Divisão
Adaptado de
IFRAH, Georges. Os Números: História de uma grande invenção. 10ª ed. São Paulo, Globo, 2001
Programa Educ@r - educar.sc.usp.br/matematica/m3p1t3.htm, acesso em 20-04-2012
Parte 1: Divisão: Conceitos
- Divisão: na vida e na matemática
- A escolha de critérios para dividir
- Nem tudo pode ser fracionado
- Quando devemos dividir ?
- Operações inversas
- Dividendo, divisor, quociente e resto
Parte 2: Propriedades e algoritmos
- Prisioneiros do algoritmo
- A decomposição do dividendo: propriedade distributiva
- Nem tudo é permitido !
- O zero, o um e as quatro operações
- Outras propriedades da divisão exata
- O algoritmo tradicional da divisão
- Dividir subtraindo
Leitura 1 - A resolução de problemas
Leitura 2 - A aprendizagem de matemática e o material concreto
- As crianças e a aprendizagem
- A matemática e a necessidade de materiais concretos
- A utilização adequada dos materiais
Divisão: na vida e na matemática
Em matemática, quando propomos dividir 7 por 3, está subentendido que a divisão deve ser feita em partes iguais. Na vida também é sempre assim? Veja o que aconteceu com Adriana.
"Adriana tem 5 anos. Como toda criança, ela também não gosta de ir ao dentista. Mas desta vez não achou ruim. É que, ao final da consulta, ganhou 7 pirulitos com a recomendação de dividi-los entre ela e seus irmãos.
De volta para casa,
sentada no ônibus, foi pensando em voz alta:
- Um para mim, um para
minha irmã e um para meu irmão.
Como ainda havia pirulitos
sobrando, ela prosseguiu:
- Um para mim outra vez,
outro para minha irmã e outro para meu irmão.
O sétimo pirulito Adriana
foi chupando no caminho!"
Com muita naturalidade
Adriana dividiu os 7 pirulitos entre ela, sua irmã e
seu irmão, ficando com 3 pirulitos para si e dando 2 para cada um deles. Outra
criança poderia, talvez, tentar dividir o sétimo pirulito em três partes. Uma
outra, quem sabe, daria o sétimo pirulito para seu pai.
No dia-a-dia as pessoas, e
as crianças em particular, dividem, repartem, distribuem coisas. Essas
experiências constituem o ponto de partida para o trabalho com a divisão.
Precisamos compreender, entretanto, que na vida cotidiana e, principalmente
para a criança, dividir não significa, necessariamente, dividir em partes
iguais. É importante perceber também que, em nossa língua, a palavra dividir é
empregada com muitos sentidos diferentes.
Veja estes exemplos:
· "O corpo
humano divide-se em três partes: cabeça, tronco e membros."
Nesta frase o verbo
dividir é empregado no sentido de distinguir as diversas partes.
· "A notícia dividiu os moradores da cidade.
Aqui, dividir tem o
sentido de estabelecer desavenças, pôr em discórdia.
· "O Rio
Uruguai divide vários países".
Nesta frase divide significa demarca, limita.
· "A altura AH divide o triângulo ABC nos triângulos ABH e ACH."
Nesta sentença, divide significa corta, reparte,
secciona.
O último exemplo mostra que, até mesmo num contexto
matemático, a palavra dividir nem sempre é empregada no sentido de dividir em
partes iguais. Quando se trata de dividir um número por outro número, então
sim, subentende-se que a divisão seja feita em partes iguais.
André e Otávio trabalham
no almoxarifado de uma empresa. Há 1485 unidades de um produto
Resposta:
|
A escolha de critérios para dividir
Nas séries iniciais do 1º grau, ao trabalhar com a divisão, pretendemos que a criança compreenda o que significa, na matemática, dividir um número por outro. Para que ela atinja essa compreensão é preciso realizar um trabalho que tem, como ponto de partida, como vimos, as experiências com situações em que ela, espontaneamente, reparte, divide, distribui.
Precisamos estar atentos
para as divisões que as crianças realizam nas atividades, jogos e brincadeiras,
ou na hora de repartir o chocolate ou o lanche. Em cada oportunidade devemos
discutir com elas o critério que usaram para dividir: a divisão foi em partes
iguais ou não? Não se trata, neste momento, de classificar estas
divisões como certas ou erradas. A finalidade das discussões é
fazê-las compreender que uma divisão sempre envolve a escolha de critérios para
dividir.
Vejamos algumas questões que propiciam essa discussão.
· "Repartir 10
bolas de futebol entre 4 pessoas". Não foi exigido que a divisão fosse
feita em partes iguais. Temos muitas maneiras de fazer a distribuição:
- 3 pessoas com 3 bolas e
1 pessoa com 1 bola;
- 2 pessoas com 2 bolas e
2 pessoas com 3 bolas;
- as 4 pessoas receberam 2
bolas cada uma e ficam sobrando 2 bolas;
- cada pessoa recebe 1
bola e ficam sobrando 6 bolas;
- 3 pessoas com 2 bolas e
1 pessoa com 4 bolas; etc.
· "Distribuir
10 bolas de futebol entre 4 pessoas de modo que todas recebam a mesma
quantidade de bolas".
Neste caso temos 2
possibilidades:
- cada pessoa recebe 1
bola e sobram 6 bolas;
- cada pessoa recebe 2
bolas e sobram 2 bolas.
· "Distribuir
10 bolas de futebol entre 4 pessoas de modo que todas recebam a mesma
quantidade de bolas e sobre o menor número de bolas.
Neste caso só há um modo
de repartir: 2 bolas para cada pessoa e ficam sobrando 2 bolas.
· "Repartir 9
bolas para 3 pessoas de modo que elas recebam o mesmo número de bolas, e cujo
número seja o maior possível."
Cada pessoa deve receber 3
bolas.
Uma classe tem 40 alunos. Querendo dividi-los em
grupos com
o mesmo número de alunos, a professora discutiu com eles quais seriam as possibilidades,
inclusive que não seria bom haver grupos com mais de 5 alunos. Quantos grupos foram
formados de acordo com seu tamanho? Complete:
grupos
de 2
alunos.
grupos
de 4
alunos.
grupos
de 5
alunos.
|
Nem tudo pode ser fracionado
"Você precisa guardar 90 ovos em caixas iguais. Cada caixa deverá conter 18 ovos. Não devem sobrar ovos. Quantas caixas serão necessárias?
· "Na semana
passada ganhei do meu namorado cinco barras de chocolate. Chegando em casa
resolvi dividir o chocolate entre meus quatro sobrinhos. Dei inicialmente uma
barra para cada um e a barra restante dividi em quatro partes iguais. Deste
modo, cada criança recebeu uma barra inteira e mais a quarta parte de uma barra
de chocolate".
O fracionamento permitiu
dividir igualmente cinco barras de chocolate entre as quatro crianças, de modo
que não sobrasse chocolate. Veja agora esta outra situação:
· "A gata Kiki,
lá da vizinha, deu cria no portão da minha casa. A ninhada tem cinco filhotes.
Prometi distribuir os gatinhos entre quatro crianças que moram nas redondezas.
Como não quero privilegiar uma delas, presenteando-a com dois gatinhos, preciso
decidir o que fazer com o quinto filhote".
Às vezes é possível o
fracionamento daquilo que se divide; às vezes não. É impossível fracionar gatos
ou pessoas. Não faz sentido fracionar uma bola de futebol, uma boneca ou um
automóvel. Mas pode-se fracionar o chocolate, uma pizza, uma porção de terra ou
um círculo.
As situações-problemas
relacionadas com a divisão, nas quais é possível o fracionamento daquilo que
está sendo dividido, conduzem-nos às frações, ao estudo dos números racionais.
Este tema será estudado no Módulo 6 deste curso.
As situações relacionadas
com a divisão, nas quais não é possível o fracionamento daquilo que está sendo
dividido, conduzem ao estudo da divisão no universo dos números naturais: 0, 1,
2, 3, 4, 5,...
As divisões efetuadas no
universo dos números naturais são de dois tipos: as divisões que deixam resto
(resto não nulo) e as divisões exatas (ou que têm resto zero). Por exemplo: a
divisão de 10 por 4 deixa resto 2 e a divisão de 10 por 5 é exata.
Nos próximos dois itens
vamos nos referir à divisão exata.
Apresentamos abaixo
algumas situações que envolvem divisões. Examine cada uma delas e verifique se
o fracionamento é possível ou não e diga qual é o resto da divisão: (Escreva sim ou não com letras
minúsculas)
(a) Dividir um litro de
leite entre 5 crianças.
(sim ou não) resto
=
(b) Dividir 6 laranjas
entre 4 pessoas.
(sim ou não) resto
=
(c) Dividir 10 canetas
entre 7 crianças.
(sim ou não) resto
=
(d) Dividir 5 bonecas
entre 3 meninas.
(sim ou não) resto
=
|
Quando devemos dividir?
"Você
precisa distribuir 72 ovos em 6 cestos de modo que não sobrem ovos e todos os
cestos tenham a mesma quantia de ovos. Quantos ovos deverá colocar em cada
cesto?
"Você precisa guardar 90 ovos em caixas iguais. Cada caixa deverá conter 18 ovos. Não devem sobrar ovos. Quantas caixas serão necessárias?
Compare as duas
situações-problema
Do ponto de vista do
adulto, que já domina a divisão, podemos até afirmar que as duas situações se
equivalem, na medida em que ambas são resolvidas com uma simples divisão. No
primeiro caso a resposta é 72 : 6 = 12, e no segundo é 90 : 18 = 5.
Entretanto, para a criança
das primeiras séries escolares, essas situações são distintas. Com algum
esforço vamos nos colocar no lugar desse aluno, procurando entender como ele
pensa.
Observemos uma criança que
tenta resolver concretamente aqueles problemas. Ela poderá enfrentar a primeira
situação assim: observa o cesto cheio de ovos, olha para os seis cestos vazios,
faz uma estimativa e resolve colocar 6 ovos em cada cesto.
Olha o que sobrou e
distribui mais 1 ovo para cada cesto. Finalmente põe 1 ovo em cada cesto e
verifica que o cestão ficou vazio.
Agora observemos a criança
resolvendo concretamente o segundo problema. Ela poderia completar a primeira
caixa, depois a segunda, a terceira e assim por diante até que o cestão ficasse
vazio.
Descobriria então serem
necessárias 5 caixas.
Aos olhos da criança, qual
é a diferença entre estas duas situações?
Veja bem: uma vez
resolvidos os problemas, tanto num caso como no outro, temos a formação de
grupos de ovos. No primeiro são 6 grupos de 12 ovos e no segundo 5 grupos de 18
ovos. Acontece que, no primeiro problema, o número de grupos a serem formados é
conhecido de antemão ao passo que, na segunda situação, o número de grupos a
serem formados, isto é, o número de caixas, é desconhecido. É por isso que, no
segundo problema, a estratégia de solução não pode ser a mesma do primeiro. A
criança não poderia ir colocando o mesmo número de ovos em cada caixa,
simplesmente porque não sabe quantas caixas serão necessárias. A primeira
situação está próxima do sentido usual que se dá para a divisão: repartir,
distribuir (igualmente) uma certa quantidade em um número conhecido de grupos.
No problema apresentado isto é representando assim: 72 : 6 = 12.
Quando as crianças
resolvem concretamente o segundo problema, da maneira como descrevemos, e
pedimos que registrem o que fizeram usando símbolos matemáticos, elas costumam
escrever:
18 + 18 + 18 + 18 + 18 = 90
ou
5 x 18 = 90
ou
18 + 18 = 36
36 + 18 = 54
54 + 18 = 72
72 + 18 = 90
5 grupos de 18 completam
90.
ou ainda
90 - 18 = 72
72 - 18 = 54
54 - 18 = 36
36 - 18 = 18
18 - 18 = 0
Em 90 cabem 5 grupos de
18.
Observe como estes
registros refletem o raciocínio da criança. Eles mostram o seu modo de pensar.
O fato de não escreverem 90 : 5 = 18 (ou 90 : 18 = 5) é sintomático. Além de
não usarem estes dois últimos registros, os alunos, em geral, resistem em aceitá-los. Isso mostra a dificuldade que sentem em
"enxergar" a divisão no segundo problema. De fato, nessa segunda
situação, a divisão se apresenta com uma outra faceta. Não se trata de
distribuir uma certa quantidade em um número conhecido de grupos, mas sim de
saber quantos grupinhos cabem no "grupão", quantos 18 cabem em 90.
Leia novamente o título
deste item. Ele contém uma pergunta. Vamos respondê-la. Há dois tipos de situações-problema que levam à divisão:
Situação-problema
|
1. Temos uma quantidade
conhecida e queremos
repartí-la num certo
número de grupos.
|
2. Queremos saber
quantas vezes uma
quantidade cabe
em outra.
|
Pergunta-chave
|
Quanto em cada grupo?
|
Quantos grupos?
|
Apresentamos abaixo duas
situações-problema. Analise-as, verificando qual a pergunta chave em cada uma:
(a) Situação 1
"Três amigos se associam, em partes iguais, na compra de uma
máquina cujo valor é R$3.600,00. Quanto cada um deverá pagar?"
Escolha uma alternativa:
alternativa número (b) Situação 2
"Numa cidade planejada, os quarteirões têm 120 m de comprimento.
Quantos quarteirões há numa avenida que tem 1800 metros?"
Escolha uma alternativa:
alternativa número |
Operações inversas
Gilberto Gil, num dos
versos da música Copo Vazio, lembra que um copo vazio está cheio de ar!
Responda rápido: o avesso
do avesso é avesso ou é direito?
Quando uma operação desfaz
outra realizada anteriormente, determinando a volta ao estado original, dizemos
que uma é a inversa da outra.
Vejamos mais alguns
exemplos:
Da mesma forma:
Entre a multiplicação e a
divisão há uma relação parecida com a que existe entre a adição e a subtração.
Veja os exemplos:
A
multiplicação e a divisão são operações inversas. Uma desfaz o que a outra fez.
Se o número a é multiplicado pelo número b, obtendo-se o número c, então,
dividindo c por b voltamos ao número a.
Da mesma forma:
Em outras palavras
essa ideia pode ser expressa assim: dividir o número a pelo número b significa encontrar o número c que, multiplicado por b, dá a. Assim, por exemplo, dividir
793 por 13 significa encontrar o número que multiplicado por 13 dá 793. Que
número é este?
De fato, 61 x 13 = 793.
Nesse cálculo mental, a divisão de 793 por 13 foi efetuada com base na relação inversa existente entre a multiplicação e a divisão
Nomenclatura: quando a : b
= c chamamos a de dividendo, b de divisor e c de quociente. Por exemplo, na
divisão de 793 por 13, 793 é o dividendo, 13 é o divisor e 61 é o quociente.
Pensei um número.
Multipliquei-o por 4 e, ao resultado, acrescentei 30. Depois dividi por 2 e,
finalmente, subtrai 3. Resultado final: 22. Em que número pensei? (Sugestão:
faça o caminho inverso)
O número pensado foi
|
Dividendo, divisor, quociente e resto
Duas situações-problema nos
ajudarão a construir alguns conceitos.
- "Quantas semanas há em um
ano?"
Como 365 = 7 x 52 + 1 , concluímos que um ano não bissexto tem 52 semanas e 1 dia.
O problema proposto nos levou a uma divisão não exata. Esta divisão, que deixa
resto 1, pode ser representada assim:
"Vovô Hermínio, que tem 7 netos, comprou
1 cento de balas. Sem dizer quantas balas havia no saco, entregou-o às
crianças com a recomendação de que distribuíssem as balas igualmente entre
elas."
Sentadas no chão, formando
uma roda, as crianças decidiram pegar 10 balas cada uma. O saco ia passando de
mão em mão e cada uma, na sua vez, retirava suas balas. Vovô observava os
netos.
Na segunda rodada as
crianças decidiram pegar mais 3 balas cada uma. Isto feito, olharam as balas
que ainda restaram no saco e as entregaram ao vovô, com a recomendação que as
repartisse com a vovó.
Na terceira rodada cada
neto pegou uma bala. As duas restantes ficaram para os avós.
Após a primeira rodada
cada criança tinha 10 balas e restavam 30 no saco: 100 = 7 x 10 + 30. Era possível prosseguir a
distribuição. Após a segunda rodada cada uma tinha 13 balas e restavam 9 no
saco: 100 = 7 x 13 + 9. Nesse momento, apesar de ser possível
ainda prosseguir, os netos deram por encerrada a distribuição. Mas o avô pediu
que prosseguissem e, após a terceira rodada, cada um tinha 14 balas. Restavam 2
no saco: 100 = 7 x 14 + 2.
Neste ponto, como 2 é menor do que 7, e não havia
a intenção de fracionar as balas, a divisão se encerrou.
As idéias presentes nas
situações anteriores estão embutidas na definição de divisão de números
naturais.
Dividir um número natural a pelo número natural b significa encontrar outros dois
números naturais q e r que obedeçam a estas condições: a = b x q + r , e , r < b (r é menor do que b).
Representamos a divisão
assim:
O número a chama-se dividendo, b é o divisor, q é o quociente e r é o resto.
EXEMPLOS:
- Vejamos a divisão
Como 100 = 15 x 6 + 10 , e , 10 <
15, dizemos que na divisão de 100 por 15 o quociente é 6 e o resto é 10.
- É verdade que 23 = 7 x 2 + 9
Entretanto não
é correto afirmar que, na divisão de 23 por 7, o
quociente é 2 e o resto é 9, pois 9 é maior do que o divisor 7 e, portanto,
ainda podemos continuar a divisão.
A divisão correta é:
- A "divisão" abaixo está errada
pois, apesar de 9 ser menor que 16, não é verdade
que : 127 = 16 x 8 + 9
A divisão correta é:
Nesta parte da lição abordamos uma série de conceitos e idéias
relacionadas com a divisão. Na parte 2 veremos o cálculo mental, as
propriedades e as técnicas de cálculo referentes a essa operação.
Complete a tabela:
|
EXERCÍCIOS
1.Considere a divisão do
número natural a por 7:
a)O resto dessa divisão
pode ser 10?
(Escreva sim ou nao com letras minúsculas)
b)Quais são os possíveis
valores do resto dessa divisão?
(Escreva-os em ordem
crescente separados por - )
2. Um painel mede 140
cm por 320 cm. Clélia deseja fixar 12 cartazes no painel. Os cartazes
medem 64 cm por 51 cm. Como é muito caprichosa ela quer colocar
os cartazes de modo que os espaçamentos verticais, (v), sejam iguais e
os espaçamentos horizontais, (h), também sejam iguais.
Quais
devem ser estes espaçamentos?
(a) v = cm.
(b) h = cm.
3. As perguntas seguintes referem-se a esta divisão:
a) Se o dividendo aumentar
de 2 unidades de quanto aumentará o quociente?
O quociente aumentará de unidades.
b) Se o dividendo aumentar
de 2 unidades de quanto aumentará o resto?
O resto aumentará de unidades.
c) Se o dividendo aumentar
de 5 unidades de quanto aumentará o quociente?
O quociente aumentará de unidades.
d) Se o dividendo aumentar
de 5 unidades de quanto diminuirá o resto?
O resto diminuirá de unidades.
e) Se o divisor aumentar
de 1 unidade de quanto aumentará o quociente?
O quociente aumentará de unidades.
4. Por ocasião das festas juninas Jussara e
Raimundo prepararam as bandeirinhas para enfeitar a classe.
Raimundo colocou as bandeirinhas todas
juntas, mas Jussara espaçou-as regularmente; ela manteve o espaço até mesmo nas
extremidades. Os dois fios têm o mesmo comprimento (615 cm) e cada bandeirinha
ocupa 15 cm de fio. Jussara colocou 7 bandeirinhas menos que
Raimundo.
a) Quantas bandeirinhas Jussara
colocou?
Jussara colocou
b) Qual é o espaçamento entre as
bandeirinhas de Jussara?
O espaçamento é de cm
cada um.
5. Num parque de diversões, a barraca de tiro ao alvo funciona no seguinte
esquema: o freguês paga R$5,00 por 5 tiros e recebe R$3,00 por um tiro na
"mosca" (centro do alvo). Miguel deu 20 tiros e saiu da barraca com
R$16,00 a mais do que quando chegou. Quantos tiros ele acertou na
"mosca"?
Miguel acertou tiros
na "mosca".
6. A seguir
temos 4 sentenças incompletas. Você deve completá-las usando os sinais +
- x : ( ) de modo a obter sentenças verdadeiras.
|
(a) 01
|
1
|
1
|
1
|
=
|
4
|
|
|
(b) 04
|
4
|
4
|
4
|
=
|
7
|
|
|
(c) 013
|
13
|
13
|
13
|
=
|
3
|
|
|
(d) 06
|
6
|
6
|
6
|
=
|
1296
|
Nem tudo é permitido
A subtração e a divisão não
são comutativas
As operações possuem
propriedades. Assim, por exemplo, na adição não importa a ordem das parcelas,
isto é, a + b = b + a. O mesmo acontece na multiplicação: são operações comutativas (comutar é trocar). Entretanto, a
subtração e a divisão não são comutativas. Por exemplo: 5 - 2 não é mesmo que 2
- 5 e 6 : 2 não é o mesmo que 2 : 6. Na divisão, não podemos
trocar de lugar o dividendo com o divisor.
A subtração e a divisão não
são associativas
Já vimos que a adição e a
multiplicação são associativas (lembra-se?)
(a + b) + c = a + ( b + c)
(a . b) . c = a . ( b . c)
As letras a, b e c representam números quaisquer.
Será que vale o mesmo para
a subtração e a divisão? São verdadeiras as igualdades seguintes?
(a - b) - c = a - (b - c)
(a : b) : c = a : (b : c)
Façamos
uma experiência com números:
(20 - 10) - 2 = 10 - 2 = 8
20 - (10 - 2) = 20 - 8 =
12
LOGO: (20 - 10) - 2 é diferente de: 20 - (10 - 2)
(40 : 10) : 2 = 4 : 2 = 2
40 : (10 : 2) = 40 : 5 = 8
LOGO: (40 : 10) : 2 é diferente de: 40 : (10 : 2)
Portanto a subtração e a
divisão não são associativas
Estamos vendo que, para
cada operação, valem certas propriedades e não valem outras. Para saber o que
vale e o que não vale, em cada caso, só há uma regra: pensar sempre!
(tópico 1)
_________________________________________________________________________
Muitas vezes o ensino das
operações em Matemática tem sido feito da seguinte maneira:
a) definem-se as operações;
b) apresentam-se suas
propriedades;
c) propõem-se alguns
problemas como "modelo", apresentando-se suas resoluções;
d) propõem-se uma lista de
problemas "parecidos" com os já vistos.
Os alunos observam o
professor, que resolve um exercício "de cada tipo", como modelo.
Depois resolvem uma série de outros parecidos. Não fazem mais do que repetir
instruções.
Com isso, os alunos se
acostumam a receber todo o conhecimento pronto, dado pelo professor. É
o professor que escolhe os assuntos, explica tudo, diz o que deve ser feito,
indica e corrige os erros. Os alunos não pensam, não discutem. Esperam que o
professor pense no lugar deles, inclusive na hora de resolver um problema de Matemática.
A experiência tem mostrado
que esse método, em geral, não amplia a compreensão sobre as operações ou outro
assunto qualquer.
Por exemplo, muitos alunos
conhecem os nomes das propriedades operatórias, mas não sabem dizer quando elas
são úteis. Conhecer o nome de alguma coisa, sem saber para quê ela serve, não
costuma valer a pena.
Por outro lado, os
problemas deveriam fazer sentido para os alunos. Infelizmente, isso nem sempre
acontece. É fácil descobrir problemas sem sentido em alguns livros didáticos.
Por exemplo: "Um leitão pesa 95 quilos. A
carne desse leitão pesa 63 quilos. Quanto pesa o toucinho?"
- Não teria esse leitão
ossos, couro, pêlos, estômago, intestino, etc.? Numa escola de zona rural, os
alunos certamente dariam boas risadas desse problema, mas não melhorariam seus
conhecimentos de Matemática!
O resultado dessa falta de
sentido é que os alunos efetuam contas, calculam expressões numéricas e até
chegam à solução de problemas, mas de maneira puramente mecânica, pois o que
não faz sentido não estimula o raciocínio.
Existem alternativas?
(tópico 2)
_________________________________________________________________________
É claro que a mudança
desse quadro não é simples. Entretanto, é possível. Pode-se ajudar a criança a
raciocinar, ela mesma,
sobre um problema, em vez de raciocinar por
ela.
Raciocinar é pensar com a
própria cabeça, com autonomia. Requer o enfrentamento de situações novas na
busca de soluções até então desconhecidas. Para desenvolver a capacidade de
raciocínio da criança através de problemas, é preciso que ela própria crie as soluções dos problemas.
Para isso, um bom caminho
é pedir que os alunos leiam o enunciado do problema e perguntem o que não
entenderam. Em seguida, o professor pode fazer várias perguntas sobre o
enunciado. Algumas perguntas podem não ter relação direta com a resolução do
problema, mas podem ajudar a compreender melhor a situação apresentada,
atraindo a atenção dos alunos, incentivando-os a se imaginarem como parte da
mesma, exercitando seu pensamento enquanto procuram explicações para os fatos
apresentados no problema.
É muito importante que o
professor peça às crianças que dêem sugestões de como o problema pode ser
resolvido. Para ajudá-las a pensar, toda vez que uma criança propõe que se faça
esta ou aquela operação, deve-se pedir que explique como chegou a isso. Talvez
não consiga explicar, mas outra poderá fazê-lo e essa troca de idéias é
excelente. Dessa maneira, as crianças estarão elaborando um raciocíno e
construindo uma solução para o problema.
Além disso, um problema
pode apresentar mais de uma forma de resolução. As crianças podem ser
estimuladas a apresentar vários caminhos para chegar à solução do problema.
Todas as sugestões devem ser discutidas com a classe. Resolver um mesmo
problema por caminhos diferentes ajuda muito. Quem não entendeu a primeira
resolução poderá, de repente, compreendê-la se voltar a pensar no problema de
outra maneira.
Em resumo, o diálogo é
indispensável. As crianças precisam ser estimuladas a ter idéias e a falar
sobre suas idéias.
Prestar atenção ao que o
aluno diz, procurar entendê-lo, aceitar suas idéias mesmo quando elas nos
parecem estranhas, explicar com calma, caso a criança esteja enganada, são
atitudes que incentivam a pensar, a raciocinar. Mais ainda: ajudam a gostar disso.
Problemas? Que problemas?
(tópico 3)
_________________________________________________________________________________
Nem todo problema permite
um trabalho interessante com os alunos. Alguns são simples demais, outros
complicados demais, outros nem sequer fazem sentido. Experimentando uma grande
variedade de problemas, sempre com a preocupação de levar os alunos a raciocinarem,
o professor vai selecionando os melhores e descobrindo a melhor maneira de
trabalhá-los com os alunos.
Assim, poderá formar uma
bela coleção de problemas para cada uma das séries. É importante manter uma
espécie de "diário" de resoluções de problemas: cada problema em uma
ficha ou folha de papel, com o registro de tudo o que aconteceu durante o
trabalho com os alunos. A partir disso, pode-se até pensar em um sistema de
intercâmbio de problemas comentados e, ao término desse curso, poderíamos
pensar em publicar o "nosso" acervo coletivo de problemas. Seria uma
maneira de colaborar com os colegas que, por algum motivo, não puderam se
engajar neste curso.
"Resolução de
problemas" é um dos assuntos mais discutidos atualmente no ensino da
Matemática. Há muitas pessoas, no mundo inteiro, estudando a questão. Aqui
apresentamos somente alguns aspectos, que estão longe de esgotar o tema, mas
oferecem uma primeira oportunidade para refletir e, quem sabe, experimentar uma
estratégia nova em sala de aula.
As crianças e a aprendizagem
(tópico 1)
_________________________________________________________________________
Como as crianças aprendem?
Todas ao mesmo tempo?
Todas da mesma maneira?
Por que aprenderam algumas
coisas melhor que outras?
Como ensinar para obter um
melhor aprendizado?
Essas perguntas são feitas
entre os educadores há bem pouco tempo.
Antigamente, acreditava-se
que as crianças aprendiam apenas recebendo informações de um professor. O
professor explicava, ditava regras, mostrava figuras. A criança ouvia, copiava,
decorava e devia aprender. Quando não aprendia, culpava-se a criança (desatenta,
irresponsável) ou falta de "jeito" do professor.
Atualmente existem outras
idéias sobre aprendizagem. Elas são o produto do trabalho de certos educadores
e psicólogos que têm procurado responder as perguntas apresentadas no início
deste texto. O campo de estudo desses pesquisadores chama-se Psicologia Cognitiva (psicologia é a ciência que estuda o pensamento e as emoções;
a palavra cognitiva refere-se ao conhecimento).
Os conceitos da Psicologia
Cognitiva aplicam-se ao conhecimento e à aprendizagem em geral e naturalmente
valem para o conhecimento matemático. Essas idéias não negam completamente as
idéias antigas sobre o aprendizado. É possível aprender recebendo informações,
treinando e decorando regras. Mas, dessa maneira, a compreensão daquilo que se
aprende costuma ser bem pequena. E esta é a diferença: o que se procura através
da Psicologia Cognitiva é favorecer o conhecimento.
Aprendizado com compreensão
A Psicologia Cognitiva fez
importantes descobertas sobre o pensamento da criança. Os pesquisadores
concluíram que:
a) crianças pensam de
maneira diferente dos adultos;
b) cada criança pensa
diferentemente de outra;
c) o pensamento evolui,
passa por estágios; em cada estágio, a criança tem uma maneira especial de
compreender e explicar as coisas do mundo.
Vamos exemplificar esta
última afirmação. Experimentemos mostrar a uma criança duas bolachas iguais,
uma inteira e a outra partida em quatro pedaços. Quase todas as crianças de
cinco anos de idade vão dizer que as quantidades de bolacha não são iguais.
Muitas vão achar que há maior quantidade na bolacha em
pedaços. Já as crianças mais velhas reconhecerão facilmente que as
quantidades são iguais.
Esse exemplo mostra um
fato comum: em certos estágios do pensamento as crianças pensam que a disposição
das partes altera a quantidade. Por isso, para as crianças pequenas, pode
parecer que a quantidade de bolacha aumenta se ela for partida em pedaços.
Os pesquisadores da
Psicologia Cognitiva também elaboraram idéias sobre o que é aprender. Eles
declaram que aprender com compreensão é um processo pessoal, que acontece
dentro da cabeça de cada um. Esse processo exige que o aprendiz pense por si
próprio.
Assim, para a Psicologia
Cognitiva, simplesmente receber informações de um professor não é suficiente
para que o aluno aprenda com compreensão, porque, nesse caso, a criança fica
passiva, não pensa com a própria cabeça.
A Psicologia estudou
também quais objetos ou atividades ajudam a aprender. Ela tem mostrado que o
pensamento e o aprendizado da criança desenvolvem-se ligados à observação e
investigação do mundo. Quanto mais a criança explora as coisas do mundo, mais
ela é capaz de relacionar fatos e idéias, tirar conclusões; ou seja, mais ela é
capaz de pensar e compreender.
Por exemplo, as crianças
que tiveram oportunidade de praticar relações comerciais (compras, pagamentos,
trocas) costumam ser mais capazes de resolver problemas matemáticos envolvendo
esses assuntos do que crianças que não tiveram tais experiências.
É justamente esta última ideia que tem motivado os educadores a buscarem meios de fazer a criança
explorar o mundo à sua volta.
(tópico 2)
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No caso da matemática
parece ser mais difícil fazer a criança explorar o mundo à sua volta, porque as
noções matemáticas nem sempre aparecem com clareza nas situações do cotidiano.
Por isso, procura-se criar um mundo artificial que facilita a exploração pela
criança.
Esse mundo artificial é
constituído, em grande parte, por materiais concretos que a criança pode manipular, montar, etc. São objetos ou conjuntos de objetos que representam as
relações matemáticas que os alunos devem compreender. Frisamos que as relações
matemáticas não estão nos objetos em
si. Elas podem
se formar na cabeça da criança, desde que o material seja bem utilizado.
Exemplos desses materiais
concretos são o ábaco e o material dourado, que já foram examinados por nós nos
módulos anteriores. Eles são utilizados na aprendizagem das regras de nosso
sistema de numeração e das técnicas operatórias, temas fundamentais da matemática
nas séries iniciais do 1º grau.
Além do ábaco e do
material dourado, existem muitos outros materiais que podem ser usados no
aprendizado da matemática. Apesar da importância dos materiais na aprendizagem
e da quantidade de escritos teóricos sobre eles, os materiais em si podem ser
muito simples, fáceis de construir e substituíveis (quando não se consegue
obter um tipo de material, pode-se substituí-lo por outro, sem muita
dificuldade).
(tópico 3)
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Parece-nos necessário,
porém, alertar o professor sobre alguns elementos importantes na utilização de
materiais concretos.
Já dissemos que noções
matemáticas se formam na cabeça da criança e não estão no próprio material.
Dissemos ainda que o material favorece o aprendizado, desde que seja bem
utilizado.
Vejamos o que significam
essas duas afirmações, em termos práticos:
Primeiro, o material deve
ser oferecido às crianças antes das explicações teóricas e do trabalho
com lápis e papel. É preciso que os alunos tenham tempo e liberdade para
explorar o material, brincar um pouco com ele, fazer descobertas sobre sua
organização. Após algum tempo de trabalho livre, o professor pode intervir,
propondo questões, estimulando os alunos a manifestarem sua opinião. Em resumo,
são essenciais, neste início, a ação e o raciocínio do aluno, pois, como dissemos, é
só ele mesmo que pode formar as noções matemáticas.
A partir da observação e
manipulação, da troca de idéias entre alunos e entre estes e o professor é que
as relações matemáticas começam a ser percebidas e enunciadas. O professor deve
então, aos poucos, ir organizando esse conhecimento.
Para concluir, podemos
dizer que a atitude adequada do professor, em relação ao uso do material
concreto, decorre de ele conceder o ensino de matemática nas séries iniciais
como um convite à exploração, à descoberta e ao raciocínio.
