MÉTODOS QUANTITATIVOS MATEMÁTICOS 5

CONTINUAÇÃO

Aplicando o conceito de porcentagem em situações-problema

Nesta seção, faremos uma revisão, por meio das atividades apresentadas, sobre diversas situações em que aparece a porcentagem. Um dos pontos mais importantes da porcentagem é lembrar que todo número escrito na forma de razão centesimal é uma porcentagem (numerador igual a 100). Além disso, também iremos rever que um número escrito na forma de porcentagem pode ser escrito na forma de fração, fração irredutível, número

decimal e taxa percentual.

 • Para montar uma confecção de fantasias infantis, uma cooperativa de costureiras fez um investimento inicial de R$ 120.000,00. Cada fantasia será vendida por R$ 30,00, com margem de lucro de 20% (sobre o preço de custo). Se a venda mensal é de 2.000 fantasias, calcule a quantidade de meses necessários para que a corporativa recupere o investimento inicial.

Resposta comentada

Vamos calcular o custo da fantasia, sabendo que 30 é o preço vendido. Assim,

Já sabemos que o custo da fantasia é de R$ 25,00. Como são vendidas 2.000 fantasias por mês, as costureiras têm um custo mensal de . De forma análoga, calculamos a receita mensal dessa corporativa que é de . Assim, o lucro mensal é de R$ 10.000 (60.000 – 50.000). Agora, dividimos R$ 120.000,00 (investimento inicial) pelo lucro mensal R$ 10.000,00, obtendo, assim, . Essa divisão foi feita para encontramos a quantidade de meses necessários para recuperar o investimento inicial. Portanto, são precisos 12 meses para que a corporativa de costureiras recupere o investimento inicial.

• Em um concurso público, Glória acertou 28 questões, que correspondem a 40% do total de questões da prova. Quantas questões a prova continha?

Resposta comentada

Chamando de A a quantidade de questões que a prova continha, temos que: 40% de A = 28. Assim:

Portanto, a prova continha 70 questões.

Acompanhe, a seguir, situações-problemas que envolvem aumentos e descontos sucessivos e o conceito de juros.

Aumentos e descontos sucessivos e juros

• Sandra e Ana eram sócias em uma loja de camisas femininas. Resolveram reajustar os preços de suas mercadorias, uma vez que houve alta da inflação de 3% no primeiro mês e de 6,5% no segundo mês.

Dessa forma, aplicaram aumentos sucessivos de 3% e 6,5% em todas as camisas que a loja possuía. Qual será o preço de uma camisa que, antes do primeiro aumento, custava R$ 85,00?

Vamos utilizar a fórmula para chegar ao resultado mais rapidamente. Acompanhe.

No caso do exemplo dado, a fórmula usada é:

Temos que: Assim, substituindo os valores, encontramos a resposta desejada. Veja:

Logo, Sandra e Ana deverão vender a camisa por R$ 93,24.

• Priscila investiu R$ 120.000,00 em determinado banco por 3 meses com juro composto de 1,5%. Qual foi o valor retirado por Sandra ao final desse investimento?

Vamos aos cálculos? Como se trata de juro composto, utilizamos a fórmula apresentada em acréscimos sucessivos. Acompanhe:

Em que (valor inicial) = 120.000. A taxa é de 1,5% ao mês, ou seja, 0,015.

Substituindo os valores, temos:

125.481,41

Portanto, Priscila retirou, ao final do investimento, R$ 125.481,41.

Confira se está compreendendo resolvendo os exercícios a seguir.

1) Um comerciante vende uma mercadoria por R$ 3.965,00. Se ele lucra 12% sobre o custo com essa venda, qual o custo dessa mercadoria?

Internet

Um comerciante vende uma mercadoria que custa r$10,00 com lucro de 30% sobre o preço de custo. como oferta, resolveu vender a mesma mercadoria com 10% de desconto sobre o preço de venda. Então, seu lucro será

10x30/100=3 30% de 10 = 3 reais  13$ total

agora 10% de 13$ = 13x10/100 = 1,30 13-1,30= 11,70

 o lucro de vai ser de 10 - 11,70= lucro de 1,70 se ele vender com 10% de desconto sobre o preço de venda.

Um comerciante vende uma única mercadoria em seu estabelecimento. Compra esse produto a R$ 45,00. Qual deverá ser o preço de venda se o mesmo quiser um lucro de 66% sobre o preço de compra?

R$ 65,00

R$ 72,00

R$ 48,00

R$ 39,00

R$ 74,70

66% de 45 reais = 29,70

então é só somar 45 + 29,70 = R$ 74,70

Resposta E - 74,70

45,00 x 66% = 29,70

45,00 + 29,70 = 74,70

Um comerciante vende uma mercadoria por um valor 20% superior ao preço de custo. Se o preço de custo aumentar 50% e o comerciante aumentar o preço de venda 80%, o novo preço de venda ficará maior que o novo preço de custo em

• A 44%. X
• B 60%.
• C 56%.
• D 50%.
• E 32

SEJA PC1 =preço de custo antigo e PV1=preço de venda antigo
SEJA PC2 =preço de custo novo e PV2=preço de venda novo


PV1 = 1,2 PC1 -----------(PREÇO DE VENDA ANTIGO)

PC2 = 1,8 PC1----------- (PREÇO DE CUSTO NOVO)

PV2 = 1,8 PV1 -----------(PREÇO DE VENDA NOVO)
PV2 = 1,8 * (1,2 PC1)
PV2 = 2,16 PC1


A QUESTÃO PEDE A RELAÇÃO PREÇO DE VENDA NOVO SOBRE PREÇO DE CUSTO NOVO:

2,16 PC1/1,5PC1 = 1,44 ou seja::: 44% maior.

Outro modo :
Preço de custo inicial = X
Preço de venda inicial = 1,2X

Preço de custo aumenta 50% :
X + 50% = 1,5X

Preço de venda aumenta 80%:
1,2X+80%=2,16X

Agora devemos ver quantos % o novo preço de venda ( 2,16 X) equivale em relação ao novo preço de custo( 1,5X)

Para isso, devemos fazer uma regra de 3:
1,5 é 100%
2,16 é Y %

1,5Y=216
Y=216/1,5
Y=144%

Portanto o novo preço de venda equivale a 144% do novo preço de custo, ou seja, o novo preço de venda é um número 44% maior do que o novo preço de custo.

Um comerciante vendeu um produto com um desconto de 25% sobre o preço anunciado e ainda assim obteve um lucro de 20% sobre o preço de custo. Se tivesse vendido o produto sem desconto qual teria sido o seu lucro?
a) 45%
b) 50%
c) 60% X
d) 65%
e) 70%

LUCRO = PREÇO DE VENDA - PREÇO DE CUSTO
O PV com desconto de 25% fica 0,75 do preço.
PV2 = 0,75 PV1--------------(PREÇO DA VENDA COM DESCONTO DE 25%)
L = PV2 - PC
L = 0,75 PV1 - PC
e é dado que o lucro sobre o custo nesse caso com desconto seria:
L / PC = 0,2
L = 0,2 PC
então
0,2 PC = 0,75 PV1 - PC
descobrimos o PREÇO DE VENDA SEM DESCONTO.
PV1 = 1,6 PC

agora faz a conta sem considerar o desconto.
como LUCRO = PREÇO DE VENDA - PREÇO DE CUSTO
L = 1,6 PC - PC
L = 0,6 PC

L/PC = 0,6 = 60%

2) O grupo de dança de Joana está organizando um churrasco. Nele, irão 80% do grupo. Se o grupo tem 35 dançarinos, quantos irão participar do churrasco?

Um grupo de 16 motoristas organizaram um churrasco, na semana do churrasco 6 deles desistiram por conta disso cada um dos restantes teve que pagar 57 a mais. Qual o valor pago por eles

Como 6 desistiram, restarem 10

10x57 reais= 570

570÷6= 95

95 e o valor que todos deveriam pagar

95x16 = 1520,00 que eles pagaram

3) Um aparelho de celular custa R$ 1.500,00 à vista. Se for vendido em três prestações, terá um acréscimo de 4%. Qual será o valor de cada prestação?

Um videogame custa R$150,00 à vista. Se for vendido em 3 prestações, terá um acréscimo de 4%. Qual será o valor de cada prestação ?

4% = 4 : 100 = 0,04
150 x 0,04 = 6
150 + 6 = 156
156 : 3 = 52
Resposta: 3 prestações de R$ 52,00 

4) Seu Moreira possui uma farmácia que apresentou prejuízo em dois meses consecutivos. Dessa forma, resolveu vender alguns produtos com desconto. Sabendo que o valor de um desses produtos sofreu descontos sucessivos de 14% nesses dois meses e custava R$ 85,35, determine seu valor de venda.

Se uma mercadoria sofre dois descontos sucessivos de 15% e depois um acréscimo de 8%,qual seu preço final em relação do seu preço inicial?

O preço da  mercadoria representa 100%

Primeiro desconto de 15%

100-15=85%

100x85/100=8500/100=85

Preço da mercadoria : 85

Segundo desconto de 15%

100-15=85%

85.85/100=

7225/100=

72,25

Preço da Mercadoria : 72,25

Acréscimo de 8%

100+8=108%

72,25.108/100=

7803/100=

78,03

O preço final do produto será 78,03% do preço original

Vamos considerar o preço inicial como sendo "x".

Vamos determinar o preço do produto após o 1° desconto de 15%:

x - 15% de x =

x - (15/100) * x =

x - 15x/100 = 

x - 0,15x =

0,85x

Portanto, após o 1° desconto de 15% o preço do produto passa a ser de "0,85x".

Agora, vamos determinar o preço do produto após o 2° desconto de 15%.

0,85x - 15% de 0,85x =

0,85x - (15/100) * 0,85x =

0,85x - (12,75x/100) =

0,85x - 0,1275x =

0,7225x

Portanto, após o 2° desconto de 15%, o preço do produto passou a ser de "0,7225x".

Por fim, vamos determinar o preço do produto após o aumento de 8%.

0,7225x + 8% de 0,7225x =

0,7225x + (8/100) * 0,7225x =

0,7225x + (5,78x/100) =

0,7225x + 0,0578x =

0,7803x

Portanto, após o aumento de 8% o produto passou a valer 0,7803x.

Vamos determinar o percentual "y" do preço final do produto (0,7803x) em relação ao preço inicial (x).

x            ⇒ 100%

0,7803x ⇒ y 

Multiplicando em "cruz", temos que:

x * y = 0,7803x * 100

y = 78,03x / x

y = 78,03

Portanto, o preço final corresponde a 78,03% do preço inicial.

(FUVEST)Uma mercadoria sofreu dois descontos sucessivos de 14%.Para que ela volte ao seu preço inicial, deverá sofrer um acrescimo de:

a)28%

b)14%

c)26,04%

d)29,96%

e)35,21%

P= preço original

Desconto de 14% passa a 0,86 P (0,86=1-0,14)

14/100= 0,14

O outro desconto de 14% vai ser (0,86*0,86= 0,7396 P)

Agora é volta para o preço original:

LETRA E

Suponhamos que o valor seja 100,reais

100 x 14/100=14

86 x 14/100=12,04

86-12,04=73,86

Os descontos foram :

14+12,04=26,04

Reais       porcentagem

73,86        100

26,04           x

   -                -

73,86x 100x 26,04

x=2604/73,86

x=35,21%

Fechamento

Neste tema você revisou os conceitos matemáticos estudados anteriormente, tendo uma melhor compreensão dos conteúdos de razão e proporção e de porcentagem aplicada em diversos contextos.

Nesta aula, você teve a oportunidade de:

• Compreender problemas que envolvam os conceitos estudados nos materiais anteriores

Referências

CENTURIÒN, M., JAKUBOVIC, J.; LELLIS, M. Matemática na medida certa. 3. ed. São Paulo: Scipione, 2003.

DANTE, L. R.. Tudo é Matemática. São Paulo: Editora Ática, 2009.

______. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.

IEZZI, G. Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.

MORI, I.; ONAGA, D. S. Matemática: idéias e desafios. 14. ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2007.

SILVA, E. Q.; ABAD, L. F. S. Coleção Pré-Vestibular Extensivo. São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A., 2014.

16 - Revendo os conteúdos estudados – regra de três simples e composta

Introdução

Neste material, veremos situações-problema que envolvem os conceitos matemática da regra de três simples e composta. Ao rever esses conteúdos, você tem a possibilidade de verificar se está compreendendo e se realmente aprendeu o que estudou.

Aplicando os conceitos de regra de três simples e composta em situações-problema

Neste tópico, a regra de três será utilizada para facilitar na resolução dos problemas apresentados. Para tanto, é importante lembrar como as grandezas se comportam, utilizando as setas de acordo com o sentido apropriado para cada situação. Também é importante relembrar a propriedade fundamental da proporção. Acompanhe!

• Um funcionário consegue comprar 21 bilhetes únicos, ao custo unitário de R$ 1,80, com o auxílio

transporte que a empresa fornece. Sabendo que o preço do bilhete único aumentará para R$ 2,10, calcule quantos bilhetes esse funcionário poderá comprar nesse novo valor.

Resposta comentada

Temos que o preço do bilhete único (B) e a quantidade de passagens (P) são grandezas inversamente proporcionais, pois, ao aumentar o preço, o número de passagens que poderá comprar diminui. Logo,

Figura 1 - Tabela 1 – Relação entre preço e quantidade

Observando qual o sentido das setas para montar a proporção e aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos:

Portanto, o funcionário poderá adquirir 18 bilhetes únicos com esse novo valor de passagem.

• Em determinado setor de um supermercado, 10 empregados trabalham 8 horas por dia e levam 12 dias para etiquetar os produtos daquele setor. Sabendo que serão contratados mais 6 empregados para esse mesmo setor, calcule quantos dias essa nova quantidade de empregados, trabalhando 6 horas por dia, realizará o mesmo serviço.

Primeiro montamos a tabela e depois analisamos qual será o sentido das setas. Veja:

Figura 2 - Tabela 2 – Relação entre número de dias, número de empregados e tempo em horas

Analisando o comportamento das grandezas, temos:

Ao aumentarmos o número de empregados, os dias para realizar o mesmo serviço diminui. Portanto, as grandezas empregados e dia são inversamente proporcionais. Ao diminuirmos o tempo de horas trabalhados por dia, a quantidade de dias aumentará. Logo, as grandezas dias e horas são inversamente proporcionais. Sendo a grandeza dias inversamente proporcional ao tempo em horas e inversamente proporcional ao número de empregados, ela (grandeza dias) será diretamente proporcional ao produto entre os inversos do tempo em horas e do número de empregados.

Veja como a proporção deve ser montada e depois resolvida aplicando a propriedade fundamental das proporções.

Portanto, 16 empregados, trabalhando 6 horas por dia, realizarão esse mesmo trabalho em 10 dias.

Resolva os exercícios a seguir e verifique seu aprendizado.

1) Ao reservar R$ 560,00 por mês do seu salário, Marcos consegue economizar uma determinada quantia em 10 meses. Se quiser obter esse mesmo valor em 7 meses, quanto Marcos deverá guardar?

2) Em uma indústria de sabonetes, 8 máquinas produzem, em 6 dias, 400 sabonetes. O setor de vendas recebeu um pedido urgente para produzir 300 sabonetes em 3 dias. Desse modo, quantas máquinas essa indústria irá utilizar?

Uma fábrica de sabonete produz em 1 dia 3.480 sabonetes. sabendo que cabem 24 sabonetes em 1 caixa, quantas caixas serão necessárias para embalar a produção de 1 dia?

3.480 Dividido por 24 = 145 ... 145 x 24= 3.480

Uma indústria embala os sabonetes que produz em caixas que cabem em 40 unidades. um supermercado encomendou 5600 unidades dos sabonetes. ao descarregar a encomenda, um funcionário a transportou no carrinho que cabe 20 caixas de sabonetes. quantas viagens no mínimo Ele precisará para fazer a descarga toda da mercadoria?

Resposta:

7 viagens

Explicação passo-a-passo:

5600/40= 140 caixas

140/20= 7 viagens

Dados === Cada caixa cabe 40 unidades

Encomendado === 5600 unidades

5600 : 40 === 140 caixas

Foi transportado em um carrinho que cabe 20 caixas por viagem.

140 : 20 === 7 viagens

Resposta: Ele precisará fazer 7 viagens.

Fechamento

Neste tema revisamos a regra de três simples e composta e como aplicá-las em exercícios. Para isso utilizamos de vários exemplos e respostas explicadas.

Nesta aula, você teve a oportunidade de:

• Entender problemas que envolvam os conceitos estudados nos materiais anteriores;

Referências

CENTURIÒN, M., JAKUBOVIC, J.; LELLIS, M. Matemática na medida certa. 3. ed. São Paulo: Scipione, 2003.

DANTE, L. R.. Tudo é Matemática. São Paulo: Editora Ática, 2009.

______. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.

IEZZI, G. Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.

MORI, I.; ONAGA, D. S. Matemática: ideias e desafios. 14. ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2007.

SILVA, E. Q.; ABAD, L. F. S. Coleção Pré-Vestibular Extensivo. São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A., 2014.

17 - Revendo os conteúdos estudados – PA e PG

Introdução

Neste material, você terá a oportunidade de rever algumas situações-problema que envolvem conceitos matemáticos de já estudados, como: progressão aritmética (PA) e, progressão geométrica (PG). Ao revisar esses conteúdos, você terá a possibilidade de verificar se está compreendendo e se realmente aprendeu o que estudou.

Utilizando PA em situações-problema

Para as situações a seguir, você deve rever os conceitos de PA e utilizar as fórmulas, quando necessário. Assim, temos:

• Fórmula do termo geral de uma PA :

é o termo geral da PA;

é o primeiro termo da PA;

é o número de termos (até );

é a razão da PA.

• Fórmula geral da soma dos termos de uma PA: é o enésimo termo; é o primeiro termo; é o número de termos; é a soma nos termos.

• Um ciclista percorre 20km na primeira hora; 17km na segunda hora, e assim por diante, em progressão aritmética. Quantos quilômetros percorrerá em 5 horas? (DANTE, 2013, p. 219)

Sabemos que = 20; r = 3 e a5 é o último termo da PA (decrescente) que representa a quinta hora. Precisamos calcular o .

Calculando o a5:

Então a soma dos cinco primeiros elementos da PA será:

Portanto, o ciclista percorrerá, em 5 horas, 70 quilômetros.

Vejamos outra situação:

• Marcelo criou uma conta em uma rede social. Nesse mesmo dia, três pessoas começaram a segui-lo. Após um dia, ele já tinha 20 seguidores e após 2 dias, já eram 37 seguidores. Marcelo percebeu que a cada novo dia, ele ganhava 17 seguidores. Considerando que o crescimento dos seguidores permaneça constante, após quantos dias ele ultrapassará 1000 seguidores? (DANTE, 2013, p. 216).

Precisamos descobrir n (o dia em que terá 1.000 seguidores): temos que = 3; r = 17 e = 1.000. Logo, utilizando a fórmula do termo geral de uma PA, e substituindo os valores já conhecidos, temos:

Portanto, ultrapassará 1.000 seguidores após 59 dias.

Resolva os exercícios a seguir e verifique se está compreendendo.

1. Um funcionário de RH entrevistou um determinado grupo de pessoas em 10 dias. No primeiro dia, entrevistou 11 pessoas, no segundo dia, 13 pessoas, e assim por diante. Qual foi o total de entrevistas realizadas ao longo desse período?

 2. Magda financiou um apartamento ao longo de 20 anos. Fechou o seguinte contrato com o banco financiador: para cada ano, o valor das 12 prestações deve ser igual e, além disso, o valor da prestação mensal em determinado ano é 100 reais a mais que o valor pago mensalmente no ano anterior. Sabendo que o valor da prestação no primeiro ano é de 500,00, qual o valor da prestação no último ano?

Ao financiar uma casa no total de 20 anos, Carlos fechou o seguinte contrato com a financeira: para cada ano, o valor das 12 prestações deve ser igual e o valor da prestação mensal em um determinado ano é R$ 50,00 a mais que o valor pago, mensalmente, no ano anterior. Considerando que o valor da prestação no primeiro ano é de R$ 150,00, determine o valor da prestação no último ano.

an = a1 + (n – 1) * r
a20 = 150 + (20 – 1) * 50
a20 = 150 + 19 * 50
a20 = 150 + 950
a20 = 1100O valor da prestação no último ano será de R$ 1 100,00.

Vamos, agora, resolver situações-problemas que envolvem o conceito de PG. Veja!

Utilizando PG em situações-problema

Será preciso utilizar as fórmulas de PG, quando necessário. Assim, temos:

• Fórmula do termo geral de uma PG representa o termo geral da PG; representa o primeiro termo; é o número de termos (até o ); q é a razão da PG.

• Fórmula geral da soma dos termos de uma PG é o primeiro termo; é o número de termos; q é a razão da PG; é a soma nos termos.

Acompanhe o seguinte problema:

• O preço de um equipamento de informática desvaloriza 20% ao ano, nos seus 4 primeiros anos de uso. Se esse equipamento custou R$ 12.000,00, qual será o seu valor, em reais, após os 4 anos de uso?

Resposta comentada

Utilizando a fórmula do termo geral de uma PG, temos:

Em que:

= 12.000, q = 80% (100% – 20%). Lembrando que a porcentagem deve ser usada na forma de fração centesimal ou decimal. Queremos determinar o referente a 4 anos de uso, logo, n = 5. Assim, substituindo os valores, temos:

Portanto, o valor desse equipamento, após 4 anos de uso será de R$ 4.915,20.

Que tal mais uma situação para reforçar o conceito de PG?

• Uma empresa de marketing envia e-mails para possíveis clientes sobre um determinado produto. Na primeira hora de divulgação, a empresa enviou 15 e-mails, na segunda hora enviou 30 e-mails, na terceira hora enviou 60 e-mails, e assim por diante, formando uma PG. Ao final de uma jornada de 8 horas de trabalho, quantos e-mails foram enviados por essa empresa?

Temos que a razão dessa PG é calculada por , n = 9 (representa a oitava hora). Utilizando a fórmula geral dos termos de uma PG e substituindo os valores, temos:

Portanto, foram enviados 7.665 e-mails após 8 horas de trabalho.

Chegou a vez dos exercícios.

1) Carlos comprou uma moto e vai pagá-la em 7 prestações crescentes, de modo que a primeira prestação seja de R$ 500,00 e que cada uma das seguintes seja o dobro da anterior. Qual o preço dessa moto?

Comprei um automóvel e vou pagá-lo em 7 prestações crescente, de modo que a primeira prestação seja de 100 reais e cada um das seguintes seja o dobro da anterior. Qual é o preço do automóvel?
a) R$:12 700,00
b) R$ 13 000,00
c) R$ 11 800,00
d) R$ 13 200,00
e) R$ 20 300,00

Sabemos que são 7 prestações, a primeira prestação é de R$ 100 e cada prestação é o dobro da anterior, então:

100 + 200 + 400 + 800 + 1600 + 3200 + 6400 = R$:12.700,00

Se quiser fazer por P.G, o preço do automóvel será igual a soma de todos os termos:

Preço = 100(2^7 - 1) / (2-1) = 100*127 / 1 = R$ 12.700.

a) R$ 12.700,00

x1=100
x2=200
x3=400
x4=800
x5=1600
x6=3200
x7=6400
= 12700
Resposta: R$12.700,00 (alternativa a)

2) Uma fábrica de lingerie produziu 10.000 unidades de camisolas em 2014. Essa fábrica aumentará sua produção em 20% a cada ano subsequente em relação ao ano anterior. Determine quantas camisolas essa fábrica produzirá no período de 2015 até 2020.

Fechamento

Neste tema, você pôde rever conceitos matemáticos estudados anteriormente por meio da resolução de situações-problema que auxiliam em uma melhor compreensão dos conteúdos de PA e PG.

Nesta aula, você teve a oportunidade de:

• Compreender problemas que envolvam os conceitos estudados nos temas anteriores.

Referências

DANTE, L. R. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.

IEZZI, G. Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.

MORI, I.; ONAGA, D. S. Matemática: idéias e desafios. 14. ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2007.

SILVA, E. Q.; ABAD, L. F. S. Coleção Pré-Vestibular Extensivo. São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A., 2014.

18 - Revendo os conteúdos estudados – conjuntos

Introdução

Neste material, você terá a oportunidade de rever algumas situações-problema que envolvem conceitos matemáticos dos conjuntos. Ao revisar esses conteúdos, você terá a possibilidade de verificar se está compreendendo e se realmente aprendeu o que estudou.

Utilizando operações de conjuntos em situações-problema

Nesta seção, o conceito de conjuntos e suas operações será revisto por meio de situações que podem ser resolvidas pela relação, no caso de dois conjuntos ou pela relação, no caso de três conjuntos. Ou, ainda, utilizando o Diagrama de Venn.

•O departamento de RH fez uma seleção com 40 candidatos a coordenador de TI. Uma das etapas dessa seleção consiste em uma prova de duas questões. Sabe-se que, dos 40 candidatos, 25 acertaram a 1ª questão, 20 acertaram a 2a questão e 10 acertaram as duas questões. Quantos candidatos foram reprovados nessa etapa, já que erraram as duas questões?

Resposta comentada

Quando utilizamos o Diagrama de Venn, desenhamos círculos. Como são duas questões, teremos dois círculos representando cada questão. Temos, então, 3 regiões distintas. A região comum é a interseção entre as questões, ou seja, representa o número de candidatos que acertaram as duas questões. Chamamos de A o conjunto dos candidatos que acertaram a 1a questão e de B o conjunto dos candidatos que acertaram a 2a questão. Logo representa a quantidade de candidatos que acertaram as duas questões. Acompanhe o passo a passo nas figuras

a seguir:

Sabemos que: n(A) = 25; n(B) = 20 n) = 10

Inserimos, primeiro, o valor da interseção ( = 10).

                     

                           Figura 1 - Figura 1 – Diagrama de Venn

A partir daí, subtraímos o valor total dos elementos de A da interseção.

n(A) – = 25 – 10 = 15

O mesmo fazemos para o valor de B.

n(B) – = 20 – 10 = 10

               Figura 2 - Figura 2 – Diagrama de Venn da situação-problema.

Somamos os valores das três regiões (15+10+10) e subtraímos da quantidade total de candidatos que fizeram a prova.

Assim, 40 – 35 = 5.

Portanto, 5 candidatos foram reprovados nessa etapa da seleção.

Agora, veremos uma situação-problema que envolve três conjuntos.

• Em uma firma de advogados, verificou-se que 33% dos advogados atendem a causas criminalistas, 29% atendem a causas cíveis e 22% atendem a causas tributárias, 13% atendem a causas criminalistas e cíveis, 6% atendem a causas cíveis e tributárias, 14% atendem a causas criminalistas e tributárias e 6% atendem às três causas. Quantos por cento não atendem a nenhuma dessas causas?

Resposta comentada

Vamos chamar de A (conjunto criminalistas); B (conjunto cíveis) e C (conjunto tributárias). Para resolver essa questão, podemos utilizar o Diagrama de Venn ou a relação:

Analisando os valores dados, temos que:

. Resolvendo pelo Diagrama de Venn, acompanhe o passo a passo:

Figura 3 - Figura 3 – Solução pelo Diagrama de Venn parte I

Figura 4 - Figura 4 – Solução pelo Diagrama de Venn parte II

Interseção entre criminalista e cível: 13. Assim, 13 – 6 = 7.

• Interseção entre cível e tributário: 6. Assim, 6 – 6 = 0.

• Interseção entre criminalista e tributário: 14. Assim, 14 – 6 = 8.

                     Figura 5 - Figura 5 – Solução pelo Diagrama de Venn parte III

Agora, é preciso somar todos os valores contidos nas regiões dos círculos. Veja:

= 57%

Precisamos subtrair de 100% (que representa o total de advogados) para encontramos o valor procurado nessa alternativa (percentual de advogados que não atendem a nenhuma das causas).

Logo, temos: 100% 57% = 43%. Portanto, 43% dos advogados dessa firma não atendem a nenhuma das três causas.

Veja como fica essa resolução se utilizarmos a relação:

Substituímos os valores que já sabemos e encontramos o total de advogados que trabalham com as três causas: criminalistas, cíveis e tributárias.

= 57%

De forma análoga, subtraímos de 100% (que representa o total de advogados) e encontramos o valor procurado nessa alternativa (percentual de advogados que não atendem a nenhuma das causas). Logo, temos: 100% 57% = 43%. Portanto, 43% dos advogados dessa firma não atendem a nenhuma das três causas. Verifique que as respostas são as mesmas, independentemente da estratégia utilizada.

Resolva os exercícios a seguir, utilizando a estratégia que achar mais fácil, a fim de verificar seu aprendizado.

1) Uma emissora de TV entrevistou 438 pessoas. Foram contratados 156 atores para atuar como protagonistas, 195 atores para atuar como coadjuvantes, 237 para atuar como figurantes, 90 atores para atuar como protagonista e coadjuvante, 75 para atuar como protagonista e figurante, 130 para atuar como coadjuvante e figurante e 53 para atuar com os três tipos. Calcule quantos atores não foram contratados.

2) O gerente de infraestrutura de uma empresa dividiu a execução de um projeto da seguinte forma: 23 pessoas executaram a fase I, 15 executaram somente a fase II, 9 executaram as duas fases e 20 não participaram do projeto. Determine:

• a) quantas pessoas executaram a fase II;

• b) quantas pessoas trabalham nesse setor.

Fechamento

Neste tema, você pôde rever conceitos matemáticos estudados anteriormente por meio da resolução de situações-problema que auxiliam em uma melhor compreensão dos conteúdos de conjuntos.

Nesta aula, você teve a oportunidade de:

• Compreender problemas que envolvam os conceitos estudados nos temas anteriores.

Referências

DANTE, L. R. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.

IEZZI, G. Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.

MORI, I.; ONAGA, D. S. Matemática: ideias e desafios. 14. ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2007.

SILVA, E. Q.; ABAD, L. F. S. Coleção Pré-Vestibular Extensivo. São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A., 2014.

1 - Números consecutivos podem ser entendidos como aqueles que seguem imediatamente o outro, ou seja, de modo imediato ou em sequência, ou ainda, são números seguidos. Nesse sentido, considere dois números inteiros, a e b, consecutivos e positivos. Qual das expressões corresponde necessariamente a um número par?

Escolha uma:

a. a + b

b. 1 + a + b X

c. 1 + ab

d. 2a + b

e. 2 + a + b

A letra b

Pois A vai ser um numero impar(ou par) e B um numero par(ou impar)

EX: A=2   B=3

1+2+3=6

EX₂= A =5   B=6

1+5+6= 12 

2 - Uma prova de anatomia geral era composta de três questões. A primeira questão envolvia o sistema circulatório, enquanto a segunda associava o sistema respiratório e, por fim, a terceira trabalhava com o sistema nervoso. É sabido que dos 29 discentes que realizaram a prova, especificamente:

-  quinze acertaram a primeira questão;

-   sete acertaram somente a segunda questão;

-   um acertou somente a terceira questão;

-   onze acertaram a segunda e a terceira questão;

-   nenhum errou todas as questões.

Quantos discentes conseguiram resolver corretamente as três questões da prova de anatomia geral?

Escolha uma:

a. 4

b. 3

c. 2

d. 5 X

e. 6

O total de discentes em relação a prova de anatomia é de:

Resposta: a) 5.

Explicação passo-a-passo:

Resolveremos esta questão pelo sistema de conjuntos. Temos:

Total de alunos = 29 discentes

n (A - 1ª Q) = 15 ------------> alunos que acertaram a 1º questão

n (B - 2ª Q) = 18 + Y ------> alunos que acertaram a 2º questão

n (c - 3ª Q) = 12 + z--------> alunos que acertaram a 3º questão

A UNIÃO entre os conjuntos é representada por:

n (A ∩ B) = y + x

n (A ∩ C) = x + z

n (B ∩ C) = 11

n (A ∩ B ∩ C) = X

Onde:

n (A ∩ B ∩ C) = n (A) + n(B) + n(C) - n (A ∩ B) - n (A ∩ C) - n (B ∩ C) + n (A U B  U C)

29 = 15 + (18 + y) + (12 + z) + (-y -x) + (-x-z) -11 + x

29 =  15 + 18 +12 - x - x - 11 + x

29 = 34 - x

x = 34 - 29

x = 5

 3 - Considere o conjunto A = {{0}, 0, x, {x}} e as afirmações envolvendo o conjunto A descritas na sequência:

I. {0}   A

II. {0}    A

III. x     A

Com relação às afirmações, pode-se concluir que:

Escolha uma:

a. Apenas a afirmativa I é verdadeira.

b. Apenas a afirmativa II é verdadeira.

c. Apenas a afirmativa III é verdadeira.

d. Todas as afirmativas são falsas.

e. I, II e III, são verdadeiras. X

A alternativa certa é a letra e) Todas as afirmativas estão corretas.

Seja o conjunto A={{0},0,X,{X}}

e as afirmações:

I  ) {0} ∈ A

II ) {0} ⊂ A

III)  X  ∈ A

Pense em conjuntos como caixas e em elementos como objetos que podem ser posto nas caixas.

Para poder diferenciar quando estamos falando sobre caixa ou sobre objetos é feita as seguintes definições:

Quando um elemento x está dentro de um conjunto A, dizemos que o elemento pertence ao conjunto A.  x∈A

Quando um conjunto B está dentro de A, dizemos que B está contido em a ou ainda, que A contém B. B⊂A

0 é um elemento de A portanto, a alternativa I é correta.

A alternativa II é verdadeira porque {0} é um conjunto e está contido em A.

A alternativa III É verdadeira.

X é Elemento de {X} e, como A={{0},0,X,{X}} então X é também elemento de A.

4 - A população de uma cidade X utiliza três marcas diferentes de sabonetes, designadas por A, B e C, conforme o quadro a seguir.

O número de consumidores que só utilizam a marca C é igual a:

Escolha uma:

a. 8

b. 5 X

c. 15

d. 7

e. 9

B e C são 7
7 - 3 = 4

A, B e C são 3
A e C são 6
6 - 3 = 3

3 + 3 + 4 = 10

15 - 10 = 5
Então apenas 5 pessoas usam só o sabonete C.
A resposta é a letra b

5 - Consideremos A e B dois conjuntos quaisquer e consideremos as afirmações descritas a seguir:

I.              Se A    {     }, então, A = {     }.

II.            Se A = {x / x é um número inteiro e x² = 1}, então, A é um conjunto unitário.

III.           O conjunto {     } é subconjunto tanto de A quanto de B.

Sendo assim, está (ão) correta (s):

Escolha uma:

a. Apenas a afirmativa I.

b. Apenas as afirmativas I e III. X

c. Apenas a afirmativa II.

d. Apenas a afirmativa III.

e. Apenas as afirmativas II e III.

I. Verdadeiro, pois se A está contido em um conjunto que é vazio, ele é o próprio vazio.

II. Falso. Conjunto unitário significa que contém apenas um elemento, então não, pois existem dois números inteiros que elevados ao quadrado dá 1. São eles 1 e -1.

III. Verdadeiro, pois os números naturais estão dentro dos números inteiros. Sendo os naturais os números positivos e os inteiros os números positivos e negativos.

IV. Verdadeiro. O conjunto vazio é representado por C= { }. Ou seja, zero elementos.

6 - Os números inteiros são constituídos pelos números naturais, juntamente com o zero e com as quantidades negativas, sendo que uma de suas particularidades é que os mesmo podem ser simétricos.

 Nesse sentido, sabendo-se que um determinado número inteiro k é um múltiplo de 3, e que a metade desse número k é um número inteiro par, é correto afirmar que?

Escolha uma:

a. a metade de k é um múltiplo de 4.

b. o quadrado de k é um múltiplo de 10.

c. a metade de k é um múltiplo de 9.

d. a metade de k é um múltiplo de 5.

e. o quadrado de k é um múltiplo de 18. X

Se é multiplo de 3, procura o menor número inteiro que satisfaça as duas.

3; 6; 9; 12; 15; 18...

o menor que satisfaz é 12 (múltiplo de 3 e sua metade é 6, número par).

Usando as eliminações, não pode ser a, b, c, d, .

Usando k = 12 (menor valor), o quadrado é 144 que é múltiplo de 18.

7 - Conjuntos numéricos são os conjuntos descritos por números, sendo de fundamental importância para a descrição da resolução de problemas nas mais variadas áreas. Nesse sentido, observe a relação de inclusão entre os principais conjuntos numéricos conforme é mostrado na figura a seguir.

Fonte: Elaborado pelo autor (2016).

Sendo assim, todo número natural é um número inteiro, enquanto que todo número inteiro é um número racional, que por sua vez é um número real. Além disso, vemos que um número irracional é um número real. Sendo assim, considerando quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, é correto afirmar que:

Escolha uma:

a. x + 2y é irracional. X

b. y.y é irracional.

c. x + y é racional.

d. x – y + √2 é irracional.

e. x.y é irracional.

Número Racional (Q) e Irracional (I) 

a) x . y é um número racional (F), pois ao multiplicarmos um número Q por um número I, obteremos I, ex: 2 . (raiz de 2) = 2 . (raiz de 2) será Irracional; 

b) y.y é irracional (F), ex: (raiz de 2) que é irracional vezes (raiz de 2) que é irracional, teremos o número 2 que é racional 

c) x+y é racional (F), ex: 2 + (raiz de 2), será um número irracional

d) x+2y é irracional (V), ex: 2 + 2(raiz de 2) será um número irracional

OBS: Para as alternativas c e d, existe um teorema, SEMPRE quando somarmos ou subtraírmos um número I por Q, obteremos um Irracional. 

8 - É sabido que o mundo globalizado, cada vez mais, procura profissionais dinâmicos e com maior grau de raciocínio, principalmente, na resolução de problemas que envolvam quantidades e, por conseguinte, números. Segundo Aristóteles, “os números atuais governam as pessoas, os negócios e o mundo”. Dessa forma, considere que um subconjunto X de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números ímpares. Qual é a cardinalidade do conjunto X em questão?

Escolha uma:

a. 16

b. 18

c. 20

d. 14

e. 22 X

Resolução:

Para resolvermos esse problema, temos que lembrar das propriedades dos múltiplos de um número. Se um número é múltiplo de 12, ele será obrigatoriamente múltiplo de 4 e também de 6, pois 12 é múltiplo de 4 e de 6.

Então como o subconjunto X, possui 5 múltiplos de 12, esses 5 números são também múltiplos de 4 e de 6. Quando ele diz que há 12 múltiplos de 4, entre eles estão aqueles cinco múltiplos que são também múltiplos de 12. Assim com entre os 7 múltiplos de 6, estão incluídos os 5 múltiplos de 12.

Para contarmos os elementos do conjunto, só podemos contar uma vez cada elemento. Então:

múltiplos de 12 = 5

múltiplos de 4 = 12 - 5 = 7 (temos que tirar os 5 que já contamos entre os múltiplos de 12)

múltiplos de 6 = 7 - 5 = 2 (temos que tirar os 5 que já contamos entre os múltiplos de 12 também)

números ímpares = 8 (nenhum ímpar pode ser múltiplo de 4, de 6 ou de 12, por isso ainda não contamos nenhum desses números com certeza).

O número de elementos será a soma desses elementos:

5 + 7 + 2 + 8 = 22 elementos.

Se você quiser visualizar melhor, pode fazer um desenho dos conjuntos. Mas não podem esquecer que o conjunto dos múltiplos de 4 tem uma região comum (intersecção) ao conjunto dos múltiplos de 6. É justamente aí que estão os múltiplos de 12, na intersecção. E o conjunto dos ímpares está separado dos outros conjuntos (é disjunto).

9 - Considere A e B dois conjuntos não vazios de modo que A    B, sendo assim, pode-se afirmar que:

Escolha uma:

a. A e B não tem elementos em comum.

b. x  B, então, x   A.

c. Sempre existe x e x   B tal que x A.

d. x  B, então, x  A.

e. Sempre existe x e x  A tal que x B. X

10 - Sabe-se que um algoritmo é uma sequência finita de passos desenvolvidos com o objetivo de resolver ou até mesmo estruturar a solução de uma determinada situação problema. São elementos fundamentais para o funcionamento dos programas e linguagens computacionais. Sendo assim, uma passagem de um determinado algoritmo descreve um valor numérico que é dado pela seguinte situação: se ao dobro de um número real somarmos 5, multiplicarmos esse resultado por 3, subtrairmos 15 e dividirmos pelo próprio número, qual o valor numérico do algoritmo?

Escolha uma:

a. 5

b. 10

c. 9

d. 6 X

e. 8

Se o dobro de um número real somarmos 5, multiplicarmos esse resultado por 3, subtrairmos 15 e dividimos pelo próprio número, podemos afirmar que o resultado obtido: a)pode ser fracionário 

b) pode ser negativo

 c) é sempre 2 

d) é sempre 6 

e) depende do número considerado

Obteremos sempre o número 6

supondo que o número seja x
{[(2x+5)3]-15} / x  =
{[6x +15]-15} / x  =
{6x+15-15} /x  =
{6x} / x =

Primeiro você monta a equação.

(dobro do x +5, vezes 3 menos 15, dividido pelo próprio X)

(2x+5).3-15 /x ------------------> Você faz a distribuição do 3


6x+15-15 /x ---------------------> Subtrai o 15

6x /x --------------------------------> Dividi pelo próprio X.

Será sempre 6, resposta D.

4 - Matematicamente falando, um conjunto nada mais é do que uma coleção que envolve elementos e surge diretamente dos conceitos primitivos de elemento, conjunto e igualdade entre conjuntos. Especificamente falando, a relação entre elemento e conjunto é chamada relação de pertinência, enquanto que o número de elementos de um conjunto caracteriza a sua cardinalidade. Neste sentido, qual é a cardinalidade do conjunto numérico 

Escolha uma:

a. 1

b. Zero

c. 3 X

d. 2

e. 4

10 - Um conjunto nada mais é do que um agrupamento de elementos, enquanto que a cardinalidade de um conjunto mensura o número de elementos do mesmo. Desta maneira, a cardinalidade ao quadrado do conjunto interseção entre os conjuntos {a} e {{a}}, é dada por:

Escolha uma:

a. 4

b. 0 X

c. 3

d. 5

e. 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Temos que

{a) ∩ {{a}} = 0, pois a ≠ {a}, ou seja, a primeiro conjunto é composto pelo elemento letra a, já o segundo conjunto é composto do conjunto {a}.

Portanto, alternativa correta é a letra b).

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

{a} ∩ {{a}} = Ф

n ( {a} ∩ {{a}} ) = 0

0² = 0

Letra B

1 - O Produto Interno Bruto (PIB) é a soma, em valores monetários, de todos os bens e serviços finais produzidos por determinado país durante determinado período. É excluído deste cálculo, porém, os bens e serviços intermediários que possam causar viés nos números. Grosso modo, o PIB é um dos indicadores mais utilizados em macroeconomia que busca mensurar a atividade econômica do país. Desta forma, no gráfico apresentado abaixo, temos a evolução do PIB brasileiro nos anos 80 e 90, tomando como base o valor de 100 unidades, em 1979. 

A partir desse gráfico é correto concluir que:

Escolha uma:

a. O crescimento dos valores do PIB foi maior no período de 1983 a 1986 do que no período de 1986 a 1989. X

b. A diferença entre os valores do PIB dos anos 1989 e 1987 foi igual a dos anos 1992 e 1990.

c. Os valores do PIB foram decrescentes (diminuíram) no período de 1980 a 1989.

d. O PIB permaneceu inalterado durante todo o período de análise.

e. Os valores do PIB foram decrescentes no período de 1987 a 1992.

2 - Dois atletas brasileiros (A e B) fazem teste de cooper em uma pista retilínea, ambos praticando velocidade constante e sem variações. A distância (d) que cada um percorre é mostrada na figura:

Com base na representação gráfica anterior é correto afirmar que:

Escolha uma:

a. A e B correm na mesma velocidade.

b. B percorre 1 km em 20 min. X

c. B é mais veloz que A, pois percorre 400 m em 5 min.

d. A é mais veloz que B, pois percorre 600 m em 20 min.

e. A é mais veloz que B, pois percorre 900 m em 20 min.

SE  

Vm = 50m/min

50 m --------------------------> 1 min

 (x) ----------------------------->  20 min   ( SÓ CRUZAR)

1(x) = 20(50)

1(x) = 1.000

(x) = 1.000/1

(x ) = 1.000

(x) = 1.000 m

SE

1.000 m = 1km

então 

B percorre 1 km (1000m) em 20 minutos

3 - A função quadrática é comumente utilizada em problemas envolvendo máximos e mínimos. Nesse sentido, a função f, definida no conjunto dos números reais por f(x) = x² – 6x + (k – 1), tem ponto de mínimo P(3, -1). 

Nestas condições, o valor da constante numérica k é dado por:

Escolha uma:

a. 9 X

b. 7

c. 8

d. 10

e. 12

4

Escolha uma:

a. Interceptam-se em um único ponto de ordenada negativa.

b. Interceptam-se em um único ponto de abscissa positiva. 

c. Interceptam-se em um único ponto de abscissa negativa.

d. Não se interceptam. 

e.Interceptam-se em dois pontos. C

5 - Sabe-se que as grandezas de custo total e quantidade produzida estão intimamente ligadas por meio do conceito de função. Assim, para certo equipamento de uma fábrica automotiva, o custo total na produção de um lote de x peças é de y reais, com:  y = 100 + 0,01x + 0,001x² . Nesse sentido, a diferença de custo entre a produção de um lote de 500 peças e um de 498 peças, em reais, é equivalente a:

Escolha uma:

a. 4,026

b. 129,7804

c. 100,024

d. 0,024

e. 2,016 X

A Automotive Ltda é uma multinacional situada na cidade de São Paulo-SP, sendo uma empresa já consolidada no mercado, produzindo itens para veículos automotivos desde o ano de 1992, particularmente falando com relação a componentes utilizados no revestimento envolvendo painéis e portas de veículos automotivos. Quando se fala em ciclo produtivo sabe-se que as grandezas custo total e quantidade produzida estão intimamente ligadas, já que se aumentarmos o número de itens produzidos consequentemente aumentamos o custo de produção. Especificamente falando, para certo equipamento produzido pela Automotive Ltda, o custo total na produção de um lote de x itens de um componente para portas de veículos em R$ é dado pela expressão y = 100 + 0,01x + 0,001x2 . Nesse sentido, a diferença de custo entre a produção de um lote de 500 peças e um de 498 peças, em reais é equivalente a?

1º passo
y=100+0,01*500+0,001*500^2
y=100+5+250
y=355

2º passo
y=100+0,01*498+0,001*498^2
y=100+4,98+248,004
y=352,984

3º passo
355-352,984=2,016

6 - Um ditado chinês diz que um gráfico fala mais do que mil palavras. Geometricamente falando, o CPF de uma função é exatamente o gráfico que representa o conjunto dos pontos do plano cartesiano y = f(x). Nesse sentido, quais gráficos a seguir representam funções?

Escolha uma:

a. 4 e 1

b. 1, 2 e 4

c. 2 e 4 X

d. 1 e 3

e. 3 e 2

7 - Segundo estudos de órgãos governamentais, o crescimento demográfico na América Latina, no período compreendido entre 2004 e 2020, é da ordem de  1,2% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população da América Latina vai dobrar, se a taxa de crescimento continuar dessa forma?

Escolha uma:

a. 18 anos, aproximadamente. 

b. 38 anos, aproximadamente. 

c. 48 anos, aproximadamente.

d. 28 anos, aproximadamente.

e. 58 anos, aproximadamente. X

Segundo o Banco Mundial, a previsão do crescimento demográfico na América Latina, no período de 2004 à 2020, é de 1,2% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população da América Latina vai dobrar se a taxa de crescimento continuar a mesma?

8 - O crescimento exponencial aparece em toda parte: no crescimento de populações, no cálculo de juros compostos, no decaimento de substâncias radioativas, etc. Sendo assim, a função exponencial pode ser enunciada por uma lei do tipo , onde é o número inicial, N é o número no instante t, e k é o percentual de crescimento do fenômeno em estudo. 

Classifique as afirmativas I a IV, como V para verdadeiras e F para falsa:

I - (     ) Para = 200 e k = 2, teremos N(3) = 603,43.

II -  (     ) Se uma substância radioativa tem sua massa reduzida em 25% a cada milhão de anos, então a massa de tal substância é dada por uma expressão da forma, onde t é o tempo medido em milhões de anos.

III - (     ) Para que a função N(t) represente um “decaimento” é necessário que k seja um número negativo.

IV -   (     ) Para que a função N(t) represente um “decaimento” é necessário que k seja um número positivo.

As alternativas, I a IV, são respectivamente:

Escolha uma:

a. V, V, V, F.

b. F, F, F, F

c. V, F, V, F.

d. F, F, V, F. X

e. V, V, V, V

9 - Geometricamente falando, uma função de 1° grau tem uma reta como curva característica. Nesse sentido, examine a representação geométrica de uma função de 1° grau na figura a seguir:

Figura 1: Representação gráfica da função do 1° grau em questão

Fonte: Elaborado pelo autor.

Com base no enunciado e na Figura 1, é possível afirmar que:

Escolha uma:

a. Se x < 0, então f(x) < 0.

b. Se x > 0, então f(x) >0

c. Se x > 2, então f(x) > f(2).

d. Se f(x) < 0, então x < 0.

e. Se f(x) < 0, então x > 3. X

10 - A figura a seguir mostra os gráficos I, II e III referindo-se, respectivamente, às funções exponenciais descritas pelas leis y = a^X y = b^X e y = c^X.

Desta forma, é correto afirmar que:

Escolha uma:

a. a = b = c

b. a < 0 < c < b

c. a < 0 < b < c

d. 0 < a < b < c X

e. 0 < b < c < a

A figura a seguir mostra os gráficos I, II e III referindo-se, respectivamente, às funções exponenciais descritas pelas leis y = aX y = bX

e y = cX.

(...)

ORIENTAÇÃO: Todas serão maiores que zero, porque uma equação exponencial

é entre 0 e 1.

Se está do lado esquerdo é negativo e menor que 1.

Se está do lado direito é positivo e maior que 1.

Mas, ainda assim, podemos concluir que o coeficiente de III (c) é maior que II

(b) porque está mais afastado:

0 < a < b < c

Outra resposta correta seria: 0 < a 1 < b < c (mas você não tem essa opção), dessa forma a alternativa que responde é: 0 < a < b < c

 (mesmo que não disse que é menor que 1, afirma que é maior que 0).

A figura a seguir mostra os gráficos I, II e III referindo-se, respectivamente, às funções exponenciais descritas pelas leis y = a^X y = b^X e y = c^X.

Desta forma, é correto afirmar que:

Escolha uma:

a. a = b = c

b. a < 0 < c < b

c. a < 0 < b < c E

d. 0 < a < c < b C

e. 0 < b < c < a

2 - Alessandro é, desde a década de 90, um pequeno produtor de laranjas na cidade paulista de Limeira. Em suas terras, ele possui um pomar com 30 laranjeiras que produzem, cada uma, 600 laranjas por ano. No mesmo local, ele plantou, no último ano, x novas laranjeiras. Depois de certo período, Alessandro identificou que, devido à competição por nutrientes do solo, cada laranjeira (nova ou velha) estava produzindo 10 laranjas a menos por ano. Se f(x) denota a produção anual do pomar, então a fórmula característica para  de f(x) é:

Escolha uma:

a. 10.x² + 600.x + 18000

b. 10.x² + 300.n + 18000

c. – 10.n² + 300.n + 1800

d. – 10.x² + 300.x + 18000 X

e. – 10.x² + 600.x + 18000

Inicialmente, a quantidade de laranjas é calculada multiplicando a quantidade de laranjeiras pela quantidade de laranjas produzidas por cada laranjeira. Ao somar um valor x ao número de laranjeiras, cada laranjeira começou a produzir 10 laranjas a menos. Assim, a função que calcula a quantidade de laranjas produzidas após o aumento da quantidade de laranjeiras será:

Portanto, a produção anual pode ser calculada através da seguinte equação:

30 laranjeiras produz 600 laranjas

aumentando x unidades o numero total de laranjas diminui 10

entao

(x + 30) laranjeiras

 produzem

(600 - 10x) laranjas

obs: nas expressoes acima que quando x = 1 aumenta para 31 e diminui 10

quando x = 2 aumenta para 32 e diminui 20

e assim por diante ....

a função sera

f(x) = ( x + 30) ( 600 - 10x)

f(x) = -10x^2+600x +1800 -300x

f(x) = - 10x^2 + 300x + 1800

4 - A figura a seguir apresenta a representação gráfica de três parábolas (1), (2) e (3), de equações características dadas por y = a.x², y = b.x² e y = c.x², respectivamente. 

Figura 2: Representação geométrica da situação da questão.

Fonte: Elaborado pelo autor.

Com relação às constantes numéricas a, b e c, é correto afirmar que:

Escolha uma:

a. 0 < a < b < c

b. Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.

c. a < b < c < 0

d. c < b < a < 0

e. 0 < c < b < a X

6 - Sabe-se que função é um caso particular de relação que descreve a associação entre grandezas das mais variadas formas. Sendo a função f: tal que f (a + b) = f(a) + f(b), pode-se afirmar que f(3a) é equivalente a?

Escolha uma:

a. [f(a)]³

b. [f(a)]²

c. f(2ª) + f(b)

d. f(a³)

e. 3.f(a) X

Utilizando somente a propriedade dada da função, temos que f(3a) = 3f(a).

Explicação passo-a-passo:

Então temos que a função f(x) tem a seguinte propriedade:

Então temos:

Onde podemos escrever 3a = a + 2a:

Assim podemos usar a propriedade:

Da mesma forma 2a = a + a:

Assim temos que f(3a) = 3f(a

8 - “Por quase um século antes de seu tempo, os filósofos escolásticos vinham discutindo a quantificação das formas variáveis, um conceito de Aristóteles aproximadamente equivalente a qualidades. Nicole Oresme conhecia bem esse resultado e ocorreu-lhe, em algum momento antes de 1361, um pensamento brilhante – por que não traçar uma figura ou gráfico da maneira pela qual variam as coisas? Por isso, ele traçou um gráfico velocidade-tempo para um corpo que se move com aceleração constante.” 

(BOYER, Carl B., História da matemática. Tradução: Elza Gomide. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 1974. p. 192).

Considerando o texto acima, analise as seguintes afirmações:

I. Usando um eixo para a velocidade e outro para o tempo, o gráfico citado corresponde ao de uma função polinomial do primeiro grau.

II. Se o corpo em estudo tem aceleração positiva, a função correspondente ao gráfico é crescente.

III. Nicole Oresme usou as grandezas velocidade e tempo na construção de seu gráfico primordial porque tais grandezas já eram objeto de estudo de seus predecessores.

Assim sendo, é correto afirmar:

Escolha uma:

a. Apenas a III é verdadeira.

b. Apenas a I é verdadeira.

c. Apenas a II é verdadeira.

d. Todas são falsas.

e. Todas são verdadeiras. X

9 - Uma expressão que ajuda a verificar se uma pessoa do sexo feminino precisa ou não de dieta pode ser dada por  ,  na qual “m” representa a massa da pessoa (em kg) e “a” a sua altura (em m). Se I estiver concentrado entre os valores 20 e 50, a pessoa não precisa de dieta. Empregada a fórmula, uma mulher com 51,2 kg obteve I = 20. Desta forma, qual a sua altura?

Escolha uma:

a. 1,60 m X

b. 1,72 m

c. 1,78 m

d. 1,58 m

e. 1,55 m

I = m/a², p/ m = 51,2 // I = 20
20 = 51,2/a² => a² = 51,2/20 => a² = 2,56 => a = √2,56 => a = 1,6
A altura dessa mulher é 1,6 m.

10 - Assinale a alternativa que contém o gráfico que melhor representa a função :

Escolha uma: