportunidades para as crianças, do primeiro e
segundo ciclos, interagirem com os diferentes significados das operações,
levando-as a reconhecer que um mesmo problema pode ser resolvido por diferentes
operações, assim como uma mesma operação pode estar associada a diferentes
problemas.
REPERTÓRIO BÁSICO PARA O DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO
Uma
boa habilidade em cálculo depende de consistentes pontos de apoio, em que se
destacam o domínio da contagem e das combinações aritméticas, conhecidas por
denominações diversas como tabuadas, listas de fatos fundamentais, leis,
repertório básico, etc.
Evidentemente,
a aprendizagem de um repertório básico de cálculos não se dá pela simples memorização
de fatos de uma dada operação, mas sim pela realização de um trabalho que
envolve a construção, a organização e, como conseqüência, a memorização
compreensiva desses fatos.
A
construção apóia-se na resolução de problemas e confere significados a escritas
do tipo a + b = c, a x b = c. Já a organização dessas escritas e a observação
de regularidades facilita a memorização compreensiva.
Ao
construírem e organizarem um repertório básico os alunos começam a perceber, intuitivamente,
algumas propriedades das operações, tais como a associatividade e a
comutatividade, na adição e multiplicação. A comutatividade na adição é
geralmente identificada antes de qualquer apresentação pelo professor. Isso
pode ser notado em situações em que, ao adicionarem 4 + 7, invertem os termos
para começar a contagem pelo maior número.
Também
algumas regularidades, presentes nas operações, começam a ser percebidas, tais como:
observar que, nas multiplicações por 2, todos os resultados são pares; que, na tabuada
do cinco, os resultados terminam em zero ou em cinco, etc.
Dentre
os procedimentos que os alunos costumam utilizar na construção e organização desse
repertório, podem-se destacar:
—
contar de dois em dois, três em três para construir as multiplicações por 2,
por 3...;
—
usar resultados de adições de números iguais, como 4 + 4, 7 + 7 para cálculos
com números maiores como 40 + 40, 700 + 700, etc.;
—
“dobrar e adicionar um” para se chegar ao resultado de 5 + 6 como sendo 5 + 5 +
1;
—
adicionar pares de números iguais, como, por exemplo, 8 + 8, para calcular 7 +
9;
—
adicionar 10 e subtrair 1 para somar 9;
—
aplicar as adições que resultam 10 em situações como 7 + 4, calculando (7 + 3)
+ 1 (um dos números é decomposto de maneira a completar um outro para formar
dez);
—
usar regras ou padrões na construção de listas, como, por exemplo:
07
+ 5 = 12 = 5 + 07
17
+ 5 = 22 = 5 + 17
27
+ 5 = 32 = 5 + 27
37
+ 5 = 42 = 5 + 37;
—
encontrar resultados de multiplicações pela adição ou pela subtração: 6 x 8
pode ser calculado como 5 x 8 + 8 = 40 + 8 = 48, e 9 x 7 como 10 x 7 - 7 = 70 -
7 = 63;
—
decompor um número para multiplicá-lo, usando a propriedade distributiva da multiplicação
em relação à adição: 12 x 5 = (10 x 5) + ( 2 x 5) ou (6 x 5) + (6 x 5).
A
construção dos fatos da subtração e da divisão deve ser realizada, buscando-se compreender
suas relações com a adição e a multiplicação, utilizando-se como recurso a
exploração de estratégias
semelhantes
usadas no cálculo dessas operações. Nesse trabalho também é importante que os alunos
observem:
—
a validade da “invariância da diferença”: adicionar ou subtrair um mesmo valor
aos dois termos de uma subtração não altera a diferença — 16 - 9 dá o mesmo
resultado que 17 - 10;
—
a validade de “simplificar” os termos de uma divisão para obter o quociente (16
: 4 dá o mesmo resultado que 8 : 2 e 4 : 1);
—
a não-validade, na subtração e na divisão, de propriedades presentes na adição
e na multiplicação, tais como a comutatividade e a associatividade.
O
foco do trabalho de construção de um repertório básico para o desenvolvimento
do cálculo
consiste
em identificar as estratégias pessoais utilizadas pelos alunos e fazer com que
eles evidenciem sua compreensão por meio de análises e comparações,
explicitando-as oralmente. Já a organização desse repertório dá-se por meio da
exploração das escritas numéricas e apóia-se na contagem, no uso de materiais
didáticos e da reta numérica.
AMPLIAÇÃO DOS PROCEDIMENTOS DE CÁLCULO
A
construção de um repertório básico constitui suporte para a ampliação dos
diferentes procedimentos e tipos de cálculos que o aluno vai desenvolver ao
longo dos ciclos iniciais: cálculo mental ou escrito, exato ou aproximado.
Os
diferentes procedimentos e tipos de cálculo relacionam-se e complementam-se. O
cálculo escrito, para ser compreendido, apóia-se no cálculo mental e nas
estimativas e aproximações. Por sua vez, as estratégias de cálculo mental, pela
sua própria natureza, são limitadas. É bastante difícil, principalmente
tratando-se de cálculos envolvendo números com vários dígitos, armazenar na
memória uma grande quantidade de resultados. Assim, a necessidade de registro
de resultados parciais acaba originando procedimentos de cálculo escrito.
Nos
dois primeiros ciclos, o objetivo principal do trabalho com o cálculo consiste
em fazer com que os alunos construam e selecionem procedimentos adequados à
situação-problema
apresentada,
aos números e às operações nela envolvidos. Por exemplo: numa situação de
compra em um supermercado, para saber se é possível continuar comprando ou não,
em função do dinheiro de que se dispõe, basta fazer um cálculo mental
aproximado; enquanto para saber qual é o saldo ou o débito em uma conta
bancária recorre-se a um procedimento de cálculo exato.
Assim,
é recomendável que a organização do estudo do cálculo privilegie um trabalho
que explore concomitantemente procedimentos de cálculo mental e cálculo
escrito, exato e aproximado, de tal forma que o aluno possa perceber
gradativamente as relações existentes entre eles e com isso aperfeiçoar seus
procedimentos pessoais, para torná-los cada vez mais práticos, aproximando os aos
das técnicas usuais.
A
importância do estudo do cálculo, em suas diferentes modalidades desde as
séries iniciais, justifica-se pelo fato de que é uma atividade básica na
formação do indivíduo, visto que:
—
possibilita o exercício de capacidades mentais como memória, dedução, análise,
síntese,
analogia
e generalização;
—
permite a descoberta de princípios matemáticos como a equivalência, a
decomposição, a
igualdade
e a desigualdade;
—
propicia o desenvolvimento de conceitos e habilidades fundamentais para
aprofundar os
conhecimentos
matemáticos;
—
favorece o desenvolvimento da criatividade, da capacidade para tomar decisões e
de atitudes de segurança para resolver problemas numéricos cotidianos.
Cálculo mental
Os
procedimentos de cálculo mental constituem a base do cálculo aritmético que se
usa no
cotidiano.
De
forma simples, pode-se dizer que se calcula mentalmente quando se efetua uma
operação, recorrendo-se a procedimentos confiáveis, sem os registros escritos e
sem a utilização de instrumentos.
Por
exemplo, a adição entre 43.000 e 19.000 pode ser calculada de formas
diferentes, como, por exemplo:
43.000
mais 10.000, que é igual a 53.000
43.000 mais 20.000, que é igual a 63.000
53.000
mais 9.000 que é igual a 62.000
63.000 menos 1.000 que é igual a 62.000
O
cálculo mental apóia-se no fato de que existem diferentes maneiras de calcular
e pode-se
escolher
a que melhor se adapta a uma determinada situação, em função dos números e das
operações envolvidas. Assim, cada situação de cálculo constitui-se um problema
aberto que pode ser solucionado de diferentes maneiras, recorrendo-se a
procedimentos originais para chegar ao resultado.
No
cálculo mental, a reflexão centra-se no significado dos cálculos intermediários
e isso facilita a compreensão das regras do cálculo escrito. O exercício e a
sistematização dos procedimentos de cálculo mental, ao longo do tempo, levam-no
a ser utilizado como estratégia de controle do cálculo escrito.
Aproximações e estimativas
Grande
parte do cálculo realizado fora da escola é feito a partir de procedimentos
mentais, que nem sempre são levados em conta no trabalho escolar.
Nas
situações práticas, freqüentemente, não se dispõe de lápis e papel, tampouco é
necessário, pois a maioria das respostas não precisa ser exata, basta uma
aproximação. Existem ainda as balanças e as calculadoras que informam
resultados com precisão.
Por
essas razões, uma das finalidades atuais do ensino do cálculo consiste em fazer
com que os alunos desenvolvam e sistematizem procedimentos de cálculo por
estimativa e estratégias de verificação e controle de resultados.
Para
atender a esse objetivo, é primordial que aprendam a reconhecer se certos resultados
relacionados a contagens, medidas, operações são ou não razoáveis em
determinadas situações.
A
estimativa constrói-se juntamente com o sentido numérico e com o significado
das operações e muito auxilia no desenvolvimento da capacidade de tomar decisões.
O trabalho com estimativas supõe a sistematização de estratégias. Seu
desenvolvimento e aperfeiçoamento depende de um trabalho contínuo de
aplicações, construções, interpretações, análises, justificativas e
verificações a partir de resultados exatos.
Desde
as primeiras experiências com quantidades e medidas, as estimativas devem estar
presentes em diversas estratégias que levem os alunos a perceber o significado
de um valor
aproximado,
decidir quando é conveniente usá-lo e que aproximação é pertinente a uma
determinada situação, como, por exemplo, identificar unidades de medida
adequadas às grandezas.
Identificando
intervalos, que tornam uma estimativa aceitável ou não, os alunos aprendem a
justificar
e comprovar suas opiniões e vão refinando suas habilidades em cálculo. Por isso
as estimativas devem ir além da simples identificação das relações “maior que”,
“menor que” e centrar-se na relação “estar entre”.
O
uso associado das calculadoras e dos procedimentos de estimativa é de grande
importância, porque oferece aos alunos informações para que eles percebam se
utilizaram corretamente o instrumento e se o resultado obtido é razoável.
Assim, a utilização da estimativa pode reduzir a incidência de erros e evitar o
uso mecânico desse instrumento.
Os
procedimentos de cálculo por estimativa desenvolvem-se concomitantemente aos processos
de cálculo mental: pelo reconhecimento da grandeza numérica, por meio de decomposições
dos números, pelo estabelecimento de relações de dobro e metade, entre outros.
O
cálculo por estimativas apóia-se em aspectos conceituais referentes aos números
e às operações (ordem de grandeza, valor posicional, proporcionalidade e
equivalência), em procedimentos (como decompor, substituir, arredondar,
compensar), na aplicação de estratégias de cálculo mental.
Alguns
exemplos de atividades que exploram aproximações e estimativas:
—
estimar um produto arredondando um dos fatores (3 x 29 é um resultado próximo
de 3 x 30);
—
posicionar um número racional entre números naturais (0,7 está entre 0 e 1);
—
ao resolver 45 - 19 ajuda saber que 45 - 20 = 25? De que serve pensar que 19 é
o mesmo que 15 + 4? Seguir contando de 19 a 45 ajuda a obter o resultado? Esse
é um procedimento prático?
Cálculo escrito
Na
atividade de resolução de problemas é comum que os alunos construam registros
numéricos para expressar os procedimentos de cálculo mental que utilizam. A
análise desses registros evidencia, muitas vezes, o domínio de conhecimentos
matemáticos que são a base para o cálculo escrito e particularmente para a
compreensão das técnicas de cálculo que usualmente são ensinadas na escola.
Por
exemplo, se para multiplicar 14 por 7 o aluno faz 7 x 7 + 7 x 7 isso mostra
que, nessa situação, ele recorre à decomposição de um dos termos e à
distributividade para encontrar o
resultado,
de uma forma bastante simples. Partindo desse raciocínio é possível fazer com
que ele verifique que existe uma outra forma de decompor o número que também
leva à obtenção do resultado: 10 x 7 + 4 x 7. Esta forma de decomposição — nas unidades
das diversas ordens que compõem o número — é utilizada na técnica usual da
multiplicação.
Assim
como outros procedimentos de cálculo, as técnicas operatórias usualmente
ensinadas
na
escola também apóiam-se nas regras do sistema de numeração decimal e na
existência de propriedades e regularidades presentes nas operações. Porém,
muitos dos erros cometidos pelos alunos são provenientes da não-disponibilidade
desses conhecimentos ou do não-reconhecimento de sua presença no cálculo. Isso
acontece, provavelmente, porque não se exploram os registros pessoais dos
alunos, que são formas intermediárias para se chegar ao registro das técnicas
usuais.
Alguns
recursos podem auxiliar a compreensão das técnicas operatórias:
—
A escrita decomposta dos números ajuda a evidenciar o estabelecimento de
correspondência entre as unidades das diversas ordens, no registro da técnica
da adição e da subtração; também evidencia o “transporte”, no caso da adição, e
o “empréstimo”, no caso da subtração, à ordem imediatamente superior.
200 50
5
+100
40 8
__________________
300 + 90 + 13
300 + 100 + 3
400 + 3
200 140 15
300 50 5
____________________
-100
60 8
100 + 80 + 7
—
A aplicação da invariância da diferença — adicionar (ou subtrair) um mesmo
número aos
dois
termos de uma subtração não altera a diferença — permite a compreensão de uma
das técnicas utilizadas para subtrair.
300
150 15
200
70
_____________________
-100
60 8
100
+ 80 + 7
—
A explicitação de que a propriedade distributiva da multiplicação em relação à
adição é a base da técnica operatória da multiplicação dá o apoio necessário ao
entendimento da técnica.
20 4
x
10
2
40
8
200
40
_______________________
200
+ 80 + 8
—
A obtenção de quocientes parciais que depois são adicionados é uma forma de
efetuar a divisão:
O
cálculo deve ser incentivado nas mais diferentes situações de aprendizagem. O
recurso às calculadoras é uma delas. Na elaboração de atividades envolvendo o
uso de calculadoras é importante que a criança seja colocada diante de desafios
e estimulada a explicitar, verbalmente ou por escrito, os procedimentos que
utiliza. A título de exemplo, apresentam-se algumas atividades que podem ser
feitas usando a calculadora:
—
A partir de um número registrado no visor da calculadora, sem apagá-lo, fazer
aparecer um outro número; por exemplo, transformar:
a)
459 em 409
b)
7.403 em 7.003
c)
354 em 9.054
—
Eliminar o “7” das seguintes escritas numéricas, sem apagá-las: 3.074, 32.479,
879.
—
Descobrir o resultado das operações, nas condições dadas:
a)
273 + 129, sem usar a tecla que indica adição;
b)
1.000 : 43, usando só a tecla que indica a adição; só a tecla que indica a
multiplicação; só
a
tecla que indica a divisão;
c)
partindo do número 572, com uma única operação, obter: 502; 5.720; 57, 2.
Operações com Números
Racionais
OS SIGNIFICADOS
Muitos
dos significados das operações, analisados em situações que envolvem números naturais,
podem ser estendidos às situações com números racionais.
Assim,
a adição e a subtração são exploradas em situações de transformação, de
combinação, de comparação. Também a multiplicação e a divisão são exploradas em
diferentes situações como razão, comparação, configuração retangular. Apenas o
significado da multiplicação como procedimento combinatório não é extensivo aos
números racionais não-inteiros.
O CÁLCULO COM NÚMEROS RACIONAIS
Assim
como se podem estender as regras do sistema de numeração decimal para facilitar
a
compreensão
dos números racionais na forma decimal, os procedimentos de cálculo empregados nos
cálculos com números naturais também podem ser utilizados como recursos para
realizar cálculos envolvendo números decimais.
Além
disso, é importante que as atividades de cálculo com números decimais estejam
sempre vinculadas a situações contextualizadas, de modo que seja possível fazer
uma estimativa ou enquadramento do resultado, utilizando números naturais mais
próximos.
Assim,
por exemplo, diante da situação: “Qual é o valor do perímetro de uma figura
retangular que mede 13,2 cm de um lado e 7,7 cm do outro?”, o aluno pode
recorrer a um procedimento por estimativa, calculando um resultado aproximado (
2 x 13 + 2 x 8), que lhe dará uma boa referência
para
conferir o resultado exato, obtido por meio de um procedimento de cálculo
escrito.
Outra
recomendação é que os alunos desenvolvam uma boa base em leitura e escrita de números
decimais e acompanhem a realização do cálculo escrito, com verbalizações que auxiliem
a perceber o valor posicional das ordens que compõem os números com os quais
estão operando.
Também
a compreensão de deslocamentos da vírgula, uma, duas, três ordens para a
direita ou para a esquerda, nos números decimais, pode ser facilitada se os
alunos souberem dividir e multiplicar mentalmente por 10, 100 ou 1.000.
Em
relação ao cálculo de porcentagem nos dois primeiros ciclos, alguns recursos
mais simples e evidentes para as crianças podem ser explorados, deixando para
os ciclos posteriores a apresentação de técnicas convencionais.
Partindo
de um trabalho em que o aluno compreenda o significado da expressão “dez por cento”,
ele pode, por exemplo, calcular 35% de 120, achando 10% de 120 (12), 5% de 120
(metade de 12) e adicionando as parcelas: 12 + 12 + 12 + 6 = 42.
Espaço e Forma
Estudos
sobre a construção do espaço pela criança destacam que a estruturação espacial
se inicia, desde muito cedo, pela constituição de um sistema de coordenadas
relativo ao seu próprio corpo. É a fase chamada egocêntrica, no sentido de que,
para se orientar, a criança é incapaz de considerar qualquer outro elemento,
que não o seu próprio corpo, como ponto de referência. Aos poucos, ela toma
consciência de que os diferentes aspectos sob os quais os objetos se apresentam
para ela são perfis de uma mesma coisa, ou seja, ela gradualmente toma
consciência dos movimentos de seu próprio corpo, de seu deslocamento.
Essa
capacidade de deslocar-se mentalmente e de perceber o espaço de diferentes
pontos de vista são condições necessárias à coordenação espacial e nesse
processo está a origem das noções de direção, sentido, distância, ângulo e
muitas outras essenciais à construção do pensamento geométrico.
Num
primeiro momento, o espaço se apresenta para a criança de forma essencialmente prática:
ela constrói suas primeiras noções espaciais por meio dos sentidos e dos
movimentos.
Esse
espaço percebido pela criança — espaço perceptivo, em que o conhecimento dos
objetos resulta de um contato direto com eles — lhe possibilitará a construção
de um espaço representativo — em que ela é, por exemplo, capaz de evocar os
objetos em sua ausência.
O
ponto, a reta, o quadrado não pertencem ao espaço perceptivo. Podem ser
concebidos de
maneira
ideal, mas rigorosamente não fazem parte desse espaço sensível. Pode-se então
dizer que a Geometria parte do mundo sensível e o estrutura no mundo geométrico
— dos volumes, das superfícies, das linhas e dos pontos.
A
questão que se pode levantar, então, é: como passar de um espaço a outro?
É
multiplicando suas experiências sobre os objetos do espaço em que vive que a
criança aprenderá a construir uma rede de conhecimentos relativos à
localização, à orientação, que lhe permitirá penetrar no domínio da
representação dos objetos e, assim, distanciar-se do espaço sensorial ou
físico. É o aspecto experimental que colocará em relação esses dois espaços: o
sensível e o geométrico. De um lado, a experimentação permite agir, antecipar,
ver, explicar o que se passa no espaço sensível, e, de outro, possibilita o
trabalho sobre as representações dos objetos do espaço geométrico e, assim,
desprender-se da manipulação dos objetos reais para raciocinar sobre representações
mentais.
A
localização é apontada como um fator fundamental de apreensão do espaço e está
ligada
inicialmente
à necessidade de levar em conta a orientação. Para orientar-se no espaço é
preciso começar por se orientar a partir de seu próprio corpo. O conhecimento
do corpo procede do conhecimento do espaço e, ao mesmo tempo, o torna possível.
No
primeiro ciclo, é fundamental propor atividades para que o aluno seja
estimulado a progredir na capacidade de estabelecer pontos de referência em seu
entorno, para efeito de localização.
Isso
pode ser feito por meio de atividades em que o aluno se situe no espaço,
desloque-se nele, dê e receba instruções de localização, compreenda e utilize
termos como esquerda, direita, giro, distância, deslocamento, acima, abaixo, ao
lado, na frente, atrás, perto.
Outro
trabalho rico que deve ser explorado é o de construção de itinerários, a partir
de instruções dadas. É interessante que os alunos relatem oralmente como é o
trajeto do lugar onde moram até a escola, desenhem o itinerário que fazem,
sempre dando pontos de referência.
No
segundo ciclo, o trabalho de localização pode ser aprofundado por meio de
atividades que mostram a possibilidade de utilizarem-se malhas, diagramas,
tabelas e mapas.
O
estudo do espaço na escola pode ser feito a partir de atividades que tenham a
ver com outras áreas, como a Geografia, a Astronomia, a Educação Física e a
Arte.
Com
relação às formas, experiências mostram que as crianças discriminam algumas
formas geométricas bem mais cedo do que as reproduzem.
O
pensamento geométrico desenvolve-se inicialmente pela visualização: as crianças
conhecem o espaço como algo que existe ao redor delas. As figuras geométricas
são reconhecidas por suas formas, por sua aparência física, em sua totalidade,
e não por suas partes ou propriedades.
Por
meio da observação e experimentação elas começam a discernir as características
de uma figura, e a usar as propriedades para conceituar classes de formas.
Os
objetos que povoam o espaço são a fonte principal do trabalho de exploração das
formas.
O
aluno deve ser incentivado, por exemplo, a identificar posições relativas dos
objetos, a reconhecer no seu entorno e nos objetos que nele se encontram formas
distintas, tridimensionais e bidimensionais, planas e não planas, a fazer construções,
modelos ou desenhos do espaço (de diferentes pontos de vista) e descrevê-los.
Um
trabalho constante de observação e construção das formas é que levará o aluno a
perceber semelhanças e diferenças entre elas. Para tanto, diferentes atividades
podem ser realizadas: compor e decompor figuras, perceber a simetria como
característica de algumas figuras e não de outras, etc.
Dessa
exploração resultará o reconhecimento de figuras tridimensionais (como cubos, paralelepípedos,
esferas, cilindros, cones, pirâmides, etc.) e bidimensionais (como quadrados,
retângulos,
círculos, triângulos, pentágonos, etc.) e a identificação de suas propriedades.
Uma
das possibilidades mais fascinantes do ensino de Geometria consiste em levar o
aluno
a
perceber e valorizar sua presença em elementos da natureza e em criações do
homem. Isso pode ocorrer por meio de atividades em que ele possa explorar
formas como as de flores, elementos marinhos, casa de abelha, teia de aranha,
ou formas em obras de arte, esculturas, pinturas, arquitetura, ou ainda em
desenhos feitos em tecidos, vasos, papéis decorativos, mosaicos, pisos, etc.
As
atividades geométricas podem contribuir também para o desenvolvimento de procedimentos
de estimativa visual, seja de comprimentos, ângulos ou outras propriedades
métricas das figuras, sem usar instrumentos de desenho ou de medida. Isso pode
ser feito, por exemplo, por meio de trabalhos com dobraduras, recortes,
espelhos, empilhamentos, ou pela modelagem de formas em argila ou massa.
Construir
maquetes e descrever o que nelas está sendo representado é também uma atividade
muito importante, especialmente no sentido de dar ao professor uma visão do
domínio geométrico de seus alunos.
O
uso de alguns softwares disponíveis também é uma forma de levar o aluno a raciocinar
geometricamente.
Grandezas e Medidas
Nas
situações cotidianamente vivenciadas pelos alunos, a existência de grandezas de
naturezas diversas e a freqüente necessidade de estabelecer comparação entre
elas, ou seja, de medi-las, justificam a necessidade do trabalho com este
conteúdo.
A
comparação de grandezas de mesma natureza que dá origem à idéia de medida e o desenvolvimento
de procedimentos para o uso adequado de instrumentos, tais como balança, fita métrica
e relógio, conferem a este conteúdo um acentuado caráter prático.
O
trabalho com medidas dá oportunidade para abordar aspectos históricos da
construção desse conhecimento, uma vez que, desde a Antiguidade, praticamente
em todas as civilizações, a atividade matemática dedicou-se à comparação de
grandezas.
Assim,
por exemplo, a utilização do uso de partes do próprio corpo para medir (palmos,
pés)
é
uma forma interessante a ser utilizada com os alunos, porque permite a
reconstrução histórica de um processo em que a medição tinha como referência as
dimensões do corpo humano, além de destacar aspectos curiosos como o fato de
que em determinadas civilizações as medidas do corpo do rei eram tomadas como
padrão.
No
mundo atual, o Sistema Internacional de Unidades fundamenta-se a partir de
unidades de base como: para massa, o quilograma; para comprimento, o metro;
para tempo, o segundo; para temperatura, o kelvin; para intensidade elétrica, o
ampère, etc.
É
no contexto das experiências intuitivas e informais com a medição que o aluno
constrói representações mentais que lhe permitem, por exemplo, saber que
comprimentos como 10, 20 ou 30 centímetros são possíveis de se visualizar numa
régua, que 1 quilo é equivalente a um pacote pequeno de açúcar ou que 2 litros
correspondem a uma garrafa de refrigerante grande.
Essas
representações mentais favorecem as estimativas e o cálculo, evitam erros e
permitem aos alunos o estabelecimento de relações entre as unidades usuais,
ainda que não tenham a compreensão plena dos sistemas de medidas.
Desde
muito cedo as crianças têm experiências com as marcações do tempo (dia, noite,
mês, hoje, amanhã, hora do almoço, hora da escola) e com as medidas de massa,
capacidade, temperatura, etc., mas isso não significa que tenham construído uma
sólida compreensão dos atributos mensuráveis de um objeto, nem que dominem
procedimentos de medida. Desse modo, é importante que ao longo do ensino
fundamental os alunos tomem contato com diferentes situações que os levem a
lidar com grandezas físicas, para que identifiquem que atributo será medido e o
que significa a medida.
Estruturas
conceituais relativas às medidas são desenvolvidas por meio de experiências em
que
se enfatizam aspectos, tais como:
—
o processo de medição é o mesmo para qualquer atributo mensurável; é necessário
escolher uma unidade adequada, comparar essa unidade com o objeto que se deseja
medir e, finalmente, computar o número de unidades obtidas;
—
a escolha da unidade é arbitrária, mas ela deve ser da mesma espécie do
atributo que se
deseja
medir. Há unidades mais e menos adequadas e a escolha depende do tamanho do
objeto e da precisão que se pretende alcançar;
—
quanto maior o tamanho da unidade, menor é o número de vezes que se utiliza
para medir um objeto;
—
se, por um lado, pode-se medir usando padrões não-convencionais, por outro
lado, os sistemas convencionais são importantes, especialmente em termos de
comunicação.
Resolvendo
situações-problema, o aluno poderá perceber a grandeza como uma propriedade de
uma certa coleção de objetos; observará o aspecto da “conservação” de uma
grandeza, isto é, o fato de que mesmo que o objeto mude de posição ou de forma,
algo pode permanecer constante, como, por exemplo, sua massa. Reconhecerá
também que a grandeza pode ser usada como um critério para ordenar uma
determinada coleção de objetos: do mais comprido para o mais curto ou do mais
pesado para o mais leve.
Finalmente,
o estabelecimento da relação entre a medida de uma dada grandeza e um número é
um aspecto de fundamental importância, pois é também por meio dele que o aluno
ampliará seu domínio numérico e compreenderá a necessidade de criação de
números fracionários, negativos, etc.
Tratamento da Informação
É
cada vez mais freqüente a necessidade de se compreender as informações
veiculadas, especialmente pelos meios de comunicação, para tomar decisões e
fazer previsões que terão influência não apenas na vida pessoal, como na de
toda a comunidade.
Estar
alfabetizado, neste final de século, supõe saber ler e interpretar dados
apresentados de maneira organizada e construir representações, para formular e
resolver problemas que impliquem o recolhimento de dados e a análise de
informações.
Essa
característica da vida contemporânea traz ao currículo de Matemática uma
demanda em abordar elementos da estatística, da combinatória e da probabilidade,
desde os ciclos iniciais.
Nos
dois primeiros ciclos, as atividades podem estar relacionadas a assuntos de
interesse das crianças. Assim, por exemplo, trabalhando com datas de
aniversário pode-se propor a organização de uma lista com as informações sobre
o assunto. Um critério para organizar essa lista de nomes precisa ser definido:
ordem alfabética, meninos e meninas, etc. Quando a lista estiver pronta, as crianças
a analisam e avaliam se as informações podem ser encontradas facilmente. O
professor pode então propor a elaboração de uma outra forma de comunicar os
aniversariantes de cada mês, orientando-as, por exemplo, a construir um gráfico
de barras.
Na
construção de gráficos é importante verificar se os alunos conseguem ler as
informações neles representadas. Para tanto, deve-se solicitar que deem sua
interpretação sobre gráficos e propor que pensem em perguntas que possam ser
respondidas a partir deles.
Outros
dados referentes aos alunos, como peso, altura, nacionalidade dos avós, times
de futebol de sua preferência, podem ser trabalhados e apresentados
graficamente.
A
construção de tabelas e gráficos que mostram o comportamento do tempo durante
um período (dias ensolarados, chuvosos, nublados) e o acompanhamento das
previsões do tempo pelos meios de comunicação indicam a possibilidade de se
fazer algumas previsões, pela observação de acontecimentos. Pela observação da
freqüência de ocorrência de um dado acontecimento, e um número razoável de
experiências, podem-se desenvolver algumas noções de probabilidade.
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FICHA TÉCNICA
Coordenação
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Cristina Ribeiro Pereira, Maria Tereza Perez Soares, Neide Nogueira.
Elaboração
Aloma Fernandes Carvalho,
Ana Amélia Inoue, Ana Rosa Abreu, Antonia Terra, Célia M. Carolino Pires,
Circe Bittencourt, Cláudia R. Aratangy, Flávia I. Schilling, Karen Muller,
Kátia L. Bräkling, Marcelo Barros da Silva,
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